هوپا، انجمن علم ایران

سلام خدمت همه.
ایا بینهایت عدده؟

QQQQ نوشته شده:سلام خدمت همه.
ایا بینهایت عدده؟

0 و بینهایت هر دو یه عدد فرضی ریاضیاتی هستند و در جهان واقعی مبهم هستند

ولی با صفر میشه جمع و تفریق و... انجام داد ولی با بی نهایت نه

منظورم اینه که به بزرگترین عدد بینهایت گفته میشه و به کوچکترین عدد صفر ولی این که این دو عدد چند هستند مبهمه
آیا بینهایت 1000 هست 100000000000 هست یا اصلا یک جلوش ده ملیارد سال نوری صفر هست
و آیا صفر یک دهم است،یک میلیاردیوم است،یا 0/0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001 است؟
میبینید که عدد خاصی را به این دو نمیشه نسبت داد و این قضیه در مورد هر دو صادق هست
به طور کلی صفر یعنی 10 به توان منفی بینهایت و بینهایت یعنی 10 به توان مثبت بینهایت و هردو هم مبهم هستند
دلیلش هم اینه که جهان فراکتال است و بعد اعشاری دارد

دوست عزیز اگر صفر هثچ است پس چرا 1/0=بی نهیت

m shahab نوشته شده:دوست عزیز اگر صفر هثچ است پس چرا 1/0=بی نهیت

اتفاقا خودتون حرف خودتون رو رد کردید
وقتی یک تقسیم بر x بینهایت میشود که x به سمت 0 میل کرده باشد

"دلیلش هم اینه که جهان فراکتال است و بعد اعشاری دارد"

این یعنی چی؟ بیشتر توضیح بدید و ارتباطش رو با بی نهایت و صفر در بحث جاری بفرمایید.

بی نهایت یک مفهومه، مثل رادیکال منفی یک، در جهان فیزیکی بطور تقریبی می تونیم سیاه چاله رو مثالی از بی نهایت فرض کنیم.

سلام و درود خدمت شما،

از اواخر قرن نوزدهم، بی نهایت (بهتره بگم بی نهایت ها!) فقط دیگه یک مفهوم مبهم نیستند!
اعداد بینهایت وجود دارند و بی نهایت تا هم هستند!

اعداد بی نهایت وجود دارند و حتی می شود با آنها محاسبه هم کرد (!)؛ یعنی می شه در هم ضرب کرد، جمع کرد و حتی به توان رسوند!
اما آنها به طور کلی متفاوت از اعداد طبیعی، صحیح، گویا و حقیقی اند.
به این نوع اعداد می گیم اعداد اصلی (Cardinal numbers). نظریه ی این اعداد رو ابتدا گئورگ کانتور در اواخر قرن نوزدهم بنا نهاده.

اعداد اصلی به طور کلی دو قسمت اند: متناهی و فرامتناهی. اعداد اصلی متناهی، در واقع همون اعداد طبیعی خودمون هستند.
اعداد اصلی فرامتناهی (Transfinite) اعدادی هستند که در واقع انواع مختلف بی نهایت ها رو نشون می دهند.

اعداد طبیعی و اعداد حقیقی هر دو بی نهایت اند،
اما به نظر شما، اعداد حقیقی پرجمعیت تر است یا اعداد طبیعی؟

این نظریه به طور دقیق میاد برای هر مجموعه ای یک اندازه تعریف می کنه،
مثلاً بی نهایت اعداد طبیعی رو با [tex]\aleph_{0}[/tex] نشون می ده و مثلاً بی نهایت اعداد حقیقی رو با [tex]C[/tex]
اما خیلی جالبه که خود آقای کانتور ثابت کرده اند که:

آقای سیدیان نوشته شده:سلام و درود خدمت شما،

از اواخر قرن نوزدهم، بی نهایت (بهتره بگم بی نهایت ها!) فقط دیگه یک مفهوم مبهم نیستند!
اعداد بینهایت وجود دارند و بی نهایت تا هم هستند!

