سری فوریه و تبدیل فوریه

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
Sara_si

عضویت : شنبه ۱۴۰۰/۱۰/۱۸ - ۱۸:۱۵


پست: 3

سپاس: 1

سری فوریه و تبدیل فوریه

پست توسط Sara_si »

چگونه می‌توانیم از سری فوریه به تبدیل فوریه برسیم و به دست بیاوریم ( اثبات)

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1475

سپاس: 3154

جنسیت:

تماس:

Re: سری فوریه و تبدیل فوریه

پست توسط rohamjpl »

تبدیل فوریه، یکی از شاخه‌های تبدیل فوریه، «تبدیل فوریه گسسته» (Discrete Fourier Transform) است که به صورت اختصاری با نماد DFT نمایش داده می‌شود. این عملگر به صورت رایج با استفاده از «تبدیل فوریه سریع» (Fast Fourier Transform) قابل محاسبه است. تبدیل فوریه سریع به صورت اختصاری با نماد FFT نمایش داده می‌شود.که توابعی را که بر حسب زمان یا فضا هستند، به توابعی بر حسب فرکانس زمانی یا فضایی تجزیه می‌کند، اصطلاح تبدیل فوریه هم به نمایش دامنه فرکانس و هم به عملیات ریاضی مربوط به آن که نمایش دامنه فرکانس را به تابعی از مکان یا زمان مرتبط می‌کند، اطلاق می‌شود.
تبدیل فوریه یک تابع از زمان، یک تابع مقدار مختلط از فرکانس است، که اندازه آن (قدر مطلق)، فرکانس موجود در تابع اصلی را نشان می‌دهد، و آرگومان آن اختلاف فاز سینوسی پایه در آن فرکانس است. تبدیل فوریه فقط محدود به توابع زمان نیست، اما به دامنه عملکرد اصلی، معمولاً دامنه زمان گفته می‌شود. معکوس تبدیل فوریه نیز وجود دارد که به صورت ریاضی تابع اصلی را از نمایش دامنه فرکانسی آن تولید می‌کند، که توسط قضیه عکس فوریه اثبات شده‌است.
و سری فوریه بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط) بیان می‌کند
در مکانیک به ویژه در ارتعاشات کاربرد داره البته ما به اندازه بچه های برق نمیخونیم . منم این متلب براتون سرچ کردم و مقداری از خودم نوشتم
مجموعه توابع تناوبی مطمئناً زیرمجموعه ای از مجموعه همه توابع (که بیشتر آنها غیر تناوبی هستند) است. بنابراین سری فوریه - که به ما امکان می دهد توابع تناوبی را متفاوت توصیف کنیم - یک "زیر مجموعه" تبدیل فوریه است - که ابزاری برای رمزگذاری یک تابع دلخواه است.در سیستم‌های فیزیکی خطی - اریک چیور رابطه‌ای بین تبدیل فوریه (FT) یک تابع پالس غیر تناوبی p(t) و ضریب سری فوریه نمایی (FS) cn تابع تناوبی f(t) ایجاد شده از کپی‌های تناوبی نشان داده شده است. از p(t) (با دوره T). برای ω0=2π/T است:به طور خلاصه، سری فویر برای سیگنال های تناوبی و تبدیل فوریه برای سیگنال های غیرپریودیک است. سری فوریه برای تجزیه سیگنال ها به عناصر پایه (نمای پیچیده) استفاده می شود در حالی که تبدیل فوریه برای تجزیه و تحلیل سیگنال در حوزه دیگری (به عنوان مثال از زمان به فرکانس یا برعکس) استفاده می شود.
از طرف دیگر، ممکن است رابطه «زیر مجموعه» را در نمایش فرکانس نیز ببینیم. سری فوریه ممکن است به عنوان حالت خاصی از تبدیل فوریه نوشته شود که در آن فقط فرکانس هایی که در فرکانس زاویه ای پایه 2π/T ضرب می شوند که T تناوب است مجاز هستند. تبدیل فوریه یک تابع تناوبی یک نوع بسیار خاص از یک تابع، ترکیبی از توابع دلتا است.
