هوپا، انجمن علم ایران

درود.

من دارم مکانیک تحلیلی می خونم و تو حل یک مسأله به مشکل برخوردم. در واقع مشکلم مربوط به یک مفهوم ریاضی، به همین دلیل اینجا مطرحش می کنم. صورت مسأله اینه:



من متوجه نمیشم منظور از دوران حول یک محور عمودی، یک محور عمودی فیکسه، یا هر محور دلخواهی عمود بر صفحه ی مرکز جرم دیسک؟ از دید شما مقصود سوال کدوم حالته؟ در هر صورت من حالت دوم رو در نظر گرفتم و این مسیر فرضی رو برای مرکز جرم دیسک رسم کردم:

و این رابطه رو به عنوان معادله ی قیدی بین مختصات تعمیم یافته (رو، فی، تتا) پیدا کردم:



(تتا زاویه ای هستش که هر نقطه روی دیسک طی می کنه.)

چیزی که من متوجه نمیشم، و پرسش اصلی من اینه: همون طور که تو نمودار نشون دادم، برای یک مسیر دلخواه، ممکنه به ازای هر فی، چند رو داشته باشیم، در نتیجه رو تابع فی نیست (اما فی تابع رو هستش، چون به ازای هر رو، تنها یک فی داریم.) با این اوصاف، آیا می تونیم از دی فی زیر رادیکال فاکتور بگیریم و دی رو/دی فی رو مشتق رو نسبت به فی به شمار بیاریم؟

سلام
ظاهراً جواب درست به این سوال به دینامیک هامیلتونی و لاگرانژی بر می گرده که من چیز زیادی راجع بهش نمی دونم. فقط برای سرگرمی معادله ی حرکت یک نقطه از دیسک رو محاسبه می کنم. البته منظور از جمله ی اول رو دقیقاً نمی فهمم، اگه منظور از لیز نخوردن این باشه که دیسک، سرِ جاش (به صورت درجا) حول دو محور عمود بر هم دوران می کنه اونوقت اگه محور عمودی رو فیکس در نظر بگیریم، با استفاده از توابع برداری و مختصات کروی، معادله ی حرکت یک نقطه ی دلخواه از دیسک در فضا رو می شه به این صورت نوشت:

[email protected] نوشته شده:سلام
ظاهراً جواب درست به این سوال به دینامیک هامیلتونی و لاگرانژی بر می گرده که من چیز زیادی راجع بهش نمی دونم. فقط برای سرگرمی معادله ی حرکت یک نقطه از دیسک رو محاسبه می کنم. البته منظور از جمله ی اول رو دقیقاً نمی فهمم، اگه منظور از لیز نخوردن این باشه که دیسک، سرِ جاش (به صورت درجا) حول دو محور عمود بر هم دوران می کنه اونوقت اگه محور عمودی رو فیکس در نظر بگیریم، با استفاده از توابع برداری و مختصات کروی، معادله ی حرکت یک نقطه ی دلخواه از دیسک در فضا رو می شه به این صورت نوشت:

معادله ی حرکت.png

خب نه، این نه پاسخ پرسش منه، نه پاسخ مسأله. با این حال سپاسگزارم.

سر/لیز نخوردن یعنی غلتش محض داریم. یک نقطه ی دلخواه روی دیسک رو در نظر بگیر. در یک بازه ی زمانی مشخص مقدار مسافتی که در نتیجه ی دوران دیسک طی می کنه (=شعاع دیسک ضربدر جابه جایی زاویه ای) باید با مسافتی که مرکز جرم دیسک در حرکت انتقالی طی می کنه برابر باشه. امیدوارم اشتباه نکرده باشم.

خوب اگه لیز نخوردن رو طبق گفته ی شما بخوایم در نظر بگیریم، تنها اصلاحی که توی معادله ی بالا برای مسیر یک نقطه از چرخ وارد میشه قاعدتاً این هست که ضریب بردار یکّه ی [tex]j[/tex] رو با [tex]vt[/tex] جمع کنیم، چون مقدار جابجاییه مرکز جرم (مبدأ مختصات) میشه سرعت انتقالی دیسک ضرب در زمانِ جابجایی پس:



این معادله یه جورایی فکر کنم حرکت چرخ جلوی مثلاً یه موتور سیکلت یا ماشین رو نشون می ده. با این تفاوت که فرض کنیم چرخ هیچ وقت در راستای x ها جابجایی نداشته باشه! که یعنی سر بخوره! (پس بنابراین معادله ی این پُست هم معادله ی صحیحی نیست) و حل کاملش یه خرده پیچیدس اجازه بدید بیشتر فکر کنم.
البته باز هم میگم، راه بالا شاید اصلاً جواب مسئله ی شما نباشه ولی پیدا کردنه همین معادله ی مسیر یه نقطه از چرخ برای خودم جالبه.