ف ی ز ی ک نوشته شده:یک عدد صحیح بزرگتر از 1 و غیر اول به نام a را درنظر میگیریم. این عدد باید حداقل به یک عدد غیر از 1 و غیر از خودش بخش پذیر باشد. حال چگونه میتوان اثبات کرد که این عدد یا عدادی که a بر آن ها بخش پذیر است ، فقط و فقط اول هستند؟
اگر اولین عددی را که این خاصیت رادارد، یعنی عددی صحیح،بزرگتر از 1 و غیر اول ( همان عدد 4 ) در نظر بگیریم، بدیهی است که عوامل این عدد، اول هستند. حال راجع به عدد غیر اول بعدی میتوان گفت که یا فقط بر اعداد اول کوچکتر از خودش بخش پذیر است، یا فقط بر عدد 4 بخش پذیر است و یا به هردو که در هر صورت همه ی عوامل این عدد، اول هستند ( چون عوامل عدد 4 اول هستند ) وراجع به عدد غیر اول بعدی نیز به همین ترتیب و همین طور تا بینهایت! میتوان این حرف را زد.
البته این نه یک اثبات کاملی است و نه جالب. من دیدم کسی جوابی نمیده خواستم نقطه ی شروع بحث باشم. لطفا کمی راهنمایی کنید .
هزار درود بر شما،
خب، این شهودی که شما، و احتمالاً بیش تر ما داریم درست است.
مساله اصلی اینجا است که چگونه برهان معتبری بیاریم.
ما برهان ریاضی می خوایم.
بیش تر ما، درک درستی از قضیه داریم و فکر می کنیم که واضح است؛
اما قسمت اصلی و معمولاً مشکل در اثبات های ریاضی،
این هست که چه طور احساس مون رو از مساله، به صورت یک برهان پذیرفتنی برای همه بنویسیم.
ما برهان واضح می خوایم. برهان دقیق می خوایم.
این بیش تر شبیه به یک بازی زیبا است!
این لم، در واقع بیان می کنه که یک عدد صحیح و بزرگتر از یک انتخاب کنید، انتخاب شما از دو حال خارج نیست:
یا عددتون اول هست.
یا عددتون مرکب هست.
تلاشی که شما برای استدلالتون کردید، رنگ و بوی "اصل استقرای ریاضی تعمیم یافته" می ده!
شما می گین اگر از دو شروع کنیم و همینطور بریم بالا، حکم لم صادق هست.
به نظر من این استدلال درست نیست.
در استفاده از اصل استقرای ریاضی، ما باید نشون بدید که درستی یک مرحله ی نوعی، درستی مرحله ی بعدی رو نشون می ده؛
اما در اینجا نمی تونیم این حرف رو بزنیم، چرا که، با فرض دونستن اینکه یک عدد صحیح و بزرگتر از یک، اول یا مرکب هست،
نمی دونیم تکلیف عدد بعدی چی هست.