تابع affine

[rohamavation]

تابع affine تابعی است که از یک تابع خطی + یک ثابت تشکیل شده و نمودار آن یک خط مستقیم است. معادله کلی برای تابع affine در 1D این است: y = Ax + c. یک تابع affine یک تبدیل affine را نشان می دهد که معادل یک تبدیل خطی به دنبال یک ترجمه است.مثال ها. تابع f : R → R : x ↦ 2x + 1 یک تابع وابسته است. تابع f : R → R : x ↦ 3x نیز یک تابع وابسته است، اگرچه به طور کلی تابع خطی یا تابع تغییر مستقیم نامیده می شود. در این حالت پارامتر b مقدار صفر دارد.تابع خطی مبدا را ثابت می کند، در حالی که یک تابع affine نیازی به این کار ندارد. تابع affine ترکیب یک تابع خطی با انتقال است، بنابراین در حالی که قسمت خطی مبدا را ثابت می کند، انتقال می تواند آن را در جای دیگری ترسیم کند.تابع affine تابعی است که از یک تابع خطی + یک ثابت تشکیل شده و نمودار آن یک خط مستقیم است. معادله کلی برای تابع affine در 1D این است: y = Ax + c.
یک تابع affine یک تبدیل affine را نشان می دهد که معادل یک تبدیل خطی به دنبال یک انتقاله . در یک تبدیل وابسته، ویژگی های خاصی از گراف وجود دارد که حفظ می شود. این شامل:
اگر سه نقطه همه به یک خط تعلق داشته باشند، آنگاه تحت یک تبدیل افین، آن سه نقطه همچنان به همان خط تعلق دارند و نقطه وسط همچنان در وسط خواهد بود.
خطوط موازی موازی باقی می مانند.
خطوط همزمان همزمان می مانند.
نسبت طول پاره خط یک خط معین ثابت می ماند.
نسبت مساحت دو مثلث ثابت می ماند.
بیضی ها بیضی می مانند و همین امر در مورد سهمی ها و هذلولی ها نیز صادق است.
توابع Affine در دو بعدی:
در دو بعدی معادله یک تابع افین f(x,y)=Ax + By + C است.
تابع affine تابعی است که از یک تابع خطی + یک ثابت تشکیل شده و نمودار آن یک خط مستقیم است. معادله کلی برای تابع affine در 1D این است$: y = Ax + c.$ یک تابع affine یک تبدیل affine را نشان می دهد که معادل یک تبدیل خطی به دنبال یک انتقال است.
توابع خطی بین فضاهای برداری ساختار فضای برداری را حفظ می کنند (بنابراین به طور خاص باید مبدا را ثابت کنند). در حالی که توابع وابسته اصل را حفظ نمی کنند، برخی از هندسه های دیگر فضا را حفظ می کنند، مانند مجموعه خطوط مستقیم.
اگر پایه ها را برای فضاهای برداری انتخاب کنید V و W از ابعاد m و n به ترتیب، و توابع f:V→W را در نظر بگیریدسپس f خطی است اگر f(v)=Av برای برخی n×m ماتریس A و f اگر f(v)=Av+b باشد به هم وابسته است
برای برخی از ماتریس A و بردار b ، که در آن از نمایش مختصات با توجه به پایه های انتخاب شده استفاده می شود.
طبق تعریف، یک تابع affine $f : R^n\rightarrow R^m$ affine است اگر $f(tx + (1 - t)y) = t f(x) + (1 - t) f(y)$ برای همه $x، y \در R^n$ و $t \in [0، 1]$. با این حال، ما همچنین می توانیم $f$ را به شکل $f(x)=Ax+b$ بنویسیم که در آن $A$ یک ماتریس $m × n$ ثابت و $b$ یک بردار $m$ ثابت است.
همچنین به یاد بیاورید که اگر برای هر $\epsilon > 0$ یک $\delta > 0$ وجود داشته باشد، یک تابع $f : A → R$ به طور یکنواخت در $A$ پیوسته است به طوری که $|x − y| < ن$ دلالت بر $|f(x) − f(y)| دارد < \epsilon$.
$\mathbf ادعا$: یک تابع affine به طور یکنواخت پیوسته است.
اثبات: با استفاده از تعریف تابع affine به شکل $f(x)=Ax+b$، داریم که
$$\vert f(x) - f(y) \vert = \vert Ax+b-Ay-b\vert = \vert A(x-y)\vert\le\vert A\vert \vert x-y\vert$$ بنابراین، برای هر $\epsilon>0$، اگر $\delta =\epsilon/\vert A \vert$ را بگیریم، این نشان می‌دهد که $$\vert f(x) - f(y) \vert \le \vert A\vert \vert x-y\vert< \epsilon $$ بنابراین، $f$ به طور یکنواخت پیوسته است.
من فرض می‌کنم $f(x)$ و $f(y)$ دارای ماتریس $A$ و بردار $b$ یکسان هستند، اما این تنها راهی بود که می‌توانستم بفهمم تا به عبارت $\vert A برسم. \vert \vert x-y\vert$
همچنین، من عبارت $\delta =\epsilon/\vert A \vert$ را می‌گیرم، که بستگی به خود ماتریس $A$ دارد و تا آنجا که من می‌دانم، وقتی در مورد همگرایی یکنواخت صحبت می‌کنیم، انتخاب ما از $\ است. delta$ نباید به چیز دیگری وابسته باشد.
اثبات چه مشکلات دیگری دارد؟ چگونه می توانم اثبات بهتری ایجاد کنم؟
یک تبدیل همگر یا تبدیل آفین : affine transformation یا آفینیتی در هندسه اقلیدسی، یک تبدیل هندسی است که خطوط و موازی بودن را حفظ می کند (ولی حفظ فاصله‌ها و زاویه‌ها در آن الزامی نیست).
