هوپا، انجمن علم ایران

rohamjpl نوشته شده: ↑

یک‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۹ - ۱۰:۰۴

ر فضای سه بعدی ، یک سیستم مختصات دکارتی استاندارد وجود دارد (x,y,z). با شروع از یک نقطه که ما آن را مبدا می نامیم ، سه محور عمود بر هم ساخته می شود که آن را اصطلاحاً می نامیمx-محور ، y-محور ، و z-محور. .
با این محورها هر نقطه p در فضا می توان سه مختصات اختصاص داد $ \vc{p}=(p_1,p_2,p_3) $.و داریم
درست مانند دو بعدی ، مختصات یک بردار را اختصاص می دهیم aبا ترجمه دم خود به مبدا و یافتن مختصات نقطه در سر آن. به این ترتیب می توان بردار را مانند نوشت$\vc{a}=(a_1,a_2,a_3) $. ما اغلب می نویسیم$ \vc{a} \in \R^3 $به این معنی است شما میتونید به صورت تابع خطی $ \large T ( \overrightarrow x ) = \mathbf { A } \overrightarrow x $ خوب شما در حالت کلی $ \large \mathbf { A } = \begin {bmatrix} T ( \overrightarrow e _ 1 ) & T ( \overrightarrow e _ 2 ) & \cdots & T ( \overrightarrow e _ n ) \end {bmatrix} $ دارید مثال $T ( x ) = 5 x $ که به صورت زیر درمیاد$ \large T ( \overrightarrow { x } ) = 5 \overrightarrow { x } = 5 \mathbf { I } \overrightarrow { x } = \begin {bmatrix} 5 & & 0 \\ 0 & & 5 \end {bmatrix} \overrightarrow { x }$ در حقیقت طول بردار 5 برابر شده حال به صورت کلی $ \large E = [\overrightarrow e_1 \overrightarrow e _ 2 \ldots \overrightarrow e _ n ] $ بردارهای پایه و متغییر توصیف کننده $ \large [v] _ E = [ v _ 1 v _ 2 \ldots v _n ] ^ T $لذل بردار را به صورت $\large \overrightarrow v = v _ 1 \overrightarrow e _ 1 + v _ 2 \overrightarrow e _ 2 + \ldots + v _ n \overrightarrow e _ n = \sum v _ i \overrightarrow e _ i = E [v] _ E $ بیان میکنم به صورت کلی $ \large \begin {align*} { \displaystyle { \begin {aligned} A ( { \overrightarrow { v } } ) & = A \left ( \sum v _ { i } { \overrightarrow { e } } _ { i } \right ) = \sum { v _ { i } A ( { \overrightarrow { e } } _ { i } ) } = [A ( { \overrightarrow { e } } _ { 1 } ) A ( { \overrightarrow { e } } _ { 2 } ) \ldots A ( { \overrightarrow { e } } _ { n } ) ][v] _ { E } \\ & = A \cdot [v] _ { E } ={ \begin {bmatrix} a _ { 1 , 1 } & a _ { 1 , 2 } & \ldots & a _ { 1 , n } \\ a _ { 2 ,
1 } & a _ { 2 , 2 } & \ldots & a _ { 2 , n } \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a _ { n , 1 } & a _ { n , 2 } & \ldots & a _ { n , n } \\ \end {bmatrix} } [{ \overrightarrow { e } } _ { 1 } { \overrightarrow { e } } _ { 2 } \ldots { \overrightarrow { e } } _ { n }
{ \begin {bmatrix} v _ { 1 } \\ v _ { 2 } \\ \vdots \\ v _ { n } \end {bmatrix}} \end{aligned} } } \end {align*} $لذا من طبق رابطه فوق، مولفه‌های ai,j ماتریس A طبق پایه‌های e به‌صورت زیر بدست اوردم$ \large {\displaystyle a _ { i , j } = A _ { [i,n] } { \overrightarrow { e } } _ { j } = A _ { 1 , 1 } e _ { 1 , j } + A _ { 1 , 2 } e _ { 2 , j } + \ldots + A _{ 1 , n } e _ { n , j } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } A _ { 1 , i } e_ { i , j } }$ شد به عنوان تابع ماتریسی شما میتونید دوران-پرش-انتقال-تجانس-انبساط-انقباض را راحت انجام بدید مثال دوران شما میخواهید فرض کنید دستگاه مختصاتی حول محور z خود به اندازهθ، به صورت پادساعتگرد دوران کند. مختصات z هر نقطه تغییر نخواهد کرد و این تنها z و y هستند که تغییر خواهند کرد. فرض کنید مختصات نقطه در دستگاه اولیه برابر با (x,y,z) و در دستگاه دوران یافته برابر با (x′,y′,z) باشد. در این صورت رابطه بین نقاط را می‌توان با استفاده از ماتریس زیر بیان کرد:$ \large \begin {pmatrix} x ^ { \prime } \\ y ^ { \prime } \\ z ^ { \prime } \end {pmatrix} =\begin {pmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\- \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} x \\ y \\ z \end {pmatrix} $که به صورت زیر داریم $\large {\displaystyle {\begin {alignedat}{1} R _ { x } ( \theta ) &={\begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & – \sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt] \end {bmatrix} } \\[6pt] R _ { y } ( \theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt] 0 & 1 & 0 \\[3pt]-\sin \theta & 0 & \cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta ) & ={\begin {bmatrix} \cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end {bmatrix}}\end{alignedat}}} $ د حقیقت شما با نوشتن مختصات به صورت ماتریس به یکی از جذابترین حالات نوشتن رابطه در دستگاه مختصات هست