$\tilde f(\omega) = \sum_{n\in{\mathbb Z}} c_n \delta(\omega-n\omega_0)$و توابعی که ترکیبی از توابع دلتا مانند آن هستند (تعیین سری فوریه) زیرمجموعه ای از همه توابع، از جمله توزیع ها (که ممکن است با تبدیل فوریه تابع اصلی شناسایی شوند) هستند.
تبدیل فوریه را می توان به روشی بسیار انتزاعی، برای گروه های آبلی فشرده محلی دلخواه، و گاهی حتی اشیاء عمومی تر تعریف کرد. در مورد گروه‌های آبلی فشرده محلی، یک تابع تعریف شده روی یک گروه را به یک تابع تعریف شده در دوگانه آن تبدیل می‌کند و فرمول آن کاملاً ساده است: $\hat f(\xi)=\langle f\mid \xi\rangle=\int_G f \cdot \overline{\xi} \, d\mu$با μ
سری های فوریه نمونه ای از تبدیل فوریه هستند که در آن گروه در نظر گرفته شده گروه دایره S1=T (یا توان متناهی آن) است و اتفاقاً دوتایی آن گروهی از توابع شکل eikx است که هم شکل با گروه Z از اعداد صحیح است. (و اندازه هار فقط میزان شمارش است). به این ترتیب، تبدیل‌های فوریه بسیار کلی‌تر هستند، اما احتمالاً این چیزی نیست که شما می‌خواستید در مورد آن بپرسید.
آنچه شما به عنوان تبدیل فوریه می شناسید (و معمولاً در هنگام فراخوانی تبدیل فوریه به آن اشاره می شود) احتمالاً تبدیل فوریه یک تابع در گروه افزایشی اعداد حقیقی R یا Rn است که اتفاقاً به دوتایی آنها هم شکل هستند که شامل توابع شکل $e^{i\xi x}$
سری فوریه برای نشان دادن یک تابع تناوبی با مجموع گسسته نمایی های مختلط استفاده می شود، در حالی که تبدیل فوریه برای نشان دادن یک تابع کلی و غیر تناوبی با برهم نهی پیوسته یا انتگرالی از نمایی های مختلط استفاده می شود. تبدیل فوریه را می توان به عنوان حد سری فوریه یک تابع با دوره نزدیک به بی نهایت مشاهده کرد، بنابراین محدودیت های ادغام از یک دوره به (-∞،∞) تغییر می کند.
در یک رویکرد کلاسیک، استفاده از تبدیل فوریه برای یک تابع تناوبی که نمی تواند در L1 (−∞،∞) باشد، ممکن نیست. با این حال، استفاده از توابع تعمیم‌یافته، ما را از این محدودیت رها می‌کند و نگاهی به تبدیل فوریه یک تابع تناوبی را ممکن می‌سازد. می توان نشان داد که ضرایب سری فوریه یک تابع تناوبی مقادیر نمونه برداری شده از تبدیل فوریه یک دوره از تابع هستند.
دقیقاً آن چیزی نیست که شما می خواهید، اما به نظر من باید بتوانید وارونگی فوریه را از سری فوریه از طریق جمع پواسون استخراج کنید. برای عملکردهایی که به اندازه کافی خوب رفتار می کنند؛ این بدون شک نتیجه بسیار ضعیف تری نسبت به قضیه وارونگی استاندارد خواهد داشت.
با فرض اینکه می‌خواهید جزئیات را برای خودتان کار کنید: اگر $f\in L^1(\Bbb R)$ و L>0 تعریف می‌کنند
f_L(t)=\sum_{k\in\Bbb Z}f(t+kL).$$سپس $f_L$ دارای دوره $L$ است، بنابراین دارای سری فوریه است. با جزئیات کار نکرده‌ام، اما به نظر واضح است که (تحت فرضیه‌های مناسب) اگر بگویید $f_L$ برابر است با سری فوریه آن و سپس اجازه دهید $L\to\infty$، باید به این نتیجه برسد که f تبدیل معکوس$\hat f$ است.
موارد فوق را کمی واضح تر توضیح دهم
ابتدا توجه داشته باشید که هیچ چیز زیر این خط ریاضی واقعی نیست، کاملاً. فرضیه ها گم شده اند - ما فرض می کنیم که همه چیز همیشه به چیزی که "باید" همگرا باشد همگرا می شود...
