شرایط مرزی در حل معادلات دیفرانسیل

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3268

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

شرایط مرزی در حل معادلات دیفرانسیل

پست توسط rohamavation »

چگونه بین ODE و PDE تفاوت قائل می شوید؟
ODE ها معادلات تنها در یک متغیر مستقل و مشتقات آن هستند. PDE ها معادلاتی در دو یا چند متغیر مستقل و مشتقات آنها هستند. نام مربوط به نوع مشتقات موجود در معادلات است در کل ● معادله دیفرانسیل (DE) به سادگی معادله ای است که شامل یک یا چند ● است پس PDE ODE چیست؟
معادلات دیفرانسیل معمولی یا (ODE) معادلاتی هستند که در آن مشتقات تنها با توجه به یک متغیر گرفته می شود. یعنی فقط یک متغیر مستقل وجود دارد. معادلات دیفرانسیل جزئی یا (PDE) معادلاتی هستند که به مشتقات جزئی چندین متغیر بستگی دارند.
PDE همگن: اگر تمام عبارات یک PDE حاوی متغیر وابسته یا مشتقات جزئی آن باشد، چنین PDE معادله دیفرانسیل جزئی ناهمگن یا در غیر این صورت همگن نامیده می شود.چگونه می توان تصمیم گرفت که آیا PDE همگن یا غیر همگن است؟و من PDE همگن و غیر همگن را دیده ام.
اما من نمی توانم تصمیم بگیرم که کدام یک همگن یا ناهمگن است.
برای نمونه؛
$(D^3-3D^2D'+4D'^3)u=0$
معادله گفته می شود که همگن است. چرا؟
$x^2u_{xx}-y^2u_{yy}2xu_x+2yu_y=0$
همگن یا ناهمگن؟ چرا؟
$x^2u_{xx}-y^2u_{yy}=xy$
همگن یا ناهمگن؟ چرا؟تصور کنید که شما PDE را حل می کند و بررسی کنید که آیا هر تابع αu نیز آن را حل می کند. اگر این کار را انجام دهند، PDE همگن است، در غیر این صورت نیست.
روش بسیار آسان و کوتاه است. به عنوان مثال، در مورد (2)، LHS برای αu می شود
$\alpha x^2u_{xx}-\alpha^2y^2u_{yy}2xu_x+2\alpha yu_y=\alpha (x^2u_{xx}-y^2u_{yy}2xu_x+2yu_y)+(\alpha-\alpha^2)y^2u_{yy}2xu_x,$یعنی اگر u PDE را حل کنید و برای هر α نه 0 یا 1، مضرب غیرصفری از
$y^2u_{yy}2xu_x,$
همیشه صفر نیست، بنابراین PDE همگن نیست. به همین ترتیب، LHS از (3) می شود
$\alpha(x^2u_{xx}-y^2u_{yy}),$
بنابراین، اگر u PDE را حل کند، αu PDE را حل می کند اگر برای هر (x,y)،
$\alpha xy=xy.$
این بدیهی است که نادرست است، بنابراین (3) همگن نیست. و غیره.معادله (1) و (2) به شکل هستند
Du=0
که در آن D یک عملگر دیفرانسیل است. بنابراین، این معادلات دیفرانسیل همگن هستند. معادله (3)، از شکل
$\mathcal{D} u = f \neq 0$
غیر همگن است.چگونه متوجه می شوید که یک ODE همگن است؟
اگر درجه متغیرها (یا مجموع توان متغیرهای مختلف) در هر عبارت یکسان باشد، به یک عبارت همگن گفته می شود. یک معادله دیفرانسیل همگن به شکل dy/dx = f(x,y)/g(x,y) است که در آن f(x,y) و g(x,y) عبارت‌های همگن در x و y با درجه یکسان هستند.