تبدیل آفین نوعی تبدیل ریاضی است که هم‌خطی‌بودن و نسبت فاصله‌ها در آن حفظ می‌شود. بدین ترتیب در نتیجهٔ یک تبدیل همگر، تمامی نقاط روی یک خط در ورودی، در خروجی نیز روی یک خط خواهند ماند. با این وجود در تبدیل‌های همگر طول و زاویهٔ بین خط‌ها لزوماً حفظ نمی‌شود.
انتقال، تجانس، تشابه و چرخش نمونه‌هایی از تبدیل‌های همگر هستند. همچنین هر تبدیل خطی یک تبدیل همگر است، با این وجود هر تبدیل همگری خطی نیست.
مثلث‌ها اِفین یکدیگر هستند، به این معنی که هر مثلثی را می‌توان با استفاده از یک تبدیل آفین به هر مثلث دیگری تبدیل کرد.مجموعه جبری آفین به مجموعه ای از راه حل های در میدان بسته جبری است ک از یک سیستم معادلات چند جمله ای با ضرایب در ک . به طور دقیق تر ، اگرچند جمله ای با ضریب در k هستند ، آنها مجموعه جبری وابسته را تعریف می کنند
یک نوع آفینی (جبری) یک مجموعه جبری آفین است که اتحادیه دو زیرمجموعه جبری آفین مناسب نیست. چنین مجموعه جبری وابسته اغلب گفته می شود که قابل کاهش نیست .
اگر X یک مجموعه جبری وابسته به یک I ایده آل باشد ، حلقه ضریب است ${\ R = k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}]/I}$نامیده می شود حلقه هماهنگ از X . اگر X یک نوع آفین باشد ، من اول هستم ، بنابراین حلقه مختصات یک حوزه انتگرال است. عناصر حلقه مختصات R نیز توابع منظم یا توابع چند جمله ای روی انواع نامیده می شوند . آنها حلقه عملکردهای منظم بر روی انواع یا به سادگی حلقه انواع را تشکیل می دهند . به عبارت دیگر (نگاه کنید به #ساختار ساختمان ) ، این فضای بخش های جهانی شف ساختار X است .
بعد از انواع یک عدد صحیح مربوط به هر انواع است، و حتی به هر مجموعه جبری، که اهمیت متکی بر تعداد زیادی از تعاریف معادل آن (نگاه کنید به ابعاد تنوع جبری ).
توابع خطی و Affine
می خواستم درک خود را در مورد توابع وابسته روشن کنم، و اگر ماتریس $A \in \mathbb{R}^{n \times m}$ داریم
و یک بردار $c \in \mathbb{R}^{n}$، می دانم که یک نقشه افین توسط:
$f: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n, f(x) = Ax + c$
و اگر c اتفاقاً 0 است بردار، سپس نقشه/تابع خطی خواهد بود. بنابراین بر اساس این تعریف و درک من از آن، سه ویژگی زیر را درست تصور می کنم؟
برای هر$\gamma \in \mathbb{R}$و بردارهای $v_1, v_2 \in
R^{m}$ یک تابع خطی باید این ویژگی را برآورده کند: $f(\gamma v_1
+ v_2) = \gamma f(v_1) + f(v_2)$ .با فرض m=n ، و A
غیر مفرد، سپس یک تابع خطی باید طول آرگومان را حفظ کند $||f(x)|| = ||x||$
.با فرض m=n ، و A غیر منفرد، پس یک تابع افین باید غیرمفرد/ معکوس باشد و معکوس آن به شکل/داده شده توسط تابع$f^{-1}: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n, f^{-1}(x) = A^{-1}(x
- c)$ است.تبدیل خطی هندسه آفین
نکته اول این درست است.
همانطور که به درستی اشاره کردم اگر f خطی است، سپس f(x)=Ax برای برخی n×m ماتریس A در این مورد داریم
$\begin{align}
f(\gamma v_1+v_2) = A(\gamma v_1+v_2) \\
= A(\gamma v_1)+Av_2 \\
= \gamma Av_1+Av_2 \\
= \gamma f(v_1)+f(v_2).
\end{align}$
اشاره به نکته دوم
$f\colon\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ را در نظر بگیرید
تعریف شده توسط f(x)=Ax
جایی که$A=
\begin{pmatrix}
k 0 0 \\
0 k 0\\
0 0 k
\end{pmatrix}$
و k≠0,1
.آیا این طول را حفظ می کند؟ کجا بردار
$\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\0\end{pmatrix}$نقشه برداری؟ و طول تصویر آن چقدر خواهد بود؟
نکته سوم ارائه A
معکوس است، بله، تابع affine با معکوسی که توضیح دادید معکوس خواهد بود.
منیفولد $\mathbb{S}^2\times \mathbb{R}$ را با متریک محصول در نظر بگیرید. $f:\mathbb{S}^2\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ را به صورت $f(z,t)=t.$ تعریف کنید سپس مشخص است که $Hess(f)=0 ,$ یعنی $\nabla f$ یک فیلد برداری Killing است.
توجه داشته باشید که اگر $M$ فشرده باشد، چنین تابعی وجود ندارد. در واقع، شما $\Delta f\equiv 0.$ دارید بنابراین،
$$0=\frac 12 \int_M \Delta f^2=\int_M f\Delta f+\int_M |\nabla f|^2=\int_M |\nabla f|^2,$$ از جایی که به آن $f$ می‌رسد باید ثابت باشد