ثبت روش حل حدس کولاتز

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
09143182984

نام: عادلی

عضویت : چهارشنبه ۱۴۰۰/۱۰/۱ - ۱۳:۰۵


پست: 1

سپاس: 1

جنسیت:

ثبت روش حل حدس کولاتز

پست توسط 09143182984 »

سلام
می خواستم بدونم چگونه می توان روش حل حدس کولاتز را در سایت مربوطه ثبت کرد. در کدام سایت باید ثبت نمود

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2396

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: ثبت روش حل حدس کولاتز

پست توسط rohamavation »

حدس کولاتز حدسی در ریاضیات است که مربوط به دنباله هایی است که به صورت زیر تعریف می شوند: با هر عدد صحیح مثبت n شروع کنید. سپس هر جمله از جمله قبل به صورت زیر بدست می آید: اگر جمل قبل زوج باشد، جمله بعدی نصف جمله قبلی است.حدس کولاتز در در واقع مطرح میکنه که آیا تکرار برخی عملیات‌های ساده حسابی در نهایت هر عدد صحیح مثبت را به یک تبدیل می‌کند؟ مربوط به دنباله هایی از اعداد صحیح است که در آنها هر جمله از جمله قبلی به صورت زیر بدست می آید: اگر جمله قبلی زوج باشد، جمله بعدی نصف جمله قبلی است. اگر جمله قبلی فرد باشد، جمله بعدی 3 برابر جمله قبلی به اضافه 1 است. حدس این است که این دنباله ها همیشه به 1 می رسند، مهم نیست کدام عدد صحیح مثبت برای شروع دنباله انتخاب شده است.عملیات زیر را روی یک عدد صحیح مثبت دلخواه در نظر بگیرید:اگر عدد زوج است آن را بر دو تقسیم کنید.تصویر
اگر عدد فرد است آن را سه برابر کنید و یک عدد اضافه کنید.
در نماد حسابی مدولار، تابع f را به صورت زیر تعریف کنید:$ {\displaystyle f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{if }}n\equiv 0{\pmod {2}}\\[4px]3n+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}}$اکنون با انجام مکرر این عمل، با هر عدد صحیح مثبت شروع و نتیجه را در هر مرحله به عنوان ورودی در مرحله بعدی، دنباله ای تشکیل دهید.${\displaystyle a_{i}={\begin{cases}n&{\text{for }}i=0\\f(a_{i-1})&{\text{for }}i>0\end{cases}}} $مقدار f است که به صورت بازگشتی i بار به n اعمال می شود؛ $ai = fi(n)).$
حدس کولاتز این است: این فرآیند در نهایت به عدد 1 خواهد رسید، صرف نظر از اینکه در ابتدا کدام عدد صحیح مثبت انتخاب شده باشد.
حدس کولاتز را من نمیتونم اثبات کنم اولا کارم من هوافضا هست و صرفا ریاضیات نیست و بیشتر جنبه محاسباتی و حل هست و با فرمولها سرکار دارم و نتیجه ان که اعداد و مقایسه
من متعجبم که برای اثبات حدس کولاتز باید از کجا شروع کرد. یعنی بر اساس ماهیت مسئله، نقطه شروع تلاش برای اثبات آن چیست؟ من می دانم که می توان آن را به اشکال مختلف به عنوان یک معادله نشان داد (که باید دوباره تکرار کنید):
$\begin{align*}
f(x) &=
\left\{
\begin{array}{ll}
n/2 &\text{if }n \bmod2=0 \\
3n+1 &\text{if }n \bmod2=1
\end{array}
\right.\\
\strut\\
a_i&=
\left\{
\begin{array}{ll}
