مشتقگیری از یک رابطه ای که تابع نیست

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
The Morrígan

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۴/۱۱/۱۳ - ۱۸:۱۰


پست: 177

سپاس: 182

جنسیت:

مشتقگیری از یک رابطه ای که تابع نیست

پست توسط The Morrígan »

درود.

من دارم مکانیک تحلیلی می خونم و تو حل یک مسأله به مشکل برخوردم. در واقع مشکلم مربوط به یک مفهوم ریاضی، به همین دلیل اینجا مطرحش می کنم. صورت مسأله اینه:

Capture.JPG


من متوجه نمیشم منظور از دوران حول یک محور عمودی، یک محور عمودی فیکسه، یا هر محور دلخواهی عمود بر صفحه ی مرکز جرم دیسک؟ از دید شما مقصود سوال کدوم حالته؟ در هر صورت من حالت دوم رو در نظر گرفتم و این مسیر فرضی رو برای مرکز جرم دیسک رسم کردم:

Picture2.png
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.

نمایه کاربر
The Morrígan

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۴/۱۱/۱۳ - ۱۸:۱۰


پست: 177

سپاس: 182

جنسیت:

Re: مشتقگیری از یک رابطه ای که تابع نیست

پست توسط The Morrígan »

و این رابطه رو به عنوان معادله ی قیدی بین مختصات تعمیم یافته (رو، فی، تتا) پیدا کردم:

20160215_123343.jpg


(تتا زاویه ای هستش که هر نقطه روی دیسک طی می کنه.)

چیزی که من متوجه نمیشم، و پرسش اصلی من اینه: همون طور که تو نمودار نشون دادم، برای یک مسیر دلخواه، ممکنه به ازای هر فی، چند رو داشته باشیم، در نتیجه رو تابع فی نیست (اما فی تابع رو هستش، چون به ازای هر رو، تنها یک فی داریم.) با این اوصاف، آیا می تونیم از دی فی زیر رادیکال فاکتور بگیریم و دی رو/دی فی رو مشتق رو نسبت به فی به شمار بیاریم؟
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.

نمایه کاربر
[email protected]

نام: م. ج. معروف به گربه ی زَبادی

محل اقامت: تهران

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۰/۹/۲۴ - ۱۱:۴۹


پست: 1454

سپاس: 514

جنسیت:

تماس:

Re: مشتقگیری از یک رابطه ای که تابع نیست

پست توسط [email protected] »

سلام
ظاهراً جواب درست به این سوال به دینامیک هامیلتونی و لاگرانژی بر می گرده که من چیز زیادی راجع بهش نمی دونم. فقط برای سرگرمی smile021 معادله ی حرکت یک نقطه از دیسک رو محاسبه می کنم. البته منظور از جمله ی اول رو دقیقاً نمی فهمم، اگه منظور از لیز نخوردن این باشه که دیسک، سرِ جاش (به صورت درجا) حول دو محور عمود بر هم دوران می کنه اونوقت اگه محور عمودی رو فیکس در نظر بگیریم، با استفاده از توابع برداری و مختصات کروی، معادله ی حرکت یک نقطه ی دلخواه از دیسک در فضا رو می شه به این صورت نوشت:

معادله ی حرکت.png
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.

نمایه کاربر
The Morrígan

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۴/۱۱/۱۳ - ۱۸:۱۰


پست: 177

سپاس: 182

جنسیت:

Re: مشتقگیری از یک رابطه ای که تابع نیست

پست توسط The Morrígan »

[email protected] نوشته شده:سلام
ظاهراً جواب درست به این سوال به دینامیک هامیلتونی و لاگرانژی بر می گرده که من چیز زیادی راجع بهش نمی دونم. فقط برای سرگرمی smile021 معادله ی حرکت یک نقطه از دیسک رو محاسبه می کنم. البته منظور از جمله ی اول رو دقیقاً نمی فهمم، اگه منظور از لیز نخوردن این باشه که دیسک، سرِ جاش (به صورت درجا) حول دو محور عمود بر هم دوران می کنه اونوقت اگه محور عمودی رو فیکس در نظر بگیریم، با استفاده از توابع برداری و مختصات کروی، معادله ی حرکت یک نقطه ی دلخواه از دیسک در فضا رو می شه به این صورت نوشت:

معادله ی حرکت.png

خب نه، این نه پاسخ پرسش منه، نه پاسخ مسأله. با این حال سپاسگزارم.

سر/لیز نخوردن یعنی غلتش محض داریم. یک نقطه ی دلخواه روی دیسک رو در نظر بگیر. در یک بازه ی زمانی مشخص مقدار مسافتی که در نتیجه ی دوران دیسک طی می کنه (=شعاع دیسک ضربدر جابه جایی زاویه ای) باید با مسافتی که مرکز جرم دیسک در حرکت انتقالی طی می کنه برابر باشه. امیدوارم اشتباه نکرده باشم.

نمایه کاربر
[email protected]

نام: م. ج. معروف به گربه ی زَبادی

محل اقامت: تهران

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۰/۹/۲۴ - ۱۱:۴۹


پست: 1454

سپاس: 514

جنسیت:

تماس:

Re: مشتقگیری از یک رابطه ای که تابع نیست

پست توسط [email protected] »

خوب اگه لیز نخوردن رو طبق گفته ی شما بخوایم در نظر بگیریم، تنها اصلاحی که توی معادله ی بالا برای مسیر یک نقطه از چرخ وارد میشه قاعدتاً این هست که ضریب بردار یکّه ی [tex]j[/tex] رو با [tex]vt[/tex] جمع کنیم، چون مقدار جابجاییه مرکز جرم (مبدأ مختصات) میشه سرعت انتقالی دیسک ضرب در زمانِ جابجایی پس:

معادله ی حرکت2.png


این معادله یه جورایی فکر کنم حرکت چرخ جلوی مثلاً یه موتور سیکلت یا ماشین رو نشون می ده. با این تفاوت که فرض کنیم چرخ هیچ وقت در راستای x ها جابجایی نداشته باشه! که یعنی سر بخوره! (پس بنابراین معادله ی این پُست هم معادله ی صحیحی نیست) و حل کاملش یه خرده پیچیدس اجازه بدید بیشتر فکر کنم. smile020
البته باز هم میگم، راه بالا شاید اصلاً جواب مسئله ی شما نباشه ولی پیدا کردنه همین معادله ی مسیر یه نقطه از چرخ برای خودم جالبه.
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.

ارسال پست