اعداد بی نهایت وجود دارند و حتی می شود با آنها محاسبه هم کرد (!)؛ یعنی می شه در هم ضرب کرد، جمع کرد و حتی به توان رسوند!
اما آنها به طور کلی متفاوت از اعداد طبیعی، صحیح، گویا و حقیقی اند.
به این نوع اعداد می گیم اعداد اصلی (Cardinal numbers). نظریه ی این اعداد رو ابتدا گئورگ کانتور در اواخر قرن نوزدهم بنا نهاده.

اعداد اصلی به طور کلی دو قسمت اند: متناهی و فرامتناهی. اعداد اصلی متناهی، در واقع همون اعداد طبیعی خودمون هستند.
اعداد اصلی فرامتناهی (Transfinite) اعدادی هستند که در واقع انواع مختلف بی نهایت ها رو نشون می دهند.

اعداد طبیعی و اعداد حقیقی هر دو بی نهایت اند،
اما به نظر شما، اعداد حقیقی پرجمعیت تر است یا اعداد طبیعی؟

این نظریه به طور دقیق میاد برای هر مجموعه ای یک اندازه تعریف می کنه،
مثلاً بی نهایت اعداد طبیعی رو با [tex]\aleph_{0}[/tex] نشون می ده و مثلاً بی نهایت اعداد حقیقی رو با [tex]C[/tex]
اما خیلی جالبه که خود آقای کانتور ثابت کرده اند که:

[tex]C=2^{\aleph_0}[/tex]

آقا بابتِ‌ این پاسخ دمت گرم و مرتبط‌ترین جوابیه که این بابا می‌تونه بگیره و گرفته. فقط یه نکته اضافه کنم (که در اصل مرتبطه به اون قسمتی که بولد کردم) و اونم اینه که بی‌نهایتی که در نظریه‌یِ مجموعه‌ها بحث می‌شه یخده متفاوته.


اوّل) تو نظریه‌یِ مجموعه‌ها یه مجموعه رو می‌گیم نامتناهیه یعنی تعدادِ اعضاش بی‌نهایته اگه شما بتونی یه زیرمجموعه‌ی محض پیدا کنی که تناظرِ یک به‌یک بینِ اعضایِ مجموعه‌یِ اصلی و همین زیرمجموعه وجود داشته باشه. اگه چنین زیرمجموعه‌ای نتونه نوشته بشه، اون وقت مجموعه‌یِ‌ اصلی متناهی بوده.
دوم) روشی که عددها رو باش می‌سازن از اصولِ موضوعه‌یِ پئانو معمولاً شروع می‌شه. یعنی شما یه شیء رو فرض می‌کنی که روابطِ تساوی رو شامل بشه و بعد یه successor map تعریف می‌کنی که بگی دقیقاً چه اعضایی بعدش میان. مثلاً اگه شیءِ اوّلیه‌ت رو بگیری ۱، ساکسسورت می‌شه ۱+ و همین‌طوری می‌تونی ۲ و ۳ و تمامِ عدد‌هایِ طبیعی رو نتیجه بگیری. (البته ملّت بعد از دهه‌یِ ۳۰-۴۰ (یعنی بعد از بورباکی) از صفر عددهایِ طبیعی رو شروع می‌کنن چون صفر آیدنتیتی المنت محسوب می‌شه و در این صورت ساختارِ جبریِ شما می‌شه مونوئید و قضایایِ مربوط هم خود به‌خود واسه‌مجموعه‌ت اثبات می‌شه) بعد از این‌ که عدد‌هایِ طبیعی رو به‌دست آوردی، عدد‌هایِ صحیح و بعد گویا و بعد حقیقی (با یه روشی مثلِ برشِ‌ ددکیند مثلاً) و بعد مختلط و الی آخر رو تعریف می‌کنی.


تو اصولِ موضوعه‌یِ پئانو، اون شیءِ اوّلیه‌ت مهم نیست که صفره یا یکه یا میزه یا صندلی، اگه یه ساکسسورِ درست تعریف کنی، مجموعه‌ای که نتیجه می‌شه خواصش شبیه خواصِ اعدادِ‌ طبیعیه بدین مفهوم که شما خوش‌ترتیبی و استقرا و فلان داری توش.
حالا بی‌نهایتی که تو نظریه‌یِ مجموعه‌ها ازش استفاده می‌شه بدین‌صورته که مثلاً یه‌عضوِ اوّلیه رو می‌گیرن {} و بعد تابعِ ساکسسورش می‌کنن یه سوپرست یعنی {{}} و بعدی رو می‌کنن {{{}}} و الی آخر (فون‌نیومان متفاوت تعریف کرده ولی نتیجه‌ش می‌شه مثلِ همین). یعنی شما یه تناظرِ یک به‌یک برقرار کن بین صفر و {} و بین یک و {{}} و الی آخر. این‌طوری شما عددهایِ طبیعی رو بر حسبِ کلاس‌ها تعریف کردی.