من به تازگی یک تکلیف اصلاح شده در مورد معادلات دیفرانسیل دریافت کردم، و اکنون به کمک شما نیاز دارم: چرا ODE $u''(x)=u(x)\sqrt{x}$ همگن است، اما PDE$u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)e^{\sin x}=1$ ناهمگن است؟ در هر دو مورد ما تابعی از x داریم که به u مرتبط نیست، یعنی $ e^{\sin x}$ و $\sqrt{x}$، اینطور نیست؟ بنابراین من فکر می کنم که هر دو ناهمگن هستند.مفاهیم ODE های مستقل (جایی که هیچ نمونه مستقیمی از متغیر مستقل نمی تواند ظاهر شود) و معادلات همگن خطی را با هم مخلوط نکنید. معادله
$u''(x) - u(x)\sqrt x = 0$
همگن است زیرا RHS صفر است اما به دلیل عبارت $\sqrt{x}.$ مستقل نیست. W.r.t. PDE
$u_{xx}+u_{yy} \mathrm e^{\sin x} = 1$
RHS غیر صفر است، بنابراین PDE همگن نیست.
چند مثال دیگر:
خودمختار همگن
$u'(x)+u(x) = 0.$
همگن غیر خودمختار
$u''(x)+\color{red}{x}\cdot u(x) = 0$
مستقل غیر همگن
$u'(x)-2u(x) = \color{red}{1}$
غیر همگن غیر خودمختار
$u''(x)+\color{red}{x}\cdot u'(x) = \color{red}{x^2+1}$
که در آن از رنگ قرمز برای برجسته کردن عباراتی استفاده می شود که "غیر" را وارد طبقه بندی می کنند
کلی بگم حال زمان آن رسیده که معادلات دیفرانسیل ناهمگن و روش حل آن‌ها را توضیح دهیم. یک معادله دیفرانسیل مرتبه دومِ ناهمگن به صورت زیر است$\large { y ^ { \prime \prime } + p y ^ { \prime } + q y } = { f\left ( x \right ) }$
در رابطه فوق مقادیر p و q اعداد ثابتی هستند. هر دوی این اعداد می‌توانند ثابت یا مختلط باشند. معادله همگن مرتبط را نیز می‌توان به صورت زیر بیان کرد:. در صورتی که این ضریب غیر یک باشد می‌توان با تقسیم کردن تمامی جملات به آن، به شکل استاندارد معادله دست یافت.
$\large y^ {\prime\prime} + p \left( t \right)y ^ {\prime} + q \left( t \right) y=0$
مشتقات یک تابع ناشناخته
● تابع مجهول ممکن است به یک یا چند متغیر مستقل بستگی داشته باشد.
● اگر مجهول تابعی از یک متغیر منفرد باشد، مشتقات موجود در آن
معادله مشتقات معمولی هستند و معادله دیفرانسیل معمولی نامیده می شود
معادله (ODE).
● اگر مجهول تابعی از بیش از یک متغیر مستقل باشد، مشتقات
مشتقات جزئی هستند و معادله معادله دیفرانسیل جزئی (PDE) نامیده می شود.
IVP و BVP چیست؟
بررسی مسائل اولیه (IVP) و ارزش مرزی (BVPs) DSolve را می توان برای یافتن راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل یا سیستم معادلات دیفرانسیل استفاده کرد. راه حل کلی در مورد ساختار فضای راه حل کامل برای مسئله را میده پس در واقع بررسی اجمالی مسائل اولیه (IVP) و ارزش مرزی (BVPs) DSolve را می توان برای یافتن راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل یا سیستم معادلات دیفرانسیل استفاده کرد. راه حل کلی اطلاعاتی در مورد ساختار فضای راه حل کامل برای مسئله می دهد.مشکل مقدار اولیه نیازی به تعیین مقدار در مرزها ندارد، در عوض به مقدار در شرایط اولیه نیاز دارد. این معمولاً برای سیستم دینامیکی که در طول زمان در حال تغییر است مانند فیزیک اعمال می شود. به عنوان مثال، برای حل یک موقعیت ذره در معادله دیفرانسیل، به موقعیت اولیه و همچنین سرعت اولیه نیاز داریم. بدون این مقادیر اولیه، ما نمی توانیم موقعیت نهایی را از معادله تعیین کنیم.دنبال کردن ODE را می توان به راحتی به صورت تحلیلی حل کرد
