تسرکت tesseract و هایپرکیوب hypercube

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

تسرکت tesseract و هایپرکیوب hypercube

پست توسط rohamavation »

مننمیدونم تسراکت ها می توانند واقعی باشند. نقطه‌ای را در نظر بگیرید. نقطه هیچ بعدی ندارد، از هر طرف به آن نگاه کنید یکسان به نظر می‌رسد. حال نقطه را از طرفی بکِشید. اکنون یک خط به وجود می‌آید، خط طول دارد اما بعد دیگری ندارد (عرض و ارتفاع ندارد). خط را میتوان با دو نقطه ساخت. سپس خط را که یک بعد (طول) دارد در یک فضای دو بعدی (صفحه) قرار دهید. حال می‌توانید خط را از طرفی گرفته، آن را بکشید و یک مربع تشکیل دهید. اگر دقت کنید می‌بینید که مربع شما نیز از چهار خط تشکیل شده‌است. پس از آن مربع را وارد بعد سوم می‌کنیم و به آن ارتفاع می‌دهیم (مربع را از طرفی گرفته و آن را به سمت بالا می‌کشیم) و یک مکعب که از تعداد شش مربع تشکیل شده را می‌سازیم. سپس مکعب را وارد فضای چهاربعدی می‌کنیم، از طرفی آن را گرفته و در جهت عمود بر ابعاد قبلی آن را می‌کشیم و یک تسرکت می‌سازیم که از هشت مکعب تشکیل شده‌است.[ همچنین می توان گفت که آنالوگ 4 بعدی یک مکعب است. این یک شکل 4 بعدی است که در آن هر صورت یک مکعب است.رابطه بین تعداد کل یال ها و رئوس یک ابرمکعب n بعدی و n.تعداد رئوس$2^n$ و تعداد یال ها $n2^{n-1}$ است. به طور کلی تعداد عناصر d بعدی در مکعب n بعدی است $\binom nd 2^{n-d}.$یک تسراکت دارای 16 راس چند توپی، 32 لبه پلی توپ، 24 مربع و هشت مکعب است. دوگانه تسراکت به نام 16 سلولی شناخته می شود. برای همه ابعاد، دوتایی هایپرمکعب پلی توپ متقاطع است
.تسراکت یک مکعب چهار بعدی است. دارای 16 نقطه یال $v=(a,b,c,d)$ است که a,b,c,d برابر با 1+ یا −1 است. دو نقطه به هم متصل هستند، اگر فاصله آنها 2 باشد. با توجه به طرح ریزی$P(x,y,z,w)=(x,y,z)$ز فضای چهار بعدی به فضای سه بعدی، می توانیم مکعب را به عنوان یک شی در تصویر تجسم کنیم. فضای آشنا اثر یک تبدیل خطی مانند یک چرخش
$R(t)=\pmatrix{1&0&0&0\\0&1&0&0&\\0&0&\cos(t)&\sin(t)\\0&0&-\sin(t)&\cos(t)}$
در فضای 4 بعدی را می توان با مشاهده نقاط$v(t) = P R(t) v$ در $\mathbb R^3$ به صورت سه بعدی تجسم کرد.
در هندسه، ابر مکعب یک آنالوگ n بعدی مربع (n = 2) و یک مکعب (n = 3) است. این یک شکل بسته، فشرده و محدب است که اسکلت 1 آن متشکل از گروه هایی از قطعات خط موازی متضاد است که در هر یک از ابعاد فضا، عمود بر یکدیگر و با طول یکسان تراز شده اند. طولانی ترین قطر یک واحد هایپرمکعب در n بعد برابر است با ${\displaystyle }{\sqrt {n}}$
یک هایپرمکعب n بعدی بیشتر به عنوان یک مکعب n یا گاهی اوقات به عنوان یک مکعب n بعدی شناخته می شود.