حالا بی‌‌نهایتی که شما ازش صحبت کردی[tex]\aleph_0[/tex] چیزیه مثلِ [tex]\{\mathbb{N}\}[/tex] یعنی یه عددی که از تمامیِ عدد‌هایِ طبیعی مطابقِ تعریف بزرگ‌تره (این که گفتم «مثل» دقیق نیست چون اوّلیه کاردیناله و دومیه اردینال ولی خب واسه این پست خوبه). اینام می‌شه جمع و ضرب و تفریق کرد منتهی متناهی نیست. حالا برقراریِ حسابان رویِ اینا و امثالهم و هم‌چنین تعریفِ اعدادِ نامتناهی کوچیک مثلِ‌ کوچک‌ترینِ عددِ‌ مثبتِ‌ ناصفر و امثالهم که تو سیستم‌هایی مثلِ‌ اعدادِ سورئال بحث می‌شه، پایه‌شون از همین تعریفِ مجموعه‌ها و ایناست.

حالا واسه این‌که چرا بی‌نهایتِ نظریه‌یِ مجموعه‌ها متفاوت از اون بی‌نهایتِ مفهومیه و فلان، اون موردِ دومیه می‌شه که بولد کردم که گفتی کاردینالِ اعدادِ حقیقی مساویِ دو به‌توانِ کاردینالِ طبیعیه و این رو کانتور ثابت کرده. خب چیزی که گفتی اشتباهه. چون هم ثابت شده که مساوی هست و هم ثابت شده که مساوی نیست، یعنی پاسخِ به چنین سؤالی در اصولِ موضوعه‌یِ فعلیِ مجموعه‌ها ممکن نیست (کوهن) و دقیقاً چون که ممکن نیست، شما می‌تونی بی‌نهایت رو هر چه‌قدر که بخوایی وسیع تعریف کنی و هنوز هم بی‌نهایت گنگ و مبهم می‌شه.

خلاصه‌یِ کلام: راجع به کاردینال‌ها و اردینال‌ها و فلان می‌شه دقیق صحبت کرد، ولی راجع به بی‌نهایت نه!

درود بر شما استاد aalireza،

aalireza نوشته شده:حالا واسه این‌که چرا بی‌نهایتِ نظریه‌یِ مجموعه‌ها متفاوت از اون بی‌نهایتِ مفهومیه و فلان، اون موردِ دومیه می‌شه که بولد کردم که گفتی کاردینالِ اعدادِ حقیقی مساویِ دو به‌توانِ کاردینالِ طبیعیه و این رو کانتور ثابت کرده. خب چیزی که گفتی اشتباهه. چون هم ثابت شده که مساوی هست و هم ثابت شده که مساوی نیست، یعنی پاسخِ به چنین سؤالی در اصولِ موضوعه‌یِ فعلیِ مجموعه‌ها ممکن نیست (کوهن)

فرمایش شما صادقانه است،
من به صورت ضمنی، فرضیه ی پیوستار رو درست فرض کرده بودم که درست نیست!

ولی فکر می کنم که فرضیه ی پیوستار از اصل انتخاب در بیاد !؟
به نظر شما درسته؟

...

aalireza نوشته شده:فون‌نیومان متفاوت تعریف کرده ولی نتیجه‌ش می‌شه مثلِ همین

آره
یادم هست خودم برای اولین بار ساخت اعداد طبیعی رو از روش نیومان خونده بودم که در اونجا اونها رو از طریق یک اصلی به نام اصل بی نهایت می ساختند که می گفت: دست کم یک مجموعه ی استقرایی وجود داره، و اعداد طبیعی رو به کوچکترین مجموعه ی استقرایی تعریف می کرد.
مجموعه ی استقرایی مجموعه ای هست که تهی رو داره،
و اگر [tex]x[/tex] رو داشته باشه، ساکسسور اش (تالی اش)، یعنی [tex]~x^+=~x\cup\{x\}[/tex] رو هم داشته باشه.
البته همونطور که اشاره کردید، یادم هست که اثبات می شد هر دوی اینها معادل اند.