برای $f\in L^1(\Bbb R)$ تبدیل فوریه را با $\hat f$ تعریف کنید
$\hat f(\xi)=\int f(t)e^{-it\xi}\,dt.$(هر زمان که در مورد تبدیل فوریه صحبت می کنید، باید واقعاً تعریف را وارد کنید، حتی در شرایطی که خواننده قطعاً تعریف را می داند، زیرا هرکسی ها را در مکان های مختلف قرار می دهد؛ اگر تعریف خواننده کمی متفاوت باشد، چیزها انجام می شود. درست به نظر می رسد. این یکی از دلایلقراذاذ لیتل وود است که 2π=1$ $است.)
ما دنبالش هستیم
قضیه وارونگی $L^1$ فرض کنید $f\in L^1(\Bbb R)$. اگر این اتفاق بیفتد که$\hat f\in L^1(\Bbb R)$ نیز تقریباً در همه جا $f(t)=\frac1{2\pi}\int\hat f(\xi)e^{it\xi}\,d\xi$ باشد.
چیزی که اویلر یا فوریه ممکن است به عنوان یک دلیل در نظر بگیرند:
$f_L$ را مانند بالا تعریف کنید. سپس$f_L$ دارای دوره L است. در فانتزی فعلی ما، توابع تناوبی همیشه برابر با مجموع سری فوریه خود هستند، بنابراین $f_L(t)=\sum_nc_{L,n}e^{2\pi i nt/L},$
جایی که$c_{L,n}=\frac1L\int_0^Lf_L(t)e^{-2\pi int/L}.$حالا اگر تعریف$f_L$ را وارد کنید و توجه داشته باشید که آن نمایی دارای دوره L است، آن را می بینید
$c_{L,n}=\frac1L\hat f\left(\frac {2\pi n}L\right),$بنابراین ما داریم
$f_L(t)=\frac 1L\sum_n\hat f\left(\frac {2\pi n}L\right)e^{2\pi i nt/L}.$اما $\frac {2\pi}L\sum_n\hat f\left(\frac {2\pi n}L\right)e^{2\pi i nt/L}$ دقیقاً یک مجموع ریمان برای$\int\hat f(\xi)e^{i\xi t}\,d\xi$است. از آنجایی که $f_L(t)\to f(t)$به صورت $L\to\infty$ قضیه به شرح زیر است.
این به این دلیل است که این به نظر من بسیار جالب است، حتی اگر واقعاً یک اثبات واقعی نیست: من اثبات استاندارد یا یک اثبات استاندارد قضیه وارونگی را به خوبی می شناسم. هرگز به طور شهودی برای من مشخص نبود که 2π از کجا آمده است - برخی از انتگرال ها مقداری ارزش دارند، اگر آن انتگرال متفاوت بود، ثابت متفاوتی بود. اما در اینجا واقعاً واضح است که چرا 1/2π وجود دارد: ثابت‌های سری فوریه واضح هستند، فقط به دلیل متعامد بودن، و تبدیل فوریه به سادگی $1/2\pi$را از سری فوریه به ارث می‌برد. آهان این بهتر است
پروژه ارزشمندی است. من می توانم حداقل دو رویکرد را تصور کنم: (i) نشان دهید که آرگومان برای $f_n$ کار می کند، جایی که $f_n\to f$ تقریباً در همه جا کار می کند و $||\hat f_n-\hat f||_1\to0$ نشان می دهد که آرگومان واقعاً با فرض کار می کند. فقط $f,\hat f\in L^1$
(البته اگر در حال تلاش (ii) هستیم، نمی‌توانیم نشان دهیم که سری فوریه برای $f_L$ به $f_L$ همگرا می‌شود، زیرا این به طور کلی نادرست است. اما سری فوریه به $f_L$"مجموعه" است...)
نکته در واقع به نظر می رسد که (i) سخت نیست - اینجا را ببینید. به طور خلاصه، فرض $f,f',f''\in L^1$ برای کارکرد استدلال بالا کافی است و استخراج قضیه وارونگی کامل از این مورد خاص آسان است.
سری فوریه
یک سیگنال تناوبی 𝑔(𝑡) را با دوره T دوره ای در نظر بگیرید، سپس سری فوریه تابع 𝑔(𝑡) به صورت زیر تعریف می شود:
$\mathrm{g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:....(1)}$جایی که، 𝐶𝑛 ضریب سری فوریه است و با،$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt\:\:\:\:....(2)}$اشتقاق تبدیل فوریه از سری فوریه
