بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
سلام و درود؛
همان گونه که از نام جستار بر می آد، می خوایم یک سری از لم ها و قضیه های شیرین ریاضی رو بررسی کنیم.
هر کس یک قضیه ای رو پیدا کرد که دید بدرد این این جستار می خورد*، لطفاً بنویسد. اثباتش رو هم سایر دوستان انجام می دند.
قرار نیست همیشه اثبات ها رو کامل و دقیق بیاریم، گاهی خود ایده اثبات کفایت می کنه.
یک قانون ساده هم داریم:
صورت و عنوان قضیه یا لم و یا فَکت رو بُلد (bold) بنویسید.
بهتره با چند تا ساده [اثبات کردن کلاً کار ساده و روتینی نیست!] شروع می کنیم.
لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی
عضوی، شامل
عضو است.
--------------------------------------------------------
* مشخصاً بعضی قضیه ها بدرد این جستار نمی خورند،
قضیه هایی مثل قضیه ی چهار رنگ، یا اون هایی که اثبات طاقت فرسا دارند و یا خیلی دشوار هستند.
همان گونه که از نام جستار بر می آد، می خوایم یک سری از لم ها و قضیه های شیرین ریاضی رو بررسی کنیم.
هر کس یک قضیه ای رو پیدا کرد که دید بدرد این این جستار می خورد*، لطفاً بنویسد. اثباتش رو هم سایر دوستان انجام می دند.
قرار نیست همیشه اثبات ها رو کامل و دقیق بیاریم، گاهی خود ایده اثبات کفایت می کنه.
یک قانون ساده هم داریم:
صورت و عنوان قضیه یا لم و یا فَکت رو بُلد (bold) بنویسید.
بهتره با چند تا ساده [اثبات کردن کلاً کار ساده و روتینی نیست!] شروع می کنیم.
لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی
عضوی، شامل
عضو است.
--------------------------------------------------------
* مشخصاً بعضی قضیه ها بدرد این جستار نمی خورند،
قضیه هایی مثل قضیه ی چهار رنگ، یا اون هایی که اثبات طاقت فرسا دارند و یا خیلی دشوار هستند.
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
- Parmenides
عضویت : دوشنبه ۱۳۸۵/۱۲/۲۸ - ۱۵:۴۱
پست: 1325-
سپاس: 239
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
مجموعه n عضوی A را در نظر میگیریم:آقای سیدیان نوشته شده:لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی n عضوی، شامل 2^{n} عضو است.
A به تعداد انتخاب صفر از n، زیر مجموعه صفر عضوی دارد (یک زیر مجموعه تهی).
A به تعداد انتخاب 1 از n، زیر مجموعه یک عضوی دارد.
A به تعداد انتخاب 2 از n، زیر مجموعه دو عضوی دارد.
.
.
.
A به تعداد انتخاب n از n، زیرمجموعه n عضوی دارد (یکی که خود A است).
از فرمول پاسکال، جمع کل این تعدادها می شود 2 به توان n.
No rational argument will have a rational effect on a man who does not want to adopt a rational attitude.
-Karl Popper-
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
بله، اثباتش در جاهای مختلفی هست ولی هدف ما ایجاد یک بستر برای تفکر هست نه بیهوه دنبال اثبات گشتن.مادلین نوشته شده: اثبات: دقایق 8:00 تا 13:00 در این ویدیو!
درود بر شماParmenides نوشته شده: از فرمول پاسکال، جمع کل این تعدادها می شود 2 به توان n.
حالا کسی می تونه این نقل قول رو نشون بده؟
در واقع می خوایم نشون بدیم مجموع درایه های سطرم
ام مثلث خیام-پاسکال، برابر هست با
دقیق تر بگم
لـم:
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
راهنمایی: به بسط دو جمله ای توجه کنید!آقای سیدیان نوشته شده:بله، اثباتش در جاهای مختلفی هست ولی هدف ما ایجاد یک بستر برای تفکر هست نه بیهوه دنبال اثبات گشتن.مادلین نوشته شده: اثبات: دقایق 8:00 تا 13:00 در این ویدیو!
