ببینید شما میگید تعریف بلد هستید اره اما درکش نکردید .بنابراین یک چندجملهای میتواند اعداد ثابت، متغیرها و توانها را داشته باشد؛ اما تقسیم بر یک متغیر مجاز نیست یا داشتن توان متغییر خوب توان منفی یعنی متغییر حالت تقسیم پیدا میکنه .مجموع دو چندجملهای یک چندجملهای است. بهعبارت فنیتر، مجموعهٔ دربرگیرندهٔ همهٔ چندجملهایها، تحت عمل جمع بسته است.
ضرب دو چندجملهای یک چندجملهای است. یعنی، مجموعهٔ چندجملهایها، تحت عمل ضرب بسته است.
مشتق یک چندجملهای یک چندجملهایست. بهزبان دیگر، مجموعهٔ چندجملهایها، نسبت به عمل مشتقگیری بسته است.
پادمشتق یک چندجملهای یک چندجملهایست. یا مجموعهٔ چندجملهایها، نسبت به عمل انتگرالگیری نامعین بسته است.
اگر یک چند جمله ای P (x) با یک چند جمله ای تقسیم شود G (x) منجر به ضریب Q (x) با باقی مانده R (x) می شود $P(x) = G(x) • Q(x) + R(x)$
چند جمله ای P (x) با دو جمله ای (x - a) قابل تقسیم است اگر و فقط اگر P (a) = 0 باشد.
ویژگی : قضیه باقی مانده اگر P (x) با (x - a) با باقی مانده r تقسیم شود ، پس P (a) = r.
ویژگی قضیه فاکتور چند جمله ای P (x) تقسیم بر Q (x) منجر به R (x) با صفر باقیمانده می شود اگر و فقط اگر Q (x) ضریب P (x) باشد.
جمع ، تفریق و ضرب چند جمله ای P و Q منجر به یک چند جمله ای می شود که در آن ،
درجه (P ± Q) درجه (P یا Q)
درجه (P × Q) = درجه (P) + درجه (Q)
اگر یک چند جمله ای P با چند جمله ای Q قابل تقسیم باشد ، پس هر صفر Q نیز صفر P است.
اگر یک چند جمله ای P به دو چند جمله ای همزمان Q و R قابل تقسیم باشد ، پس با (Q • R) قابل تقسیم است.
اگر P (x) چند جمله ای با ضرایب واقعی باشد و دارای یک صفر پیچیده باشد (x = a - bi) ، در این صورت x = a + bi نیز صفر P (x) خواهد بود. همچنین ، x2 - 2ax + a2 + b2 یک عامل P (x) خواهد بود.
معادلات چند جمله ای
معادلات چند جمله ای عبارت هایی هستند که از چندین ثابت و متغیر ساخته شده اند. فرم استاندارد نوشتن معادله چند جمله ای این است که بالاترین درجه را در درجه اول قرار دهیم و در آخر ، در اصطلاح ثابت قرار دهیم.
تابع چند جمله ای عبارتی است که با یک یا چند اصطلاح از متغیرها با نماهای ثابت ساخته شده است. اگر اعداد واقعی وجود داشته باشد که با a مشخص شده اند ، می توان تابع با یک متغیر و درجه n را به این روش نوشت $f(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0$ خوب میتونم کوتاه بنویسم $f_n(x)=\sum _{k=0}^n a_k x^k$
من بازم یک نکته بگم چند جمله ای نیز در چندین متغیر وجود دارد.من یک مثال میزنم $p(x,y) = A + Bx + Cy +Dx^2+Exy+Fy^2$
چند جمله ای درجه دو عمومی است در دو متغیر. درجه یک اصطلاح فقط مجموع درجه ها با توجه به متغیرهای منفرد است. بنابراین اصطلاحی مانند 3xy دارای درجه دو و اصطلاحی مانند $3x^4y^5z$ دارای درجه 4 + 5 + 1 = 10 است. درجه چند جمله ای درجه بالاترین درجه آن با ضریب غیر صفر .
من یک مطلب دیگه بگم اونم در مورد نمایش ماتریس چند جمله ای در اینجا من یک چند جمله ای $p(x,y) = (ax + by)^2$ دارم، می توان اینگونه نوشت $p(x,y) = \left(\left[ \begin{array}{cc}
a & b \\
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array} \right]\right)^2$ و من می دانم که می توان آن را به عنوان چیزی مانند $v^TMv$ نیز نوشت ، در اینجا$v = [x,y]^T$ ، و$M = \left[ \begin{array}{cc}
a^2 & ab \\
ab & b^2\\
\end{array} \right]$
ساده هست نگاه کنید ماتریس $\left[ \begin{array}{cc}
a & b \\
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc}
x & y \\
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{c}
a\\
b
\end{array} \right]$وقتی $M= \left[ \begin{array}{c}
a & b
\end{array}\right] \left[ \begin{array}{c}
a\\
b
\end{array}\right]$
ببینید $v=\left[ \begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right]$ و ضرایب $A=\left[ \begin{array}{cc}
a & b \\
\end{array} \right]$ اگه ماتریس بلد باشید میفهمید چی میگم $Av=v^TA^T$ یعنی $(Av)^2 = (Av)^T(Av) = v^TA^TAv = v^T(A^TA)v$پس میشه گفت $M=A^TA$
ببینید در این موارد، قضیه «کیلی همیلتونCayley-Hamilton Theorem محاسبات را سادهتر میکنه به بیان سادتر، قضیه کیلی همیلتون بیان میکند که هر ماتریس مربعی در معادله مشخصه خود صدق میکند
اگر چندجملهای $F( \lambda)$ ، چندجملهای مشخصه ماتریس A با ابعاد n×n باشد، آنگاه ماتریس $F ( A )$ A) یک ماتریس صفر n×n خواهد بود. به عبارت دیگر، ماتریس A در معادله مشخصهاش درست درمیاد میکند.اثبات در کتب درسی شما هست میتوانید ببینیدماتریس چند جمله ای P متغیر از درجه p به این صورت تعریف می شود${\displaystyle P=\sum _{n=0}^{p}A(n)x^{n}=A(0)+A(1)x+A(2)x^{2}+\cdots +A(p)x^{p}}$ که نوشتن اون با نرم افزار متلب خیلی ساده هست .ولی شما چند جمله ای ساده با درجه پایین میتونید به صورت دستی انجام بدین.i hope i helped roham hesami