اجازه دهید 𝑥(𝑡) یک سیگنال غیر تناوبی باشد و رابطه بین 𝑥(𝑡) و 𝑔(𝑡) را با،
$\mathrm{X(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)\:\:\:\:.....(3)}$
جایی که، T دوره زمانی سیگنال تناوبی 𝑔(𝑡) است.
با تنظیم مجدد معادله (2)، دریافت می کنیم،
$\mathrm{TC_n=\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt}$عبارت 𝐶𝑛 نشان دهنده بزرگی مولفه فرکانس nω0 است.بگذارید$nω0 = ω $ در $𝑇 → ∞$. سپس، ما داریم،
$\mathrm{\omega_0=\frac{2\pi}{t}|_{T\rightarrow \infty}\rightarrow 0}$بنابراین، طیف فوریه گسسته پیوسته می شود و بنابراین جمع انتگرال و [𝑔(𝑡) → 𝑥(𝑡)] می شود. بنابراین، در 𝑇 → ∞،
$\mathrm{TC_n=\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-j\omega t}dt}$,$\mathrm{\Rightarrow TC_n=\int_{-\infty}^{\infty}[\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)]e^{-j\omega t}dt\:\:\:\:.....(4)}$از معادلات (3) و (4) داریم،
$\mathrm{\Rightarrow TC_n=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=X(\omega)\:\:\:\:....(5)}$بنابراین تبدیل فوریه سیگنال غیر تناوبی است
$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\:\:\:\:....(6)}$تابع X(ω) نشان دهنده طیف فرکانس تابع 𝑥(𝑡) است و تابع چگالی طیفی نامیده می شود.
تبدیل فوریه معکوس
سری فوریه یک تابع تناوبی 𝑔(𝑡) به این صورت تعریف می شود:
$\mathrm{g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{jn\omega_0 t}}$
$\mathrm{\because C_n=\frac{TC_n}{T}=\frac{X(\omega)}{T}\:\:\:[from\:eq.(5)]}$
$\mathrm{\therefore g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{X(\omega)}{T}e^{jn\omega_0 t}}$
$\mathrm{\because n\omega_0=\omega\:and\:T=\frac{2\pi}{\omega_0}}$,$\mathrm{\therefore g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{X(\omega)}{(2\pi/\omega_0)}e^{jn\omega_0t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{X(\omega)}{2\pi}e^{jn\omega_0t}\omega_0\:\:\:....(7)}$بنابراین، از معادلات (3) و (7) داریم
$\mathrm{x(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{jn\omega_0t}\omega_0\:\:\:....(8)}$همانطور که $𝑇 → ∞$، داریم،
$\mathrm{\omega_0=\frac{2\pi}{T}|_{T\rightarrow \infty}\rightarrow 0}$
بنابراین، 𝜔0 را می توان با 𝑑𝜔 نشان داد و جمع تبدیل به ادغام می شود. بنابراین، معادله (8) را می توان به صورت زیر نوشت
$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega\:\:\:....(9)}$
در اینجا، 𝑥(𝑡) به عنوان تبدیل فوریه معکوس X(ω) شناخته می شود.
عبارات در معادله (6) برای X(ω) و در معادله. (9) برای 𝑥(𝑡) به عنوان جفت تبدیل فوریه شناخته می شوند و می توانند به صورت،$\mathrm{X(\omega)=F[x(t)]}$,$\mathrm{x(t)=F^{-1}[X(\omega)]}$
جفت تبدیل فوریه را نیز می توان به صورت نمایش داد
$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$
امیدوارم که کمک کند.I hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
تصویر

ارسال پست