بسته بندی شش گوش در یک دایره

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3268

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

بسته بندی شش گوش در یک دایره

پست توسط rohamavation »

فرض کنید من می خواهم شش ضلعی ها را در یک دایره قرار دهم، مانند نقاشی زیر (قرمز نشان دهنده شش ضلعی های "بسته بندی شده" است). من تعجب می کنم که چه چیزی در مورد این مشکل شناخته شده است. به طور خاص، من علاقه مند به تقریبی برای تعداد مناسب (با توجه به شعاع دایره و طول ضلع شش ضلعی) و خطا در چنین تقریبی هستم. هر ایده؟تصویرطول ضلع شش ضلعی 1 را فرض کنید و شعاع دایره r باشد. مساحت یک شش ضلعی منفرد $6\cdot\sqrt3/4=3\sqrt3/2$ است. فرض کنید N تعداد شش ضلعی های داخل دایره باشد. مساحت کل آنها کمتر از دایره است، بنابراین نابرابری را بدست می آوریم
$\frac{3\sqrt3 N}2<\pi r^2.$
از طرف دیگر شش ضلعی ها دایره متحدالمرکز شعاع r-2 را به طور کامل می پوشانند. بنابراین ما یک نابرابری دیگر دریافت می کنیم
$\frac{3\sqrt3 N}2>\pi (r-2)^2.$.
نقطه میانی پس از آن تخمین پر کردن توپ را می دهد
$N\approx\frac{2\sqrt3\pi(r-1)^2}9$
همراه با کران قدر مطلق خطا
$|\Delta N|<\frac{4\sqrt3\pi r}9.$
پیوند کریس کالتر نشان می دهد که ممکن است بتوان یک عبارت خطای $r^{2/3}$ را دریافت کرد. مشکل در نظر گرفته شده در مورد تعداد نقاط شبکه است، بنابراین دقیقاً معادل نیست.
در هندسه، بسته بندی دایره ایcircle packing مطالعه چیدمان دایره ها (با اندازه های مساوی یا متفاوت) بر روی یک سطح معین است به طوری که هیچ تداخلی رخ نمی دهد و به طوری که هیچ دایره ای بدون ایجاد همپوشانی بزرگ نمی شود. چگالی بسته بندی مرتبط، η، یک آرایش، نسبت سطح پوشیده شده توسط دایره ها است
در صفحه دوبعدی اقلیدسی، جوزف لوئیس لاگرانژ در سال 1773 ثابت کرد که بیشترین چگالی شبکه دایره‌ها، آرایش بسته‌بندی شش ضلعی است، که در آن مراکز دایره‌ها در یک شبکه شش ضلعی قرار گرفته‌اند (ردیف‌های پلکانی مانند یک لانه زنبوری)، و هر دایره توسط 6 دایره دیگر احاطه شده است. برای دایره هایی با قطر ${\displaystyle D}$ و شش ضلعی با طول ضلع ${\displaystyle D}$، ناحیه شش ضلعی و ناحیه دایره به ترتیب عبارتند از:
${\displaystyle A_{H}={\tfrac {3{\sqrt {3} }}{2}}D^{2}}$
${\displaystyle A_{C}={\tfrac {\pi }{4}}D^{2}}$
مساحتی که در هر شش ضلعی توسط دایره ها پوشانده شده است:
${\displaystyle A_{HC}=3A_{C}={\tfrac {3\pi }{4}}D^{2}}$
در نهایت، چگالی بسته بندی به صورت زیر است:${\displaystyle \eta =A_{HC}/A_{H}={\frac {3\pi }{4}}D^{2}{\big /}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}={\frac {\pi {\sqrt {3}}}{6}}\approx 0.9069.}$
همین امر در جیمز وب هم به کار گرفته شدhope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
تصویر

ارسال پست