هوپا، انجمن علم ایران

میخواستم اگه میشه یکی ماتریکس دوران رو توضیح بده و در ضمن من تو یه کتاب دیدمش ولی R با دوتا اندیس از حروف مختصات داشت که منظورشو نفهمیدم ولی میدونم به مثلثات زاویه دوران مربوط میشه ولی نمیتونم تایین کنم دقیقا چی میشن

سلام؛

ماتریس دوران روی بردار مکان در دستگاه مختصات اثر می کنه و بردار رُ حول مبدأ دستگاه مختصات تحت یه زاویه ای می چرخونه. مثلاً در دو بعد، یک دستگاه مختصات دکارتی رو در نظر بگیر. حالا یه نقطه انتخاب کن و بردار مکانش رو در نظر بگیر؛ می خوایم به اندازه ی تتا درجه در جهت پادساعتگرد بچرخونیمش. باید یه ماتریس دو در دو رُ از سمت چپ تو بردارمون ضرب کنیم، که آرایه های این ماتریس به ترتیب اینان: کسینوس تتا، سینوس تتا، منهای سینوس تتا، کسینوس تتا.

AriaPhysics نوشته شده:من تو یه کتاب دیدمش ولی R با دوتا اندیس از حروف مختصات داشت که منظورشو نفهمیدم ولی میدونم به مثلثات زاویه دوران مربوط میشه ولی نمیتونم تایین کنم دقیقا چی میشن

منظورتو نمی فهمم؛ دو تا اندیس از حروف مختصات؟

مرسی ولی اینارو میدونستم منظورم سه در سه بود این عکس هم عکس R

اگه درست فهمیده باشم خود R ماتریس دورانیه که قراره بردار شما رو در یک فضای سه بعدی دوران بده. اما همونطوری که خودش تو ادامش گفته، درایه های این ماتریس دلبخواه هستند و میتونند شبیه همون ماتریس دوران مثلثاتی معروف cos/sin باشن. در مورد اندیس هم وقتی شما دو ماتریس رو ضربدر هم میکنید اندیس ها ساده میشه و احتمالا این هم همینه ، اگه دقت کنید وقتی Ax در Rxx ضرب میشه A'x میده یا Ay در Rxy ضرب میشه A''x میده و وقتی Az در Rxz ضرب میشه A'''x میده وقتی این سه تا مولفه بدست اومده رو باهم جمع بزنیم به مختصات دوران یافته Ax میرسیم. اینو من طبق دونسته های قبلیم گفتم و نمیدونم درسته یا غلط، دوستان اصلاح کنند اگه غلطه.
اسم کتاب رو میشه بگید؟

الکترودینامیک گریفیث

paradoxy نوشته شده:اگه درست فهمیده باشم خود R ماتریس دورانیه که قراره بردار شما رو در یک فضای سه بعدی دوران بده. اما همونطوری که خودش تو ادامش گفته، درایه های این ماتریس دلبخواه هستند و میتونند شبیه همون ماتریس دوران مثلثاتی معروف cos/sin باشن. در مورد اندیس هم وقتی شما دو ماتریس رو ضربدر هم میکنید اندیس ها ساده میشه و احتمالا این هم همینه ، اگه دقت کنید وقتی Ax در Rxx ضرب میشه A'x میده یا Ay در Rxy ضرب میشه A''x میده و وقتی Az در Rxz ضرب میشه A'''x میده وقتی این سه تا مولفه بدست اومده رو باهم جمع بزنیم به مختصات دوران یافته Ax میرسیم. اینو من طبق دونسته های قبلیم گفتم و نمیدونم درسته یا غلط، دوستان اصلاح کنند اگه غلطه.
اسم کتاب رو میشه بگید؟

درسته، ولی فکر کنم بهتره A رو بردار بنامیم، چون در حقیقت برداره که می خوایم بچرخونیمش، و ماتریس ستونی فقط نمایشی برای برداره.

---

دوست گرامی، اون ترکیب های دوتایی از x و y و z که به صورت اندیس اومدن، مولفه ها/آرایه ها/عناصر ماتریس دوران رُ نشون میدن. مثلاً xx برای مولفه ی اول، yz برای مولفه ی ششم. ترتیبشون مهمه، یعنی مثلاً xy با yx فرق می کنه. شما می تونی به جای حروف از عدد هم استفاده کنی، 1 و 2 و 3، به جای (به ترتیب) x و y و z. اون صفحه از کتاب هم که عکسشو فرستادی، بعد رابطه ی 1.31 دقیقاً همینو گفته.

سلام

دوران (در یک فضای برداری [tex]n[/tex] بعدی) یک تبدیل خطی هست: [tex]R:V\to{V}[/tex]

حالا یک سری خاصیت داره مثلاً:
1. معکوس پذیره (یا معادلاً یک به یک و پوشا است)
2. در هر پایه از فضای [tex]V[/tex] ، دترمینان ماتریسش یکه
3. یک بردار ویژه داریم که تکرر جبری (تبهگنیِ) مقدار ویژه ی متناظرش [tex]n[/tex] هست.
4. متعامد هست: [tex]RR^{\dagger}~=~R^{\dagger}R~=~1[/tex]
چون متعامده، بدیهتاً نرمال هم هست، یعنی می شه ازش توی قضیه ی تجزیه طیفی استفاده کرد.