هوپا، انجمن علم ایران

من فکر میکنم اشکال در سری است.
اشکال به نظرم از تعریف مشتق به دست میاد . داریم:
[tex]f{}'{(x)}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex]
حالا اگه بخوایم با استفاده از تعریف مشتق سری رو به دست بیاریم خواهیم دید:
h عددی حقیقیه و به صفر میل میکنه و ممکنه که عدد صحیحی نباشه و [tex]f(x+h)[/tex] برابر x+h تا x+h است. خب اگه h صحیح نیست پس x+h تا از یک تابع یعنی چی؟

....خب اگه h صحیح نیست پس x+h تا از یک تابع یعنی چی؟

سپاس m.s.f گرامی،
شاید مبهم ترین قسمت آن اثبات به خط دوم آن (عبارت "x-بار" ) برگردد. همانطور که شما اشاره کردید، "x-بار" تنها زمانی در ذهن ما (به لحاظ شهودی و عینی) معنا می یابد که "x" عددی صحیح باشد. برای x های غیرصحیح (مثلا حقیقی یا مختلط یا...) ، عبارت "x-بار" عجیب و بی مفهوم می نماید اما آیا "نادرست" هم هست؟
در ریاضی بسیار پیش می آید که یک مفهوم دارای عینیت شهودی نباشد اما این الزاما نمیتواند برهانی بر "نادرست بودن" آن باشد. فی المثل ما معمولا مفهوم "توان" را از مفهوم "ضرب" در خاطر می آوریم (x^4=x*x*x*x) اما حتی تصور عددی با توان گنگ (مثلا [tex]x^{ \sqrt {2}}[/tex] ) هم برای ما (یا اغلب ما) دشوار و سنگین است (هرچند که می دانیم مفهومی نادرست نیست).

پس: اکنون برایمان معلوم است که عبارت "x-بار" برای x های غیرصحیح، به لحاظ شهودی "عجیب" و "بی مفهوم" به نظر میرسد. حال باید ببینیم که آیا به لحاظ جبری "نادرست" هم هست؟ به گمانم این روش درستی برای دنبال کردن بحث شما باشد.

میخواهم بگویم که "نادرست بودن"، دلایل جداگانه ای طلب میکند. "عجیب یا غیر شهودی بودن" یک عبارت، تنها میتواند ما را به "نادرست" بودن آن مشکوک کند (شک ما ممکن است صحیح باشد یا نباشد) و در هر حال، نمیتواند به عنوان یک برهان کامل باشد.

ممنون

اکنون برایمان معلوم است که عبارت "x-بار" برای x های غیرصحیح، به لحاظ شهودی "عجیب" و "بی مفهوم" به نظر میرسد. حال باید ببینیم که آیا به لحاظ جبری "نادرست" هم هست؟

درسته

میخواهم بگویم که "نادرست بودن"، دلایل جداگانه ای طلب میکند. "عجیب یا غیر شهودی بودن" یک عبارت، تنها میتواند ما را به "نادرست" بودن آن مشکوک کند (شک ما ممکن است صحیح باشد یا نباشد) و در هر حال، نمیتواند به عنوان یک برهان کامل باشد.

قبوله

حالا می خوام بگم ممکنه عیب از سری نباشه و عیب از مشتق گیری ما باشه.
توضیح:
نگاه کن مشتق برای سری همگرا به صورت زیر تعریف میشه.
[tex]if\; \; \; f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty }c_{n}x^{n}\; \Rightarrow \; f'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty }nc_{n}x^{n-1}[/tex]
و حالا تابع ما:
[tex]f(x)=\sum_{i=1}^{x}x_{i}\; \; ,x_{i}=x[/tex]
اگه بخوایم ازش مشتق بگیریم داریم:
[tex]f'(x)=(\sum_{i=1}^{x}x_{i})'\; \; ,x_{i}=x[/tex]
درسته که سری ما متناهی و مشتق پذیره ولی باید یادمون باشه که مشتق تابع ما مثل سری قبلی نیست که از عبارت مقابل سیگما
مشتق بگیریم و در اینجا علاوه بر عبارت مقابل سیگما از متغییر های سیگما هم باید به نوعی مشتق گرفت.چرا که خود متغییر اند.
مثلا شاید بشه:
[tex]x^{2}=\sum_{i=1}^{x}x_{i}\; \; ,x_{i}=x\Rightarrow \; 2x=\sum_{i=2}^{x}(x_{i})'+(\sum_{i=1}^{x})'x_{i}\; \; \Rightarrow \; \; 2x=\sum_{i=2}^{x}1+(\sum_{i=1}^{x})'x_{i}\; \Rightarrow \; 2x=(x-1)+(\sum_{i=1}^{x})'x_{i}\; \Rightarrow \; x+1=(\sum_{i=1}^{x})'x_{i}[/tex]

دو تابع با هم برابر نیستند، که مشتق برابری داشته باشند.
در واقع تنها در یک نقطه با هم برابر هستند، نقطه ی x .

