نظریه سی. پی. اچ. و قانون دوم نیوتن

جدول ویژگیهای سی. پی. اچ.

گلوله قرمز از n سی. پی. اچ. تشکیل شده که   طبق رابطه (4) می توان نوشت:

M1:

اما انرژی هر سی. پی. اچ. نسبت به دستگاه لخت ثابت است(جدول ویژگیهای سی. پی. اچ. رابطه 4 ) بنابراین خواهیم داشت:

توجه شود که T_i شامل تمام انرژی های انتقالی سی. پی. اچ. i ام است. فرض کنیم این سی. پی. اچ. متعلق به  الکترونی است که بدور هسته ی اتم در حال گردش است، در اینصورت T_i برابر است مجموع تمام انرژی های سی. پی. اچ. i ام بجز انرژی اسپینی آن.

بهمین ترتیب برای گلوله زرد که از k سی. پی. اچ. تشکیل شده داریم:

گلوله زرد از k سی. پی. اچ. تشکیل شده که طبق رابطه (4) می توان نوشت:

M2:

بنابراین قبل از برخورد سیستم (متشکل از گلوله ی قزمز و گلوله زرد) شامل n+k سی. پی. اچ. است که انرژی کل سیستم برابر است با:

در طول برخورد

قبل از برخورد هر دو گلوله (قرمز و زرد) دارای لختی خاص خود هستند که اگر نیروی خارجی به آنها اعمال گردد، در مقابل نیروی خارجی مقاومت می کنند. بمحض برخورد هر دو سیستم ( گلوله قرمز و زرد) دچار اختلال می شوند. سی. پی. اچ. های گلوله قرمز که با سرعت خطی v₁ (نسبت به دستگاه) در حال حرکت هستند، تحت تاثیر اختلال ناشی از برخورد (مقاومتی که در مقابل حرکت آنها ایجاد می شود)، تعدادی از سی. پی. اچ. ها گلوله قرمز را ترک می کنند. فرض کنیم تعداد n₁ سی. پی. اچ. گلوله قرمز را ترک کی کنند، که عکس العمل آن برای بقیه ی سی. پی. اچ. ها، به تغییر اندازه حرکت خطی از v₁ به v'₁ خواهد شد. قسمتی از این سی. پی. اچ. ها بصورت انرژی گرمایی به محیط منتقل می شوند.  در اینجا بخاطر برخی ملاحظات، فرض می کنیم هیچگونه اتلاف انرژی نداریم. بنابراین تعداد n₁ سی. پی. اچ. از گلوله قرمز وارد گلوله زرد می شوند. حتی ممکن است تعدادی از سی. پی. اچ. های گلوله ی زرد، آن را ترک کرده وارد گلوله ی قرمز شوند. اما فرض می کنیم جمع جبری تعداد سی. پی. اچ. های انتقال یافته برابر n₁ باشد که از گلوله قزمز وارد گلوله زرد شده اند.

در طول برخورد بطور خالص تعداد n₁ سی. پی. اچ. از گلوله قرمز وارد گلوله زرد شده است.

 در طول برخورد انرژی جنبشی(در نتیجه جرم) گلوله زرد افزایش می یابدو از حالت سکون به حرکت در می آید و با سرعت v₂ شروع به حرکت می کند. بهمین میزان از انرژی جنبشی گلوله قرمز کاسته می شود و سرعت آن از v₁ به v'₁ کاهش می یابد. اما بررسی این فرایند در طول برخورد حاوی نکات بسیار جالب و مهمی است. زیرا در طول برخورد اندازه حرکت هر دو گلوله تغییر می کند.

برای گلوله قرمز که جرم و سرعت آن قبل از برخورد به ترتیب M1 و v1 است بعد از برخورد به  M'1 و  v'1 می رسد.

برای گلوله زرد، چون سرعت اولیه صفر است، بنابراین حاصلضرب جرم در سرعت آن پس از برخورد نسبت به زمان را منظور می کنیم.

تغییرات اندازه حرکت سیستم برابر با صفر است، زیرا هیچ سی. پی. اچ. ی وارد یا از سیستم خارج نشده است. از طرف دیگر تغییرات اندازه حرکت نسبت به زمان برابر نیرو است، یعنی:

در طول برخورد بر اثر اختلال ایجاد شده در سیستم تعداد n₁ سی. پی. اچ. گلوله ی قرمز را ترک می کنند که نیروی لازم برای تغییر اندازه حرکت هر دو گلوله را تامین می کنند. این سی. پی. اچ. ها با حد سرعت در دستگاه منتقل می شوند. از آنجاییکه سی. پی. اچ. از روی امواج الکترومغناطیس تعریف شده است، حد سرعت برابر سرعت نور c است. لذا نیروی اعمال شده را می توان بصورت زیر محاسبه کرد:

این نیرو در دو جهت عمل می کند، یکی در جهت مثبت محور x که باعث رانده شدن گلوله زرد بسمت جلو می شود و دیگری در جهت مخالف که باعث کند شدن سرعت گلوله قرمز می شود.

قانون دوم نیوتن و نظریه سی. پی. اچ.

در مدت dt که نیروی F طبق رابطه ی (5) به گلوله زرد وارد می شود، موجب شتاب a می گردد و سرعت گلوله زرد (جرم M₂ ) را از صفر به v₂ می رساند. اما در این مدت جرم گلوله زرد از M₂ به M'₂ افزایش می یابد. بنابراین خواهیم داشت:

البته موردی که در اینجا باید منظور گردد این است که جرم گلوله زرد در طول مدت dt برابر مقدار فوق نیست، بلکه این تعداد سی. پی. اچ. در طول این مدت وارد گلوله زرد شده اند. لذا اگر فرض کنیم این تعداد سی. پی. اچ. در مدت dt/2 در گلوله زرد قرار داشته اند (یا نصف این تعداد در طول مدت dt )، رابطه صحیح تر خواهد شد. یعنی:

نتایج بالا اثبات رابطه ی جرم نسبیتی با استفاده از اصل سی. پی. اچ. است.

در نسبیت نیز اندازه حرکت با در نظر گرفتن تغییر جرم بر اثر سرعت ارائه می شود.

همچنانکه مشاهده می شود برای اثبات تغییر جرم بر اثر تغییر سرعت، می توان از اصل سی. پی. اچ. بطور مستقیم استفاده کرد. بدیهی است که مقدار  تغییر جرم تابع تعداد سی. پی. اچ. های منتقل شده است که همزمان جرم و سرعت را تغییر می دهد.