درود بر شماParmenides نوشته شده: از فرمول پاسکال، جمع کل این تعدادها می شود 2 به توان n.
حالا کسی می تونه این نقل قول رو نشون بده؟
در واقع می خوایم نشون بدیم مجموع درایه های سطرم
ام مثلث خیام-پاسکال، برابر هست با
دقیق تر بگم
لـم:
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
درود
تعریف بسط دو جمله ای غیاث الدین جمشید کاشانی:
حالا به جای aو b عدد 1 رو قرار میدیم
اما اینجور اثبات یه جورایی دور زدن ریاضیه!
تعریف بسط دو جمله ای غیاث الدین جمشید کاشانی:
حالا به جای aو b عدد 1 رو قرار میدیم
اما اینجور اثبات یه جورایی دور زدن ریاضیه!
آخرین ویرایش توسط ویستاM سهشنبه ۱۳۹۳/۴/۱۷ - ۱۱:۱۲, ویرایش شده کلا 1 بار
جهان به حق مدیون ملت و ملیت ایرانی است
با افتخار و غرور ایرانی ام بر سر جهانیان فریاد میزنم که:
من نواده ی کوروش کبیرم
با افتخار و غرور ایرانی ام بر سر جهانیان فریاد میزنم که:
من نواده ی کوروش کبیرم
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
گزاره
فرض کنید C و 'C عدد هایی مثبت باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند n داشته باشیم
ثابت کنید: C'=C
این گزاره اساس تقریب زدن هاست
اثباتش سر راسته و از برهان خلف ثابت میشه
فرض کنید C و 'C عدد هایی مثبت باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند n داشته باشیم
ثابت کنید: C'=C
این گزاره اساس تقریب زدن هاست
اثباتش سر راسته و از برهان خلف ثابت میشه
جهان به حق مدیون ملت و ملیت ایرانی است
با افتخار و غرور ایرانی ام بر سر جهانیان فریاد میزنم که:
من نواده ی کوروش کبیرم
با افتخار و غرور ایرانی ام بر سر جهانیان فریاد میزنم که:
من نواده ی کوروش کبیرم
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
سلامآقای سیدیان نوشته شده:سلام و درود؛
لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی
عضوی، شامل
عضو است.
من نظر خودم درباره ایده اثبات این لم را عرض می کنم:
وقتی می خواهیم یک زیرمجموعه از مجموعه دلخواهی دست کنیم، می توانیم هر کدام از اعضا را در زیرمجموعه بگذاریم، یا نگذاریم. این یعنی هر عضو مجموعه می تواند 2 حالت داشته باشد (حضور و عدم حضور). با استفاده از اصل ضرب نتیجه می گیریم که کل حالت هایی که می توان زیرمجموعه درست کرد عبارتست از ضرب راه های مختلفی که برای هر عضو داریم. یعنی باید n بار 2 را در خودش ضرب کنیم. که می شود
آنچه دانه را شکافت، آن خدای من است.
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
درود بر همه شما
فقط یک نکته ای رو بگم:
بسط دو جمله ای تعریف نیست و با استقرای ریاضی اثبات می شه، پس هیچ دور زدنی در کار نیست.
کلاً استقرا خیلی قویه...
کلاً اصل ضرب یکی از ساده ترین روش ها برای حل مساله های نظریه مجموعه ها است.
درست است.ویستاM نوشته شده:درود
تعریف بسط دو جمله ای غیاث الدین جمشید کاشانی:
حالا به جای aو b عدد 1 رو قرار میدیم
اما اینجور اثبات یه جورایی دور زدن ریاضیه!
فقط یک نکته ای رو بگم:
بسط دو جمله ای تعریف نیست و با استقرای ریاضی اثبات می شه، پس هیچ دور زدنی در کار نیست.
کلاً استقرا خیلی قویه...