سیستم همگن یا تنها راه حل خود را خواهد داشت یا تعداد بی نهایت راه حل خواهد داشت. اگر سیستم یک راه حل منحصر به فرد داشته باشد، به ماتریس غیرتکین گفته می شود. اگر سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل باشد، می گویند منفرد است.اگر ثابت برای همه معادلات 0 باشد، "همگن" نامیده می شود. اگر حداقل 1 ثابت صفر نباشد، "غیر همگن" نامیده می شود. مهم نیست که همه آنها یک مقدار (غیر صفر) باشند.معادله همگن در PDE چیست؟
PDE همگن: اگر تمام عبارات یک PDE حاوی متغیر وابسته یا مشتقات جزئی آن باشد، چنین PDE معادله دیفرانسیل جزئی ناهمگن یا در غیر این صورت همگن نامیده می شود.چگونه می توان تشخیص داد که یک ODE همگن است؟
معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن است اگر M(x,y) و N(x,y) هر دو تابع همگن با درجه یکسان باشند. همگن است زیرا هم M(x,y) = x 2 – y 2 و هم N( x,y) = xy توابع همگن با درجه یکسانی هستندODE غیر همگن چیست؟
معادلات دیفرانسیل ناهمگن همان معادلات دیفرانسیل همگن هستند، با این تفاوت که در سمت راست می توانند عبارت هایی را داشته باشند که فقط x (و ثابت ها) را شامل می شوند، مانند این معادله: همچنین می توانید معادلات دیفرانسیل ناهمگن را در این قالب بنویسید: y'' + p( x)y' + q(x)y = g(x).
مسائل ارزش مرزی: در مقابل، مسائل ارزش مرزی لزوماً برای سیستم پویا استفاده نمی شوند. در عوض، برای سیستمی که دارای مرز فضایی است بسیار مفید است
.تفاوت بین IVP و BVP چیست؟یک مسئله مقدار مرزی دارای شرایط مشخص شده در انتهای ("مرزها") متغیر مستقل در معادله است، در حالی که یک مسئله مقدار اولیه دارای همه شرایط مشخص شده در همان مقدار متغیر مستقل است (و آن مقدار در مرز پایین تر است
به مشکل مقدار اولیه شرایط اولیه داده می شود. اما مسئله مقدار مرزی شامل شرایط مرزی مانند y(x1) و y(x2) است. شرایط مرزی (b.c.) قیودی هستند که برای حل مسئله مقدار مرزی ضروری هستند. مسئله ارزش مرزی معادله دیفرانسیل (یا سیستم معادلات دیفرانسیل) است که باید در حوزه ای حل شود که مرز آن مجموعه ای از شرایط شناخته شده استسه نوع اساسی از شرایط مرزی در معادلات دیفرانسیل چیست؟
برای یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم، ما سه نوع شرایط مرزی ممکن داریم: (1) شرایط مرزی دیریکله، ${\displaystyle y=f}y=f$(2) شرایط مرزی فون نویمان${\displaystyle {\partial y \over \partial n}=f}$ و (3) شرایط مرزی مختلط (رابین).${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f}c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f$
ترکیبی و روش کوشی ${\displaystyle }y=f$و ${\displaystyle c_{0}{\partial y \over \partial n}=g}$
تفاوت بین مسئله مقدار اولیه و مشکل ارزش مرزی چیست؟مسائل ارزش مرزی مشابه مسائل ارزش اولیه هستند. یک مسئله مقدار مرزی دارای شرایط مشخص شده در انتهای ("مرزها") متغیر مستقل در معادله است، در حالی که یک مسئله مقدار اولیه دارای همه شرایط مشخص شده در همان مقدار متغیر مستقل است (و آن مقدار در مرز پایین تر است. از دامنه، بنابراین عبارت "مقدار اولیه"). یک مقدار مرزی مقدار داده ای است که با حداقل یا حداکثر مقدار ورودی، داخلی یا خروجی تعیین شده برای یک سیستم یا جزء مطابقت دارد.[یافتن دما در تمام نقاط یک میله آهنی با یک سر آن در صفر مطلق و سر دیگر آن در نقطه انجماد آب یک مشکل ارزش مرزی است
معمولا پاسخ‌های یک معادله دیفرانسیل دارای ضرایب ثابتی هستند. به منظور بدست آوردن این ضرایب بایستی رابطه‌ای برای تابع در حالت اولیه و یا در مرز تعریف شده باشد. این رابطه می‌تواند بر حسب مقدار تابع و یا بر حسب مشتقات آن باشد.