n &\text{if }n =0\\
f(a_i-1)&\text{if }n>0
\end{array}
\right.\\
\strut\\
a_i&=\frac{1}{2}a_{i-1} - \frac{1}{4}(5a_{i-1} + 2)((-1)^{a_i-1} - 1)
\end{align*}$آیا می توانید فقطمعادله را بگیرید .
راه‌های دیگری که به آن فکر می‌کردم تلاش برای اثبات فقط اعداد فرد یا زوج یا تلاش برای یافتن معادله‌ای است که با نمودار یک عدد در برابر "طول کولاتز" آن مطابقت داشته باشد.برای هر عدد طبیعی n اگر n زوج بود اون رو بر 2 تقسیم می کنیم و اگر فرد بود اونو در 3 ضرب و سپس یک واحد به آن می افزاییم. در این فرایند به عدد جدیدی می رسیم باز هم اگر عدد زوج بود اون رو بر 2 تقسیم می کنیم و اگر فرد بود اونو در 3 ضرب و سپس یک واحد به آن می افزاییم. اگر این فرایند را چندین بار تکرار کنیم ثابت کنید که نهایتاً به عدد 1 می رسیم.به فرض مثال اگر n=13 داریم:
$13→40→20→10→5→16→8→4→2→1$
آن چه که باعث شده حدس کولاتز به یک معمای غیر قابل حل تبدیل شود، این است که فرقی ندارد چه عددی را وارد این حدس بکنید، مقدار نهایی این تابع همواره «یک» خواهد بود. بیایید با یک مثال بررسی کنیم.برای شروع، عدد ۱۰ را انتخاب می‌کنیم. ۱۰ یک عدد زوج است، بنابراین با پیروی از قانون اول، آن را به ۲ تقسیم می‌کنیم. عدد حاصل ۵ خواهد بود. ۵ فرد است، بنابراین باید وارد معادله‌ی دوم شود. حاصل این معادله ۱۶ خواهد بود. حال باید چرخه را ادامه دهیم، و ۱۶ را به ۸ نصف کنیم. ۸ زوج است و دوباره وارد همین معادله شده، و به ۴ تبدیل می‌شود. پس از چهار، عدد ۲ و در نهایت «یک» را خواهیم داشت.
123-370-185-556-278-139-418-2099-628-314-157-472-236-118-59-178-89-268-134-67-202-101-304-152-76-38-19-58-29-88-44-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1 طولانی بود ولی باز به یک
The orbit of 2n+1 شماتابع Collatz را در نظر بگیرید،$T(n)=\frac {n}{2}, \text { if $n$ is even}$
و$T(n)=\frac {3n+1}{2}, \text { if $n$ is odd}$با مشاهده مدار $ 2^n+1$به فرمول زیر رسیدم.
$T^n(2^n+1)= 3^{n/2}+1, \text { if $n$ is even}$
$T^n(2^n+1)= 3^{(n+1)/2}+2, \text { if $n$ is odd}$
من با دنبال کردن مدار به فرمول رسیدم.$2^n+1\to 3(2^{n-1})+2 \to 3(2^{n-2})+1\to 3^2(2^{n-3})+2\to 3^2(2^{n-4})+1\to...$
مثلا$T^5(2^5+1)=3^3+2=29$که توسط
$33\to 50\to 25\to 38\to 19 \to 29$برای n بزرگتر این مهم است، به عنوان مثال$T^{100}(2^{100}+1)= 3^{50}+1$و$T^{1000}(2^{1000}+1)= 3^{500}+1$
:سوال:چگونه این را به یک اثبات رسمی تبدیل کنیم؟ یکی از بچه های ریاضی گفت این راه حل را ببین در حالی که من متوجه نشدم از کجا اورده ما داریم
$2^a3^b+1\to\frac{2^a3^{b+1}+4}2\to2^{a-2}3^{b+1}+1.$سپس حتی برای a، بعد از $a/2$
$2^a3^0+1\to2^03^{a/2}+1$
و برای فرد a، بعد از$(a-1)/2$
$2^a3^0+1\to2^13^{(a-1)/2}+1\to\frac{2^13^{(a+1)/2}+4}2=2^03^{(a+1)/2}+2.$
.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