هایپرمکعب حالت خاص یک ابرمستطیل است (همچنین n-orthotope نیز نامیده می شود).می دانیم که می توانیم با گرفتن یک مکعب معمولی و حرکت آن در جهتی عمود بر خودش، یک ابرمکعب تولید کنیم. می‌توانیم با رسم دو مکعب که یکی با جابه‌جایی از دیگری به‌دست می‌آید، به صورت شماتیک نشان دهیم که چه اتفاقی می‌افتد. مکعب اول را قرمز و دومی را آبی می کشیم. همانطور که مکعب قرمز به سمت مکعب آبی حرکت می کند، 8 راس 8 لبه موازی را ترسیم می کنند. ما 12 لبه روی مکعب قرمز، 12 لبه روی آبی و اکنون 8 یال جدید داریم که در مجموع 32 یال روی هایپرمکعب است.یافتن تعداد وجه های مربع در هایپرمکعب یک مشکل بیشتر ایجاد می کند، اما نسخه ای از همان روش می تواند آن را حل کند. 6 مربع در مکعب قرمز و 6 مربع در مکعب آبی وجود دارد، و همچنین 12 مربع را می‌یابیم که توسط لبه‌های مکعب متحرک در مجموع 24 عدد مشخص شده است.
لبه های موجود در هایپرمکعب در چهار گروه 8 لبه موازی قرار می گیرند. به طور مشابه، مربع ها را می توان به عنوان شش گروه از 4 مربع موازی در نظر گرفت که یک مربع از هر رأس عبور می کند. تصویر پایین، سمت چپ، دو گروه از 4 مربع موازی را نشان می دهد. گروه دیگری در سمت راست نشان داده شده است. سپس می توانیم به شناسایی سه گروه 4 مربعی باقی مانده ادامه دهیم تا کل مجموعه 24 مربعی موجود در هایپرمکعب را بدست آوریم. توجه داشته باشید که تشخیص 4 مربع در صورت عدم همپوشانی آسانتر و زمانی که همپوشانی بزرگ است نسبتا دشوارتر است.تصویر
سمت چپ: دو گروه از چهار وجه مربع موازی در یک ابر مکعب. راست: یک گروه دیگر از چهار وجه موازی در یک ابر مکعب.هایپرمکعب به حدی متقارن است که هر رأس شبیه هر رأس دیگری است. اگر بدانیم در یک راس چه اتفاقی می افتد، می توانیم بفهمیم که در همه راس ها چه اتفاقی می افتد. در هر راس به تعداد وجه های مربعی وجود دارد که راه هایی برای انتخاب 2 یال از بین 4 یال در نقطه وجود دارد، یعنی 6. از آنجایی که 16 راس وجود دارد، می توانیم 6 را در 16 ضرب کنیم تا به 96 برسیم، اما این هر مربع را می شمارد. چهار بار، یک بار برای هر یک از رئوس آن. تعداد صحیح مربع ها در یک ابر مکعب 96/4 یا 24 است.تصویر
تصویر
می توان این نتایج را در یک فرمول کلی بیان کرد. فرض کنید Q(k, n) تعداد مکعب های k در یک n مکعب را نشان می دهد. برای محاسبه Q(k,n) ابتدا ممکن است دریابیم که در هر راس چند مکعب k وجود دارد. از هر راس n یال وجود دارد، و ما یک مکعب k برای هر زیر مجموعه ای از k یال مجزا از میان این n یال دریافت می کنیم. بنابراین تعداد k-مکعب ها در هر راس یک n-مکعب $C(k, n) = n!/[k!(n - k)!]$ است، ترکیبی از n چیز k در یک زمان گرفته شده است. از آنجایی که ما در هر یک از $2^n$ راس مکعب های C(k، n) داریم، یک عدد کل $2^nC(k، n)$ به دست می آوریم. اما در این شمارش، هر k-مکعب $2^n$ بار شمارش می شود، بنابراین ما بر آن عدد تقسیم می کنیم تا فرمول نهایی را بدست آوریم$Q(k, n) = 2^(n-k)C(k, n) .$
.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
آخرین ویرایش توسط rohamavation دوشنبه ۱۴۰۰/۱۲/۲۳ - ۱۳:۰۴, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
assarzadeh

نام: امیر عصارزاده

عضویت : جمعه ۱۳۹۳/۱۰/۱۲ - ۲۱:۱۹


پست: 160

سپاس: 88

جنسیت:

تماس:

Re: تسرکت tesseract و هایپرکیوب hypercube

پست توسط assarzadeh »

میتونی منبع یا منابعی رو که با استفاده از اونا این متن رو نوشتی ارائه بدی؟

ارسال پست