ممنون از توجه تون و اینکه نوشتید

آقای سیدیان نوشته شده:aalireza نوشته است:
حالا واسه این‌که چرا بی‌نهایتِ نظریه‌یِ مجموعه‌ها متفاوت از اون بی‌نهایتِ مفهومیه و فلان، اون موردِ دومیه می‌شه که بولد کردم که گفتی کاردینالِ اعدادِ حقیقی مساویِ دو به‌توانِ کاردینالِ طبیعیه و این رو کانتور ثابت کرده. خب چیزی که گفتی اشتباهه. چون هم ثابت شده که مساوی هست و هم ثابت شده که مساوی نیست، یعنی پاسخِ به چنین سؤالی در اصولِ موضوعه‌یِ فعلیِ مجموعه‌ها ممکن نیست (کوهن)

فرمایش شما صادقانه است،
من به صورت ضمنی، فرضیه ی پیوستار رو درست فرض کرده بودم که درست نیست!

ولی فکر می کنم که فرضیه ی پیوستار از اصل انتخاب در بیاد !؟
به نظر شما درسته؟

...

راستش نه، فرضیه‌یِ پیوستار ربطی به اصلِ انتخاب نداره. ولی این‌که بگم دقیقاً چرا، می‌خوره تو نظریه‌یِ مدل‌ها و جهان‌ها و فلان که خب در حدِّ سوادِ ما نیستش فعلاً. منتهی همین کوهنی که گفتم، فیلدزش رو دقیقاً‌ به همین خاطر گرفت که نشون داد این دو تا به هم ربطی ندارند:
https://en.wikipedia.org/wiki/Forcing_(mathematics)


پی‌نوشت: ما استادمون کجا بود دادا! هنر کنیم همین درسِ خودمونو نیوفتیم خوبه.
پی‌نوشتِ دو: راجع به همین مبحث و هم‌چنین تعریفِ فون‌نیومان که در ادامه گفتی، توصیه می‌کنم حتماً راجع به اعدادِ‌ سورئال بخونی اگه تا الان نخوندی. چون استفاده‌یِ اصلی‌ش تو نظریه‌یِ بازی‌هایِ ترکیباتیه زیاد کسی تحویلش نمی‌گرفت (البته این اواخر تو نظریه‌یِ اعداد کاربرد پیدا کرده) ولی به‌طرزِ بسیار خفنی مرتبط به همین موضوعه و به‌نوعی بسطِ همین تعریفِ فون‌نیومان محسوب می‌شه.

بی نهایت از هر عدد بزرگی بزرگ تر و منفی بی نهایت از هر عدد کوچکی کوچک تر می باشد.

صفر عدد است، مثل یک، دو، سه و ...
در آنالیز ِ حقیقی و مختلط، چیزی به اسم بی نهایت (به تنهایی) نداریم کلن. پس عدد نیست.
یک سری جملات داریم که هرکدام مفهوم دقیق دارند.
حدِ بی نهایت، حدِ فلان چیز (تابع، دنباله و ...) بی نهایت میشود،عدد ِ اصلی فلان مجموعه بی نهایت است و ...
تعداد اعضای یک مجموعه، را با عدد اصلی نشان میدهیم. بعضی مجموعه ها عدد اصلی ش بی نهایت است. اما این اعداد با هم فرق میکنند. کانتور آمد با استفاده از مفهوم ِ عدد اصلی، برای اعداد اصلی، یک تعمیمی از اعداد ِ طبیعی داد که اعداد فرامتناهی را هم شامل می شوند. این موجودات (اعداد فرامتناهی) را بر طبق مفهوم ِ عددِ اصلی تعریف کرد، حساب ِ آنها را تعریف کرد. همانطوری که ما در آنالیز اعداد طبیعی را تعریف میکنیم و حساب آنها را تعریف می کنیم و ...
بعدها یک نظریه ای به اسم ِ نظریه اندازه، هم عمدتن توسط ِ کارهای لِبگ، توضیع شد که در آنهم بی نهایت را میبینید.