مندلیف

نام: T

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۰/۱۱/۱۸ - ۱۵:۵۵


پست: 5



جنسیت:

Re: ثبت روش حل حدس کولاتز

پست توسط مندلیف »

سلام
اگر ثابت کنیم ۱۵×۲ به توان n (n عضو اعداد حسابی باشه ) طبق حدس کولاتز به ۱ ختم میشه میتونیم حدس کولاتز اثبات کنیم؟

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2396

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: ثبت روش حل حدس کولاتز

پست توسط rohamavation »

حدس کولاتز در اثبات توسط سیمونز و دو وگر چون خودم روشهای محاسبات عددی و رياضيات مهندسي شيدفر خوندم لذا با این مفاهیم سرکاری ندارم اما با پرسیدن از دوستان و جستجو پیدا کردم خوب اونچه خوندم من در مورد دو مشاهدات اول در بیانیه معادله زنجیره ای نمیدونم اجازه دهید:
n یک عدد طبیعی باشد.
$T(n) = \begin{cases}
\frac{1}{2}(3n + 1), && \text{if }n\text{ is odd}\\
\frac{1}{2}n, && \text{if }n\text{ is even}\\
\end{cases}$،اگر n فرد باشد n زوج است
دنباله یک دنباله فرعی فزاینده از اعداد صحیح فرد و به دنبال آن یک دنباله فرعی کاهشی از اعداد صحیح است.
یک چرخه یک چرخه m است اگر از m دنباله هایی با مجموع K اعداد فرد و مجموع L اعداد زوج تشکیل شده باشد.
چرخه غیر بی اهمیت هر چرخه ای است که دارای اعداد طبیعی بزرگتر از 2 باشد.
یک دنباله تناوبی است اگر یک عدد صحیح p≥1 در دنباله$\{ n, T(n), T^2(n), \dots, T^{p}(n) \}$ وجود داشته باشد که در آن:
$T^0(n) = n$
$T^{i+1}(n) = T(T^i(n))$
$T^p(n) = n$
$t_0, t_1, \dots, t_{m-1}$ شاخص های حداقل های محلی m در یک چرخه m باشد به طوری که:
$t_0 = 0$
$t_0 < t_1 < t_2 < \dots < t_{m-1} < p$
$s_0, s_1, \dots, s_{m-1}$ شاخص های حداکثر محلی m در یک چرخه m باشد به طوری که:
$t_0 < s_0 < t_1 < s_1 < \dots < t_{m-1} < s_{m-1} \le p-1$
$x_i, y_i$ مقادیر کمینه و ماکزیمم محلی باشد به طوری که:
$x_i = T^{t_i}(n)$
$y_i = T^{s_i}(n)$
$k_i, l_i$ طوری تعریف شود که:
$k_i = s_i - t_i$ برای $i = 0, \dots, m-1$
$l_i = t_{i+1} - s_i$ برای $i = 0, \dots, m-2$ و $l_{m-1} = p + t_0 - s_{m-1}$
$K = \sum\limits_{i=0}^{m-1}k_i$
$L = \sum\limits_{i=0}^{m-1}l_i$
من در مورد مشاهده 1 و مشاهده 2 در رابطه با معادله زنجیره چیزی دستگیرم نشدالبته خوانندگان هوپا بخش ریاضیات میتونند کمک کنند ممنون میشم نظر بدن. من در مورد مشاهده 3 و مشاهده 4 چیزی فهمیدم
مشاهده 1:$x_i = 2^{k_i}a_i - 1$برای برخی $a_i \ge 1$
از آنجایی که $x_i$ فرد است، u وجود دارد که $x_i = 2u + 1 = 2(u+1)-1$
$k_i = s_i - t_i$که در آن$s_i$ شاخص حداکثر محلی و$s_i$شاخص حداقل محلی است.
برای من روشن نیست که چگونه می توانیم مطمئن شویم که$k_i$ توان 2 است که اعمال می شود.
مشاهده 2: $y_i = 3^{k_i}a_i - 1$
اگر درست متوجه شده باشم،$y_i$، مقدار ماکزیمم نیز فرد است.
برای نشان دادن سردرگمی من، بیایید فرض کنیم که $y_i = \frac{1}{2}(3x_i + 1)$ که با اعمال مشاهده 1 به دست می آید:
$y_i = \frac{1}{2}(3(2^{k_i}a_i - 1) + 1) = 3\cdot2^{k_i-1}a_i - 1$
که نشان می دهد$y_i = 3^{k_i}2^u a_i - 1$اما نه $y_i = 3^{k_i}a_i - 1$. آیا این به این معنی است که $a_i$ در مشاهده 2 با $a_i$ از مشاهده 1 متفاوت است؟
من نمی دانم که چگونه $a_i$در هر دو مشاهدات یکسان است.
مشاهده 3:$y_i = 2^{l_i}x_{i+1}$
من در این مشاهدات متوجه شدم
مشاهده 4: معادله زنجیره: $3^{k_i}a_i - 1 = 2^{k_{i+1}+l_i}a_{i+1} - 2^{l_i}$
من در معادله زنجیره ای فهمیدم. در اینجا استدلال من است.
این چیزی است که من دریافت می کنم:
$3^{k_i}a_i - 1 = 2^{l_i}x_{i+1}$
به طوری که:
$3^{k_i}a_i - 1 = 2^{l_i}2^{k_{i+1}}a_{i+1} - 2^{l_i} = 2^{k_{i+1}+l_i}a_{i+1} - 2^{l_i}$
اثبات
برای برخی از اعداد صحیح$z_i$ و $a_i$، ما داریم
$x_i \equiv z_i \pmod{2^{k_i}} \implies x_i = 2^{k_i}a_i + z_i \tag{1}$