ایکس بار که نوشتید خودش یه مفهومه


باهاش رفتار مناسبی نکردید انگار که بگید ایگرگ بار یا صد بار

باید به ایکس شخصیت بدید

"بار" در شمردن شماره هایی از مجموعه ناشمارا هم به کار می رود؟

من در واقع اصلا نمیگم که این موردی که من نوشتم صحیحه ولی شاید بشه در موردش فکر کرد.

دو تابع با هم برابر نیستند، که مشتق برابری داشته باشند.
در واقع تنها در یک نقطه با هم برابر هستند، نقطه ی x .

شاید
اما میتونی بهم نشون بدی که چرا برابر نیستند؟
در واقع فکر میکنم سری مشکلی نداشته باشه!

ایکس بار که نوشتید خودش یه مفهومه


باهاش رفتار مناسبی نکردید انگار که بگید ایگرگ بار یا صد بار

باید به ایکس شخصیت بدید

منظورتو درست نفهمیدم
ایکس بار که مشتق ایکس هست.

- دامنه و بُرد "تابع" چیست؟ آیا "تابع" ما پیوسته است؟
- اگر دامنه آن شمارگان درست است (Z)، شیب چه چیزی را در کجا پیدا کنیم؟

خروش نوشته شده:"بار" در شمردن شماره هایی از مجموعه ناشمارا هم به کار می رود؟

Kardinalzahlen.jpg

من در نرم افزار میپل امتحانش کردم

m.s.f نوشته شده:

خروش نوشته شده:"بار" در شمردن شماره هایی از مجموعه ناشمارا هم به کار می رود؟

Kardinalzahlen.jpg

من در نرم افزار متلب امتحانش کردم

همان نکته‌ای که پین گرامی به آن اشاره داشت.

m.s.f نوشته شده:من در واقع اصلا نمیگم که این موردی که من نوشتم صحیحه ولی شاید بشه در موردش فکر کرد.

دو تابع با هم برابر نیستند، که مشتق برابری داشته باشند.
در واقع تنها در یک نقطه با هم برابر هستند، نقطه ی x .

شاید
اما میتونی بهم نشون بدی که چرا برابر نیستند؟
در واقع فکر میکنم سری مشکلی نداشته باشه!

سلام
دو تابع تنها در نقطه دلخواه x با هم برابر هستند.
شرط برابری دو تابع اینه که در تمام نقاط با هم برابر باشد پس به سادگی میشه x+d که d عدد دلخواهی هست رو در معادله جاگزاری کرد و اون رو چک کرد.
مشتق اول طبق انتظار 2x شده که متغیره، اما مشتق دوم که برابر x شده درواقع عدده نه متغیر.
استفاده همزمان از x هم به عنوان ثابت و هم به عنوان متغیر موجب ابهام در مسله شده.

سلام

دو تابع تنها در نقطه دلخواه x با هم برابر هستند.

خودت که داری میگی دلخواه

مشتق اول طبق انتظار 2x شده که متغیره، اما مشتق دوم که برابر x شده درواقع عدده نه متغیر.

من فکر میکنم یه چیزی هست که باید به اون دقت کنی اون هم اینه که تعداد باری که متغییر با خودش جمع میشود هم متغییر است.

استفاده همزمان از x هم به عنوان ثابت و هم به عنوان متغیر موجب ابهام در مسله شده.

منظور شما کدوم ثابته من که ثابتی نمیبینم.

و محض رضایت با استفاده از نرم افزار به دست میاد:

عدد ثابت دلخواه با متغیر فرق داره.
مثلا تابع زیر را در نظر بگیرید.
y=f(x)=ax

در اینجا x همون متغیر تابع است چون عملا با عبارت (f(x مشخص شده.
اما مقدار ثابت a ذکر نشده پس می‌گیم یک عدد دلخواه است.

اگر از رابطه‌ی بالا مشتق بگیریم خواهیم داشت:
df/dx=d(ax)/dx=a
اگر به جای a به صورت ضمنی بزاریم x ولی همچنان با اون به عنوان یک ثابت با اون برخورد کنیم، خواهیم داشت.
df/dx=d(ax)/dx=d(xx)/dx=xdx/dx=x

df/dx=x

***
من نمیدونم دقیقا منظور پین از x بار چیه؟! ولی
در تابع دومی که برای تابع اول نوشته شده،عبارت x بار به هیچ شکلی در تابع ذکر نشده(جز در یک نقطه) و در شکل تابع موجود نیست.
که با باعث تفاوت دوتابع و مشتق هاشون شده.
چیزی که م.مفتاح‌پور گرامی به عنوان ثابت بودن عبار x-بار از اون اسم بردند.