مثال برای نمونه معادله دیفرانسیلی از مرتبه ۲ را در نظر بگیرید. در پاسخ این معادله دو ضریب ثابت ظاهر خواهند شد. بنابراین به دو شرط به منظور یافتن این ضرایب نیاز خواهد بود. در ادامه مقدار تابع و مشتق آن در یک زمان خاص (t0) ارائه شده است.$\large y \left ( { { t _ 0 } } \right ) = { y _ 0 } \hspace {0.25in} y ^ { \prime } \left ( { { t _ 0 } } \right ) = { y ^ { \prime } _ 0 }$حال همان معادله دیفرانسیل مرتبه ۲ را در نظر بگیرید. می‌توان برای بدست آوردن ضرایب ثابت، از مقادیر در مرز‌ها نیز استفاده کرد. در حقیقت در این حالت هریک از حالات زیر قابل استفاده هستند.$\large y \left( { { x _ 0 } } \right) = { y _ 0 } \ \ \ , \hspace {0.25in} y \left ( { { x _ 1 } } \right ) = { y _ 1 } \\ \large \begin {equation} y ^ { \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = { y _ 0 } \ \ \ , \hspace {0.25in} y ^ { \prime } \left ( { { x _ 1 } } \right ) = { y _ 1 } \end {equation} \\ \large y ^ { \prime } \left ( { { x _ 0 } } \right ) = { y _ 0 } \ \ \ , \hspace {0.25in} y \left ( { { x _ 1 } } \right ) = { y _ 1 } \\ \large y \left ( { { x _ 0 } } \right ) = { y _ 0 } \ \ \ , \hspace {0.25in} y ^ { \prime } \left ( { { x _ 1 } } \right ) = { y _ 1 }$توجه داشته باشید که «مسئله مقدار مرزی» (Boundary Value Problem) را معادله BVP نیز می‌نامند. در این مطلب معادلاتی به صورت زیر را مورد بررسی قرار می‌دهیم.$\large \begin {equation} y ^ { \prime \prime } + p \left ( x \right ) y ^ { \prime } + q \left ( x \right ) y = g \left ( x \right ) \end {equation}$معادله BVP زیر را حل کنید.$\large y ^ { \prime \prime } + 4 y = 0 \hspace {0.25in} y \left ( 0 \right ) = – 2 \ \ \ , \hspace {0.25in} y \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) = 1 0$خوب جوابش $\large y \left ( x \right ) = { c _ 1 } \cos \left ( { 2 x } \right ) + { c _ 2 } \sin \left ( { 2 x } \right )$تنها قدم مورد نیاز، اعمال شرایط مرزی است. بنابراین می‌توان نوشت:$\large \begin {align*} – 2 & = y \left ( 0 \right ) = { c _ 1 } \\ 1 0 & = y \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) = { c _ 2 } \end {align*}$در نتیجه پاسخ نهایی برابر با تابع زیر بدست می‌آید.$\large \begin {align*} – 2 & = y \left ( 0 \right ) = { c _ 1 } \\ 1 0 & = y \left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right ) = { c _ 2 } \end {align*}$چگونه شرایط مرزی معادله دیفرانسیل را پیدا کنیم؟من یک معادله دیفرانسیل بسیار پیچیده دارم که نمی توان آن را به صورت تحلیلی حل کرد و یک مثال ساده را نشان می دهم:
مثال 1:
$y''(x)-y(x)=0\tag{1}$
با شرایط مرزی:
$y(1)=1,y'(2)=1\tag{2}$
راه حل این است:
$y(x)=\frac{e^{-x-1} \left(e^{2 x}+e^{2 x+1}-e^3+e^4\right)}{1+e^2}\tag{3}$
سپس با استفاده از جایگزینی
$v(x)=\frac{y(x)}{x}$
من یک معادله جدید دارم:
$x v''(x)+2 v'(x)-x v(x)=0\tag{4}$
چگونه شرایط مرزی معادله دیفرانسیل NEW را پیدا کنیم؟
$v(?)=?,v'(?)=?$
ویرایش شده!
