کاردینالیتی این چند مجموعه

[امید سیدیان]

درود به همه شما،
آیا من در پایین چیزی رو دارم اشتباه می گم؟

1. کاردینالیتی مجموعه ی همه ی توابع از [tex]\Re[/tex] به [tex]\Re[/tex]، [tex]2^{2^{\aleph_0}}[/tex] است.

2. کاردینالیتی مجموعه ی همه ی توابع پیوسته از [tex]\Re[/tex] به [tex]\Re[/tex]، [tex]2^{\aleph_0}[/tex] است.

3. کاردینالیتی مجموعه ی همه ی توابع مشتق پذیر از [tex]\Re[/tex] به [tex]\Re[/tex]، [tex]2^{\aleph_0}[/tex] است.

4. کاردینالیتی مجموعه ی همه ی توابع قطعه به قطعه پیوسته از [tex]\Re[/tex] به [tex]\Re[/tex]، [tex]2^{\aleph_0}[/tex] است.

[mamooli]

2 تا 4 درسته. ولی 1 طبق تعریف توان کاردینال‌ها، برابر هست با [tex]c^c[/tex] که [tex]c=2^{\aleph_0}[/tex] که یعنی برابر هست با [tex]{(2^{\aleph_0})}^{2^{\aleph_0}}[/tex] که برابر نیست با اونی که نوشتید. اگه اشتباه می‌کنم، بگید.

ممنون.

[امید سیدیان]

1 طبق تعریف توان کاردینال‌ها، برابر هست با [tex]c^c[/tex] که [tex]c=2^{\aleph_0}[/tex] که یعنی برابر هست با [tex]{(2^{\aleph_0})}^{2^{\aleph_0}}[/tex] که برابر نیست با اونی که نوشتید. اگه اشتباه می‌کنم، بگید.

ممنون.

خیلی ممنون از این که پاسخ دادید.

عدد کاردینالی که شما محاسبه کردید، با چیزی که من برای قسمت 1. نوشتم برابر هست.
من با توجه به دو خاصیت کاردینال نامبر ها، پاسخ شما رو ساده تر کردم و نوشتم. (تصویر)
متاسفانه چون لاتک در هوپا کار نمی کنه، مجبورم این تصویر رو براتون بفرستم:

شمس.jpg

[امید سیدیان]

چیزی که برای من مهم بود، مورد 4 بود.
اگر کاردینالیتی مجموعه ی توابع قطعه به قطعه پیوسته، همان کاردینالیتیِ پیوستار باشد،
کاردینالیتی فضای توابع مجذور انتگرال پذیر، روی بازه ی a تا b، که می شود [tex]{{\L}^2}[a,b][/tex]، همان [tex]2^{\aleph_0}[/tex] است.
پس با توجه به قضیه ی Riesz - Fischer کاردینالیتی هر فضای هیلبرت نامتناهی بعد، همان [tex]2^{\aleph_0}[/tex] است.
از طرف دیگر، هر فضای برداری متناهی بعد روی میدان مرتب کامل، یک فضای هیلبرت است که کاردینالیتی اش [tex]2^{\aleph_0}[/tex] است.
بنابراین هر فضای هیلبرت (متناهی، یا نامتناهی بعد که روی میدان مرتب کامل بنا شده باشد) هم عدد با [tex]\Re[/tex] است.

سوال
حال که فهمیدیم هر فضای هیلبرت با شروط بالا هم عدد با [tex]\Re[/tex] است،
چرا فضای هیلبرت، هم پایه های شمارا، و هم پایه های ناشمارا دارد؟

مثلاً می دانیم که [tex]\{x^n~:n \in {N}\}[/tex] پایه ای برای [tex]{{\L}^2}[a,b][/tex] است؛
(از قضیه ی stone - weierstrass) که مجموعه ای شمارا است.

همچنین می دانیم که [tex]\{e^{ikx}~:k \in {\Re}\}[/tex]ي نیز پایه ای برای [tex]{{\L}^2}[a,b][/tex] است؛
که همان پایه های تبدیل فوریر هست و مجموعه ای نا شمارا است.

خب، چطور ممکن است که برای فضا های هیلبرت، که همگی کاردینالیتی های یکسان دارند،
پایه هایی با کاردینالیتی های غیر یکسان وجود داشته باشد؟