آفرین این اثبات که از اصل ضرب استفاده می کنه، ساده و زیبا است.mrfane نوشته شده:سلامآقای سیدیان نوشته شده:سلام و درود؛ً
لـم:
مجموعه ی زیر مجموعه های هر مجموعه ی
عضوی، شامل
عضو است.
من نظر خودم درباره ایده اثبات این لم را عرض می کنم:
وقتی می خواهیم یک زیرمجموعه از مجموعه دلخواهی دست کنیم، می توانیم هر کدام از اعضا را در زیرمجموعه بگذاریم، یا نگذاریم. این یعنی هر عضو مجموعه می تواند 2 حالت داشته باشد (حضور و عدم حضور). با استفاده از اصل ضرب نتیجه می گیریم که کل حالت هایی که می توان زیرمجموعه درست کرد عبارتست از ضرب راه های مختلفی که برای هر عضو داریم. یعنی باید n بار 2 را در خودش ضرب کنیم. که می شود
کلاً اصل ضرب یکی از ساده ترین روش ها برای حل مساله های نظریه مجموعه ها است.
آخرین ویرایش توسط امید سیدیان سهشنبه ۱۳۹۳/۴/۱۷ - ۱۶:۱۹, ویرایش شده کلا 2 بار
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
البته یک منفی پشتویستاM نوشته شده:گزاره
فرض کنید C و 'C عدد هایی مثبت باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند n داشته باشیم
ثابت کنید: C'=C
این گزاره اساس تقریب زدن هاست
اثباتش سر راسته و از برهان خلف ثابت میشه
کم گذاشته اید.
صورت گزاره رو تکرار می کنم:
گزاره:
فرض کنید
و
عدد هایی حقیقی باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند
داشته باشیم
ثابت کنید:
البته در اینجا باید از یکی از نتیجه های اصل ارشمیدسی توی اعداد حقیقی استفاده کنیم.
نتیجه به این صورت هست:
در صورتی
باشد، عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که:
اثبات
نقیض حکم رو به عنوان فرض خلف در نظر می گیریم:
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
- ehsan.helli1
نام: احسان
محل اقامت: تهران
عضویت : جمعه ۱۳۹۰/۱۰/۳۰ - ۲۱:۳۰
پست: 1688-
سپاس: 624
- جنسیت:
تماس:
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
کاش برخی از لم های حل مساءل فیزیک میزاشتید عنوان تاپیک رو
مثلا چیزی که الان به ذهنم میرسه یک سری تغییر متغیر جالب توی حل معادلات بازگشتی یا انتگرال ها هیتش و ...
مثلا چیزی که الان به ذهنم میرسه یک سری تغییر متغیر جالب توی حل معادلات بازگشتی یا انتگرال ها هیتش و ...
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
راست میگید من منفی نذاشته بودم!ممنون از توجهتونآقای سیدیان نوشته شده:البته یک منفی پشتویستاM نوشته شده:گزاره
فرض کنید C و 'C عدد هایی مثبت باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند n داشته باشیم
ثابت کنید: C'=C
این گزاره اساس تقریب زدن هاست
اثباتش سر راسته و از برهان خلف ثابت میشه
کم گذاشته اید.
صورت گزاره رو تکرار می کنم:
گزاره:
فرض کنید
و
عدد هایی حقیقی باشند و به ازای هر عدد طبیعی مانند
داشته باشیم
ثابت کنید:
البته در اینجا باید از یکی از نتیجه های اصل ارشمیدسی توی اعداد حقیقی استفاده کنیم.
نتیجه به این صورت هست:
در صورتی
باشد، عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که:
اثبات
نقیض حکم رو به عنوان فرض خلف در نظر می گیریم:
نتیجه ی اصل ارشمیدسی:که البته این نقیض فرض است، پس اثبات کامل است.
البته اصل ارشمیدسی ریشه اش برمیگرده به یکی از مقالات اصول اقلیدس که بعدا خاصیت ارشمیدسی نامیده شد.
