از روش مختصات برای حل یک مسئله هندسی بسیار سخت استفاده کنید

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3268

سپاس: 5491

جنسیت:

تماس:

از روش مختصات برای حل یک مسئله هندسی بسیار سخت استفاده کنید

پست توسط rohamavation »

فرض کنید D یک نقطه در ΔABC باشد به طوری که $\angle BAD=\angle BCD$و $\angle BDC=90^\circ$. اگر AB=5، BC=6 و M نقطه وسط AC باشد، طول DM را پیدا کنید.
من مختصات A,B,C,D,M را مانند نمودار تنظیم کردم. سپس، می توانیم عبارت زیر را دریافت کنیم:
$\begin{cases} b^2+c^2=36 \\ x^2+\left(b+y\right)^2=25 \\ \sin\angle BAD=\sin\angle BCD \end{cases}$
ما باید ارزش$ sin∠BAD$ و $sin∠BCD$ را پیدا کنیم$\sin\angle BCD=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{b}{6}\\ \text{The area of }\Delta ABD=\dfrac{1}{2}\left(AB\right)\left(AD\right)\sin\angle BAD \\ \dfrac{bx}{2}=\dfrac{5\sqrt{x^2+y^2}\sin\angle BAD}{2} \\ \sin\angle BAD=\dfrac{bx}{5\sqrt{x^2+y^2}}\\ \dfrac{b}{6}=\dfrac{bx}{5\sqrt{x^2+y^2}} \\ \sqrt{x^2+y^2}=\dfrac{6}{5}x \\ x^2+y^2=\dfrac{36}{25}x^2 \\ y^2=\dfrac{11}{25}x^2 \\ y=\dfrac{\sqrt{11}}{5}x$
سپس، وقتی ادامه می دهم، بیان بسیار پیچیده می شود. من احساس گیجی کردم، من یک راه حل هندسی پیدا کردم که جواب $\dfrac{\sqrt{11}}{2}$ را می دهد.تصویر
امیدوارم بچه های هوپا بتونید با استفاده از روش مختصات به من کمک کنید تا این سوال رو حل کنم. متشکرم!
بعد از محاسبات شما سیستم را داریم:
$\begin{cases} b^2+c^2=36, \\ x^2+\left(b+y\right)^2=25, \\ \sqrt{11}x = 5y, \end{cases}\tag{1}$
که در آن $x>0,\;y>0$

با جایگزینی$x=\dfrac{5}{\sqrt{11}}y\;$ به معادله دوم (1)، به دست می‌آییم:
$\dfrac{25}{11}y^2+(b+y)^2=25;$
$\dfrac{36}{11}y^2+2by+(b^2-25)=0;\tag{2}$
و حل مثبت y معادله درجه دوم (2) برابر است با:
$y = -\dfrac{11}{36}b + \dfrac{5\sqrt{11}}{36} \sqrt{36-b^2};$
وقتی معادله اول (1) را اعمال کنیم، داریم:
$y = \dfrac{-11b + 5\sqrt{11} c}{36};\tag{3}$
از این رو
$x = \dfrac{-5\sqrt{11}b + 25c}{36}.\tag{3'}$و
$DM = \dfrac{1}{2}\sqrt{(c-x)^2+y^2}=\\
\dfrac{\sqrt{(11c+5\sqrt{11}b)^2 + (-11b+5\sqrt{11}c)^2}}{2\cdot 36} = \\
\dfrac{\sqrt{(11^2+25\cdot 11)(b^2+c^2)}}{2\cdot 36} = \dfrac{\sqrt{36\cdot 11\cdot 36}}{2\cdot 36} = \dfrac{\sqrt{11}}{2}.$
اجازه دهید $\angle BDA = \alpha$ و قانون سینوس را برای مثلث $\triangle ABD$ اعمال کنید،
$\frac{\sin \alpha}{\sin\angle BAD}=\frac{5}{6\sin\angle BCD}$
با توجه به اینکه $\beta = \angle BAD = \angle BCD$بلافاصله دریافت می کنیم
$\sin \alpha = \frac 56$
حال مختصات$ A(-x,-y)$ را به صورت زیر بیان کنید:
$x=AB\sin \angle ABD = 5\sin (\alpha + \beta)$
$y=AB\cos \angle ABD - BD = -5\cos (\alpha + \beta) - 6 \sin\beta$
سپس مختصات نقطه $M(x_m,y_m)$ می باشد
$x_m = \frac 12 (CD - x)=\frac 12 [6\cos\beta - 5\sin (\alpha + \beta)]$
$y_m = -\frac 12 y = \frac 12 [5\cos (\alpha + \beta) + 6 \sin\beta]$
در نتیجه،
$DM^2 = x_m^2 + y_m^2 = \frac 14 (36+25-60\sin\alpha)=\frac {11}{4}$
توجه داشته باشید که زاویه ناشناخته β در این فرآیند لغو می شود. در نهایت، طول DM است
$DM = \frac{\sqrt{11}}{2}$
hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:

ا
تصویر

ارسال پست