یک تابع برداری پیوسته با مشتقات جزئی اول پیوسته باشه${\frac{{\partial P}}{{\partial y}}}, {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}}$
در یک دامنهr حاوی قضیه سپس گرین بیان می کنه که$\iint\limits_R {\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)dxdy} = \oint\limits_C {Pdx + Qdy} ,$
جایی که نماد$\oint\limits_C {}$ نشان می دهد که منحنی (کانتور) cبسته است و ادغام در خلاف جهت عقربه های ساعت حول این منحنی انجام می شه.
اگر فرمول گرین نتیجه داد:$Q = x,$, $P = -y,$
که در آن منطقه از منطقه محدود شده توسط کانتور است$S = \iint\limits_R {dxdy} = \frac{1}{2}\oint\limits_C {xdy - ydx} ,$
همچنین می توانیم قضیه گرین را به صورت برداری بنویسیم. برای این منظور به اصطلاح curl of a vector را معرفی می کنیم. اجازه دهید$\mathbf{F} = P\left( {x,y,z} \right)\mathbf{i} + Q\left( {x,y,z} \right)\mathbf{j} + R\left( {x,y,z} \right)\mathbf{k}$
یک فیلد برداری باشد$\nabla \times \mathbf{F}$ سپس بردار میدان برداری را بردار می گویند که با یا نشان داده می شود که برابر است با$\text{rot}\,\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
{\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\
P&Q&R
\end{array}} \right|
= \left( {\frac{{\partial R}}{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}{{\partial z}}} \right)\mathbf{i}
+ \left( {\frac{{\partial P}}{{\partial z}} - \frac{{\partial R}}{{\partial x}}} \right)\mathbf{j}
+ \left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)\mathbf{k}.$
از نظر کرل، قضیه گرین را می توان به صورت زیر نوشت
$\iint\limits_R {\left( \text{rot}\,\mathbf{F} \right) \cdot \mathbf{k}\,dxdy} = \oint\limits_C {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} .$
توجه داشته باشید که قضیه گرین به سادگی قضیه استوک است که در یک صفحه با ابعاد اعمال می شود.قضیه گرینز بیان می کند:
$\oint_C P dx + Q dy = \int \int_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