برای توضیح بیشتر برای دوستان باید بگم خاصیت ارشمیدسی به این معناست که وقتی دو کمیت دارای نسبت اند که با افزایش هرکدوم بتونیم به مقداری بیش از دیگری دست پیدا کنیم.
به بیان نمادین:
وقتی دو کمیت aو b دارای نسبت اند که عددهای طبیعی مثل m و n وجود داشته باشد که:
برای رسیدن به چیزی که اقای سیدیان به عنوان نتیجه ی خاصیت ارشمیدسی اوردند باید از گزاره ی زیر استفاده کرد:
فرض کنید e و C اعداد مثبتی باشند در این صورت اعدادی طبیعی مانند mو n وجودددارند که
این گزاره رو ثابت کنید!
جهان به حق مدیون ملت و ملیت ایرانی است
با افتخار و غرور ایرانی ام بر سر جهانیان فریاد میزنم که:
من نواده ی کوروش کبیرم
با افتخار و غرور ایرانی ام بر سر جهانیان فریاد میزنم که:
من نواده ی کوروش کبیرم
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
درود بر شما، آفرین، این چیز خوبیه!ویستاM نوشته شده: برای رسیدن به چیزی که آقای سیدیان به عنوان نتیجه ی خاصیت ارشمیدسی آوردند باید از گزاره ی زیر استفاده کرد:
فرض کنید
و
اعداد مثبتی باشند در این صورت اعدادی طبیعی مانند
و
وجود دارند که:
این گزاره رو ثابت کنید!
یک اثباتش هم ازش می شناسم که با بسط دو جمله ای (!) هست!
این بسط دو جمله ای خیلی قدرتمنده!
از فرض داریم که
مثبت هست؛ خوب به وضوح
هم مثبت است.
پس:
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
-
عضویت : پنجشنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷
پست: 495-
سپاس: 565
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
سلامehsan.helli1 نوشته شده:کاش برخی از لم های حل مساءل فیزیک میزاشتید عنوان تاپیک رو
مثلا چیزی که الان به ذهنم میرسه یک سری تغییر متغیر جالب توی حل معادلات بازگشتی یا انتگرال ها هیتش و ...
من قبل از اینکه این جستار رو بزنم، تالار ریاضیات رو گشتم اما چیزی مثل این پیدا نکردم.
به هر حال منظور من از لم ها و قضایای ریاضی، معنای فنی اش بود.
فکر کنم اگه تاپیکی مثل " تکنیک های حل مساله " بزنی، چیز خوبی از آب در بیاد ...
و اما یک گزاره ی قدیمی*
و خیلی ساده و زیبا (منسوب به اقلیدس):
بی شمار عدد اول موجود است.
اگه تا به حال این کوچولو رو ندیدید، سعی کنید خودتون اثباتش کنید.
من خودم وقتی برای اولین بار قضیه رو دیدم، شانسم رو امتحان کردم، ولی نشد ...
فقط یک راهنمایی: هر عدد صحیح مثبت، نمایش یکتایی از عوامل اولش داره.
---------------------------------------------------------------------
* این قضیه ی کوچیک خیلی معروف هست و به نظر من زیبا ترین قضیه ی تمام ریاضیات هست!
هر کسی که اثبات این قضیه رو برای اولین بار می بینه (یا خودش پیدا می کنه)، بدون شک کلی لذت می بره.
اثبات این قضیه اونقدر ساده و زیبا و هوشمندانه است که آدم واقعاً جا می خوره!
آخرین ویرایش توسط امید سیدیان چهارشنبه ۱۳۹۳/۴/۱۸ - ۱۹:۲۱, ویرایش شده کلا 1 بار
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است
Re: بررسی برخی لم ها و قضیه های ریاضی
سلام و درودآقای سیدیان نوشته شده:بی شمار عدد اول موجود است.
می دانیم که هر عدد صحیح مرکب از دو یا چند عدد اول ساخته می شود. پس اگر تعداد اعداد اول متناهی باشد، تعدادا کل اعداد متناهی است.یعنی بی نهایت عدد نداریم که این تناقض است. در نتیجه تعداد اعداد اول نامتناهی است.