بعد، نتایج $k_i$ عدد صحیح فرد در یک ردیف پس از اعمال مکرر تابع T که با $x_i$ شروع می شود، وجود دارد. این به مورد اول می دهد،
$\begin{equation}\begin{aligned}
T^{1}(x_i) & = \frac{3x_i + 1}{2} \\
& = \frac{3(2^{k_i}a_i + z_i) + 1}{2} \\
& = \frac{3(2^{k_i}a_i) + 3(z_i) + 1}{2}
\end{aligned}\end{equation}\tag{2}$
بعدی می شود
$\begin{equation}\begin{aligned}
T^{2}(x_i) & = \frac{3T^{1}(x_i) + 1}{2} \\
& = \frac{3\left(\frac{3(2^{k_i}a_i) + 3(z_i) + 1}{2}\right) + 1}{2} \\
& = \frac{\frac{3^2(2^{k_i}a_i) + 3^2(z_i) + 3}{2} + \frac{2}{2}}{2} \\
& = \frac{3^2(2^{k_i}a_i) + 3^2(z_i) + 3 + 2}{2^2}
\end{aligned}\end{equation}\tag{3}$
سومی است
$\begin{equation}\begin{aligned}
T^{3}(x_i) & = \frac{3T^{2}(x_i) + 1}{2} \\
& = \frac{3\left(\frac{3^2(2^{k_i}a_i) + 3^2(z_i) + 3 + 2}{2^2}\right) + 1}{2} \\
& = \frac{\frac{3^3(2^{k_i}a_i) + 3^3(z_i) + 3^2 + 3(2)}{2^2} + \frac{2^2}{2^2}}{2} \\
& = \frac{3^3(2^{k_i}a_i) + 3^3(z_i) + 3^2 + 3(2) + 2^2}{2^3}
\end{aligned}\end{equation}\tag{4}$
با ادامه این کار، نتیجه کلی برای $T^{q}(x_i)$ برای هر $1 \le q \le k_i$ که به راحتی می توانید با استقرا ثابت کنید و انجام آن را به شما واگذار می کنم تبدیل می شود.$\begin{equation}\begin{aligned}
T^{q}(x_i) & = \frac{3^{q}(2^{k_i}a_i) + 3^{q}(z_i) + \sum_{j=0}^{q-1}3^{q-1-j}2^{j}}{2^{q}} \\
& = \frac{3^{q}(2^{k_i}a_i) + 3^{q}(z_i) + 3^{q-1}\sum_{j=0}^{q-1}3^{-j}2^{j}}{2^{q}} \\
& = \frac{3^{q}(2^{k_i}a_i) + 3^{q}(z_i) + 3^{q-1}\sum_{j=0}^{q-1}\left(\frac{2}{3}\right)^{j}}{2^{q}} \\
& = \frac{3^{q}(2^{k_i}a_i) + 3^{q}(z_i) + 3^{q-1}\left(\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^{q}}{1-\frac{2}{3}}\right)}{2^{q}} \\
& = \frac{3^{q}(2^{k_i}a_i) + 3^{q}(z_i) + 3^{q}\left(\frac{3^{q} - 2^{q}}{3^{q}}\right)}{2^{q}} \\
& = \frac{3^{q}(2^{k_i}a_i) + 3^{q}(z_i + 1) - 2^{q}}{2^{q}} \\
& = 3^{k_i}\left(2^{k_i-q}\right)a_i + \frac{3^{k_i}(z_i + 1)}{2^{q}} - 1
\end{aligned}\end{equation}\tag{5}$
با $q = k_i$ (5) می شود
$T^{k_i}(x_i) = 3^{k_i}a_i + \frac{3^{k_i}(z_i + 1)}{2^{k_i}} - 1 \tag{6}$
برای اینکه $T^{k_i}(x_i)$ یک عدد صحیح باشد، باید عدد میانی مضرب$2^{k_i}$ باشد. از آنجایی که $\gcd(3^{k_i}, 2^{k_i}) = 1$ این عدد صحیح r را نشان می دهد
$2^{k_i} \mid 3^{k_i}(z_i + 1) \implies 2^{k_i} \mid z_i + 1 \implies z_i = r\left(2^{k_i}\right) - 1 \tag{7}$
بنابراین، r=0، $2^{k_i} \mid 3^{k_i}(z_i + 1) \implies 2^{k_i} \mid z_i + 1 \implies z_i = r\left(2^{k_i}\right) - 1 \tag{7}$ را به عنوان راه حل می دهد. همچنین، جمله میانی در (5) 0 می شود، بنابراین معادله به $T^{q}(x_i) = 3^{k_i}\left(2^{k_i-q}\right)a_i - 1$ ساده می شود. به این ترتیب، برای هر $q \lt k_i$، یک عدد صحیح فرد است که با شرط فرد بودن این مقادیر مطابقت دارد. علاوه بر این، (1) سپس مشاهده شما 1 می شود، یعنی،
$x_i = 2^{k_i}a_i - 1 \tag{8}$
با $z_i = -1$ توجه کنید که (6) آن را ساده می کند
$T^{k_i}(x_i) = 3^{k_i}a_i - 1 \tag{9}$
با استفاده از تعاریف، پس از $k_i$ تکرار اعمال T که با $x_i$ شروع می شود، مجموعه اعداد فرد به پایان می رسد و یک عدد زوج در این نقطه حاصل می شود (توجه داشته باشید این بدان معنی است که $a_i$ باید فرد باشد). وقتی T به هر عدد فرد اعمال می شود مقدار افزایش می یابد، اما با هر عدد زوج کاهش می یابد، بنابراین $T^{k_i}(x_i)$ یک حداکثر محلی است، یعنی $y_i$ شما است. بنابراین، (9) مشاهده شما 2 را می دهد، یعنی،$y_i = 3^{k_i}a_i - 1 \tag{10}$
hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:
آخرین ویرایش توسط rohamavation جمعه ۱۴۰۱/۵/۱۴ - ۱۰:۲۲, ویرایش شده کلا 2 بار
تصویر