الآن ممکن است اعتراض کنید و بگویید بلاخره بی نهایت عدد هست یا نه؟

باید بگویم، با تعریفی که در آنالیز ِ کلاسیک از اعداد میکنیم و حساب ِ آن هارا تعریف میکنیم، بی نهایت را جزء ِ آنها نمیگیریم.
اما بعدها کانتور موجوداتی را تعریف کرد و حساب هم برایشان درست کرد که بی نهایت جزءشان است و آنها را هم عدد نامید. (ای کاش نمی نامید!) در واقع آن روابطی که آقای سیدیان نوشتند (توان و ...) و برای ِ موجودات و حسابیست که کانتور تعریف کرده و متفاوت از حساب ِ ماست.
در کُل چیزی که مهم است این است که بی نهایت یک تافته ی ِ جدا بافته از اعدادی چون صفر و یک و ... است. باقی اش نام گذاری است.
در مورد ِ مطالبی هم که دوست قدیمی aalireza فرمودند که

aalireza نوشته شده:خب چیزی که گفتی اشتباهه. چون هم ثابت شده که مساوی هست و هم ثابت شده که مساوی نیست، یعنی پاسخِ به چنین سؤالی در اصولِ موضوعه‌یِ فعلیِ مجموعه‌ها ممکن نیست (کوهن) و دقیقاً چون که ممکن نیست، شما می‌تونی بی‌نهایت رو هر چه‌قدر که بخوایی وسیع تعریف کنی و هنوز هم بی‌نهایت گنگ و مبهم می‌شه.

صادقن نشنیدم و درکل باید بگویم نمیدانم، و بهتر است، دوستان ِ ریاضی خوان و ریاضی دان بجای ِ من وارد شوند.

با سلام
دوستان اشتباهی مرتکب شدند.این اثبات شده که کاردینال اعداد حقیقی برابر با کاردینال زیر مجموعه های اعداد طبیعی است.و همچنین قضیه کانتور که مربوط به سلسله اعداد اصلی بی نهایت است نیز اثبات شده است.فرضیه پیوستار می گوید که ایا بین عدد اصلی اعداد طبیعی و عدد اصلی اعداد حقیقی ایا عدد اصلی وجود دارد یا خیر،که جواب خود کانتور ،خیر می باشد. که بعدها کوهن اثبات کرد که فرضیه پیوستار نه قابل اثبات هست و نه نقض کردن.در واقع اشتباه دوستان در این هست که گفتند فرضیه پیوستار یعنی ایا عدد اصلی اعداد طبیعی با اعداد حقیقی برابر است یا نه؟اگر قرار بود فرضیه پیوستار به این شکل که گفتید بود ،پس دیگر معلوم نبود که ایا بینهایت هایی با اندازه های متفاوت وجود دارند یا خیر!!!

milad65 نوشته شده:با سلام
دوستان اشتباهی مرتکب شدند.این اثبات شده که کاردینال اعداد حقیقی برابر با کاردینال زیر مجموعه های اعداد طبیعی است.و همچنین قضیه کانتور که مربوط به سلسله اعداد اصلی بی نهایت است نیز اثبات شده است.فرضیه پیوستار می گوید که ایا بین عدد اصلی اعداد طبیعی و عدد اصلی اعداد حقیقی ایا عدد اصلی وجود دارد یا خیر،که جواب خود کانتور ،خیر می باشد. که بعدها کوهن اثبات کرد که فرضیه پیوستار نه قابل اثبات هست و نه نقض کردن.در واقع اشتباه دوستان در این هست که گفتند فرضیه پیوستار یعنی ایا عدد اصلی اعداد طبیعی با اعداد حقیقی برابر است یا نه؟اگر قرار بود فرضیه پیوستار به این شکل که گفتید بود ،پس دیگر معلوم نبود که ایا بینهایت هایی با اندازه های متفاوت وجود دارند یا خیر!!!

بله ...
من موافق با نظر شما هستم.
باید ببینیم نظر aalireza چیست!