روشها زیاده ابتدا روش انتگرال دوم
محیط یک بیضی با محورهای نیمه اصلی و نیمه فرعی a,b شروع کنیم
$P(a,b)=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}~\mathrm d\theta$
که با جمع و تفریق $a^2\sin^2$ دوباره میارمش
$P(a,b)=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta}~\mathrm d\theta$
خوب میدونم میشه از $\cos^2+\sin^2=1$، عبارت کسینوس را حذف کرد
$P(a,b)=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2+(b^2-a^2)\sin^2\theta}$
فرمول دوباره میارم اینجا ساده تر
$P(a,b)=a\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)\sin^2\theta}$
اما به دلیل تقارن بیضی میدونم که این فقط چهار برابر انتگرال گرفته شده از 0 تا$\pi/2$ است، پس
$P(a,b)=4a\cdot \int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)\sin^2\theta}~\mathrm d\theta$
اما این فقط انتگرال بیضوی کامل از نوع دومه
$P(a,b)=4a\cdot \operatorname{Eli}_2\left(\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\right)$
تقریب ها
$\operatorname{Eli}_2(z)=\frac{\pi}{2}\left[1-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(2n-1)!_2}{(2n)!_2}\right)^2\frac{1}{2n-1}z^{2n}\right]$
جایی که !2 یک فاکتوریل دوگانه است. $z=\sqrt{1-b^2/a^2}$ را انتخاب کنید و برای تقریبی که می خواهید استفاده کنید.
روش دقیقتر $p=2πa(1-(\frac{1}{2})^2ε^2-{(\frac{1.3}{2.4})}^2\frac{ε^4}{3}-\cdots)$ روش سوم خیلی دقیق $\begin{align}
K(\gamma) \stackrel{def}{=}
\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-\gamma^2x^2)}} &= \frac{\pi}{2\verb/AGM/(1,\beta)}\\
E(\gamma) \stackrel{def}{=}
\int_0^1 \sqrt{\frac{1-\gamma^2 x^2}{1-x^2}}dx
&= \frac{\pi \verb/MAGM/(1,\beta^2)}{2\verb/AGM/(1,\beta)}
\end{align}
\quad\text{ where }\quad\beta = \sqrt{1-\gamma^2}$ نکته $\gamma = e $ خروج از مرکزeccentricity of the ellipse هستش
$\require{enclose} \\
\begin{align}
e &= \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \\
C &= 4aE(e) = 4a\int^{\pi/2}_{0}{\sqrt{1-e^2 \sin^2 \theta} \;d\theta} \tag{1} \\
C &= 2 \pi a \left(1-\sum^{\infty}_{n=1}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \frac{e^{2n}}{2n-1}}\right) \tag{2} \\
h &= \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \\
C &= \pi (a + b) \left( 1 + \sum^{\infty}_{n=1} { \left( \frac{(2n-1)!!}{2^n n!} \right)^2 \frac{h^n}{(2n-1)^2} } \right) \tag{3} \\
C &= \pi (a + b) \sum^{\infty}_{n=0} { \binom{1/2}{n}^2 h^n } \tag{4} \\
\enclose{horizontalstrike}{C} &\enclose{horizontalstrike}{\approx \pi \left( 3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)} \right)} \\
C &\approx \pi (a+b) \left( 1+ \frac{3h}{10 + \sqrt{4-3h}} \right) \tag{5}
\end{align}$helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