مندلیف

نام: T

عضویت : دوشنبه ۱۴۰۰/۱۱/۱۸ - ۱۵:۵۵


پست: 5



جنسیت:

Re: ثبت روش حل حدس کولاتز

پست توسط مندلیف »

۱۵ به ۱ ختم میشه این یعنی ۱۵×۲ به توان ۰
۳۰ به ۱ ختم میشه این یعنی ۱۵×۲ به توان ۱
۶۰ به ۱ ختم میشه این یعنی ۱۵×۲ به توان ۲
۱۲۰ به ۱ ختم میشه این یعنی ۱۵×۲ به توان ۳
اینطوری میتونیم ۲ به توان هر عددی برسونیم بعد ×۱۵ بشه و عددی که حاصل میشه مطمئنا به ۱ ختم میشه
چون هر عددی که بدست بیاد دو برابر عدد قبلیش ،(تقسیم به ۲ که بشه پشت سر هم میرسه به ۱۵)
یعنی اینجا میشه هر عددی از مجموعه اعداد حسابی بزاریم جای توان و چون W یه مجموعه نامتناهی پس میشه گفت این حدس هم تا نامتناهی پیش میره؟

۵۶۶۷Alireza

نام: علیرضا

عضویت : شنبه ۱۴۰۱/۵/۸ - ۰۸:۱۰


پست: 1



Re: ثبت روش حل حدس کولاتز

پست توسط ۵۶۶۷Alireza »

جواب این حدس کولاتز میشه ۵۵۶ اگر همین طور که داخل سایت ها صورت مسئله توضیح میدنند

ریاضی دان

عضویت : یک‌شنبه ۱۴۰۱/۶/۲۰ - ۱۲:۴۸


پست: 1



Re: ثبت روش حل حدس کولاتز

پست توسط ریاضی دان »

سلام من یک دانش آموز هستم من میگم مگه ما چرا صفر را نزاریم صفر عددی زوج است چرا چون که مضرب ۲ است پس عددی زوج است پس مثل قوانین میریم جلو ۲÷۰جواب میشه صفر پس جواب ما در کولاتز میشه صفر

ارسال پست