$v(x)= \frac{y(x)}{x}\tag{5}$
$v'(x)= \frac{y'(x)x-y(x)}{x^2}=\frac{y'(2)*2-y(x)}{2^2}= \frac{1*2-y(x)}{2^2}$
$v'(x)= \frac{y'(x)x-y(x)}{x^2}=\frac{y'(2)*2-y(x)}{2^2}= \frac{1*2-y(x)}{2^2}$
من y(2)= ندارم؟ فرض کنید y(x)و y(1)=1 باشد سپس:
$v'(2)= \frac{1*2-1}{2^2}=1/4$
شرایط مرزی جدید عبارتند از:
$v(1)=1,v'(2)=1/4\tag{6}$
راه حل با معادله جدید (4) و شرایط مرزی جدید (6) به صورت زیر است:
$v(x)=\frac{e^{-x-1} \left(3 e^{2 x}+e^{2 x+1}-e^3+e^4\right)}{\left(3+e^2\right) x}$
سپس (5) را جایگزین می کنیم و بررسی می کنیم که راه حل ها برابر است:
$\frac{e^{-x-1} \left(3 e^{2 x}+e^{2 x+1}-e^3+e^4\right)}{\left(3+e^2\right)}\neq\frac{e^{-x-1} \left(e^{2 x}+e^{2 x+1}-e^3+e^4\right)}{1+e^2}$
نیست !!.
مثال 2:
$y''(x)-y(x)=0$
با شرایط مرزی:
y′(1)=1,y′(2)=1

چگونه شرایط مرزی معادله دیفرانسیل NEW را پیدا کنیم؟نکته: ما داریم:
$v(x)=\frac{y(x)}{x}$
از آنچه ما پیدا می کنیم:
$v'(x)= \frac{d}{dx}v(x)=\frac{d}{dx}\frac{y(x)}{x}= \frac{y'(x)x-y(x)}{x^2}$
حالا x=1 و x=2 را قرار داده و از شرایط اولیه داده شده برای y(1) و y′(2) استفاده کنید.
معادله شروع $y''(x)-y(x)=0$راه حل دارد:$y=ae^{-x}+be^x$
از شرط مرزی y(1)=1 می توانیم پیدا کنیم:
$\frac{a}{e}+eb=1 \Rightarrow a=e(1-eb)$
برای مشتق $y'=-ae^{-x}+be^x$ شرط دیگر $y′(2)=1 $به دست می‌دهد:
$\frac{-a}{e^2}+e^2b=1$
و با جایگزین کردن مقدار a داریم:
$-1+eb+e^3b=e \Rightarrow b=\frac{e+1}{e(e^2+1)}$
و$a=\frac{e^2(e-1)}{e^2+1}$
و این مشکل را حل می کند اما شما می خواهید همان مشکل را با جایگزینی $v(x)=\frac{y(x)}{x}$ حل کنید. بنابراین معادله تبدیل می شود:
$xv''(x)+2v'(x)-xv(x)=0$
که بدیهی است راه حل:
$v(x)=\frac{ae^{-x}}{x}+\frac{be^{x}}{x}$
حال از شرایط جدید برای یافتن ثابت های a,b استفاده می کنیم.
از v(1)=y(1)1=1 در می یابیم:
$a=e(1-eb)$
بنابراین:
$(1)\qquad \quad v(x)=\frac{e(1-eb)e^{-x}}{x}+\frac{be^x}{x}$
و$v'(x)= \frac{-e(1-eb)xe^{-x}-e(1-eb)e^{-x}}{x^2}+\frac{bxe^x-be^x}{x^2}$
بنابراین:
$(2) \qquad \quad v'(2)=\frac{3(eb-1)}{4e}$
حال از شرط v′(2) استفاده کنید و توجه داشته باشید که$y(x)=xv(x)$
$v'(2)=\frac{2\cdot y'(2)-2\cdot v(2)}{4}=\frac{1-v(2)}{2}$
حال می‌توانیم v(2) را از معادله (1) جایگزین کنیم و با کمی جبر، متوجه می‌شویم:
$v(2)=\frac{2e-1+eb-e^3b}{4e}$
با معادل سازی (2) در نهایت مقدار b را پیدا می کنیم:
$b=\frac{e+1}{e(e^2+1)}$
بنابراین می بینید که ثابت ها در دو تابع یکسان هستند.
(امیدوارم کمکی کرده باشم !).hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست