توجه : در صورت بروز اشكال در مشاهدهي تصاوير و متن ، ميتوانيد به آدرس زير مراجعه نماييد !
http://ki2100.com/mat/fibonacci.htm
تركيب تناسب طلايی يا توالی فيبوناچي در ستارهي داوود توسعه يافته
هنرمندان قديمی برای اضافه نمودن حس توازن و شكوه به يك صحنه ، مجسمه يا بنا مدتها از تركيب تناسب طلايی استفاده كردهاند . تركيب مزبور يك تناسب رياضی بر اساس نسبت 1.618/1 بوده و در اغلب مواقع در طبيعت ، مثلا در صدفهای دريايی و الگوی دانههای گل آفتابگردان و يا ساختار هندسي بازوهای ميلهای كهكشانهای مارپيچي موجود در كيهان يافت میشود . امروزه سرنخهايي از اين نسبت طلايي در نانو ذرات ( شاخهي نانو تكنولوژي ) بدست آمده است . در واقع هم در عالم خرد و هم در عالم كلان اين تناسب بخوبي قابل شناسايي است . به هر حال به كار بردن اين نسبت در طراحیهاي دستي و رشتههاي هنري كار راحتی نمیباشد ، براي اينكه هرگز نمیتوان به مركز دوران مارپيچ رسيد و اين نقطه ، مركزی نامعلوم و غير قابل دسترس است و تا بينهايت ادامه مييابد . به علت سهولت در ترسيمها و كارهاي عملي ، نسبت 1.6/1 در نظر گرفته میشود .
عكسهاي فوق مربوط به صدفهاي دريايي ، حلزون شنوايي گوش ، يك گردباد و يك كهكشان است .
در گل آفتابگردان ، امتداد مسير دوران مارپيچ طلايي يا فيبوناچي در هر دو جهت ساعت گرد و پاد ساعت گرد مشاهده ميشود .
مستطيل طلايی ويژه
دنبالهي فيبوناچي و عدد طلايي چيست ؟
لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي تبار اهل پيزا حدود سال 1200 ميلادي مسالهاي طرح كرد : فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش نر و ماده جديد به دنيا بياورند ... اگر هيچ خرگوشي از بين نرود ، در پايان يك سال چند جفت خرگوش وجود خواهد داشت ؟ البته در اين مسئله ميبايست قواعد و اصول فرضي و قراردادي زير مراعات شوند !
" شما یك جفت خرگوش نر و ماده دارید كه همین الآن متولد شدهاند .
خرگوشها پس از یك ماه بالغ میشوند .
دوران بارداری خرگوشها یك ماه است .
هنگامی كه خرگوش ماده به سن بلوغ میرسد حتما باردار میشود .
در هر بار بارداری خرگوش ماده یك خرگوش نر و یك ماده ميزايد .
خرگوشها تا پايان سال نمیمیرند . "
او براي حل اين مسئله به يك سري از اعداد يا بهتر است بگوييم به يك دنباله رسيد كه عبارت بود از ... ,0،1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 كه در اين دنباله هر عددي ( به غير از صفر و يك اول ) حاصل جمع دو عدد قبلي خودش ميباشد ، به طور مثال 3+5=8 يا 1+2=3 و .....
علت بر اينكه در پايان ماه اول ، جفت اول به بلوغ ميرسد و در پايان ماه دوم بعد از سپري كردن يك ماه بارداري ، يك جفت خرگوش متولد ميشود كه جمعا دو جفت خرگوش خواهيم داشت ، در پايان ماه سوم جفت اول يك جفت ديگر به دنيا ميآورد ولي جفت دوم به پايان دوران بلوغ خود ميرسد كه در كل سه جفت خواهيم داشت در پايان ماه چهارم جفت اول و جفت دوم وضع حمل ميكنند و تبديل به چهار جفت ميشوند و جفت سوم به بلوغ ميرسد و در كل پنج جفت خواهيم داشت و الي آخر كه در پايان ماه دوازدهم تعداد 233 جفت خرگوش خواهيم داشت .
توسعهي هندسي اين دنباله يا سري از اعداد :
اين مستطيل را ، مستطيل فيبوناچي نيز مينامند .
براي رسم مارپيچ طلايي يا فيبوناچي از راس ( گوشهي ) هر مربع يك كمان به شعاعي برابر ضلع آن مربع رسم ميكنيم . به اين مارپيچ بدست آمده ، اسپيرال لگاريتمي هم گفته ميشود .
http://www.ki2100.com/dwf/mat/fibonacci/1.dwf
http://www.ki2100.com/pdf/mat/fibonacci/1.pdf
نرمافزارهاي مورد نياز
http://www.ki2100.com/pages/programs.htm
در رسم فوق دنباله را از عدد 20 شروع كردهايم يعني سري اعداد 20،20،40،60،100 ، در واقع نسبت عرض مستطيل به طول آن را 1.6/1 در نظر گرفتهايم . رسم فوق با تقريب 100.000.000/1 توسط نرمافزار اتوكد اندازه گذاري شده است و طريقه رسم به حد كافي واضح و روشن ميباشد و نكته جالب توجه اينكه براي رسم مارپيچ به اين روش ، ميبايست هفت كمان رسم شود كه عدد صحيح 12 براي شعاع كمان پنجم بدست ميآيد . مركز هر كمان با علامت جمع مشخص شده است .
http://www.ki2100.com/dwf/mat/fibonacci/2.dwf
http://www.ki2100.com/pdf/mat/fibonacci/2.pdf
نرمافزارهاي مورد نياز
http://www.ki2100.com/pages/programs.htm
بهطور خلاصه با در نظر گرفتن تقاطعهايي كه خطوط با زاويهي قائمه يكديگر را قطع كردهاند ، ميتوان مستطيل و مارپيچ طلايي فيبوناچي را در رسم توسعه يافتهي ستاره داوود رسم نمود . همانطور كه مشخص است اختلاف بسيار جزيي اين رسم با رسم قبلي مشاهده ميشود آنهم در كمانهاي 5 ، 6 ، 7 به علت تغيير جزيي در قطرهاي آبي رنگ و در تناسبات هندسي اختلافي وجود ندارد ، كه دال بر اين موضوع است كه تناسب طلايي در رسم ستاره داوود توسعه يافته جاري ميباشد و در مباحث بعدي توضيح خواهيم داد كه كليه موجوداتي كه در آنها تناسبات طلايي ديده ميشود ، تناسب خود را مديون اين ترسيمها و ساختارهاي هندسي در ستاره داوود توسعه يافته هستند .
http://www.ki2100.com/dwf/mat/fibonacci/3.dwf
http://www.ki2100.com/pdf/mat/fibonacci/3.pdf
در رسم فوق مستطيل و مارپيچ طلايي به مركز رسم ستاره داوود توسعه يافته انتقال داده شده است .
http://www.ki2100.com/dwf/mat/fibonacci/4.dwf
http://www.ki2100.com/pdf/mat/fibonacci/4.pdf
در رسم فوق مستطيل و مارپيچ طلايي به نقطهي ديگري انتقال داده شده است .
اينك اگر در اين دنباله ( 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 ) هر عدد را به عدد قبلياش تقسيم كنيم يك چنين سري را بدست ميآوريم :
1/1=1 ، 2/1=2 ، 3/2=1.5 ، 5/3=1.66... ، 8/5=1.6 ، 13/8=1.625 ، ....... ، 233/144=1.61805......
كه هر چقدر جلوتر برويم بهنظر ميآيد كه به يك عدد مخصوص ميرسيم . اين عدد را عدد طلايي مينامند كه اين عدد تقريبا برابر است با :
1.618033................
روش جبري براي بدست آوردن عدد طلايي :
مستطيلي به عرض 1 واحد و طول x را در نظر ميگيريم مسلما x بزرگتر از 1 ميباشد .
اينك بايد مقدار x را چنان تعيين كنيم ( بدست آوريم ) كه اگر مربعي به ضلع 1 واحد را از اين مستطيل جدا نماييم ، مستطيل بدست آمدهي كوچكتر ، متناسب مستطيل بزرگتر قبلي باشد ، يعني x/1=1/(x-1) a به بيان سادهتر ، نسبت طول به عرض مستطيل اول برابر نسبت طول به عرض مستطيل بدست آمده ( مستطيل دوم ) باشد كه با ضرب صورت در مخرج طرفين تناسب ، يك معادله درجه 2 بدست ميآيد يعني x²-x-1=0 و با ريشهيابي اين معادله به ريشههاي 1.6180 و 0.6180- دست مييابيم .
روشهاي هندسي براي بدست آوردن عدد طلايي :
اگر يك مثلث متساويالاضلاع رسم كنيم ( مثلث بنفش ) و از مركز آن دايرهاي رسم كنيم تا از سه راس آن مثلث عبور كند ( دايره نارنجي ) و وسط دو ضلع مثلث را يافته و پاره خطي از آن دو نقطه تا محيط دايره ، رسم كنيم دو پاره خط با نسبت طلايي بدست ميآيد ( پاره خط زرشكي و سرخ آبي ) يعني
69.2820323/42.81865077=1.61803398...........
رسم زير روش ديگري براي رسم مستطيل طلايي ويژه و تناسبات طلايي ، و همچنين بدست آوردن عدد طلايي را نشان ميدهد .
http://www.ki2100.com/dwf/mat/fibonacci/5.dwf
http://www.ki2100.com/pdf/mat/fibonacci/5.pdf
جهت رسم يك مستطيل طلايي به نسبت عدد طلايي ابتدا يك مربع به ضلع يك واحد كشيده سپس طبق شكل فوق وسط ضلع پاييني اين مربع را پيدا ميكنيم . سپس يك قوس با شعاعي به اندازه وسط ضلع پاييني مربع تا گوشه سمت راست بالا ميكشيم تا طول مستطيل معلوم شود .
اهرام :
جالب است بدانيم كه نسبت ضلع بلندتر به ضلع كوتاهتر مستطيل طلايي كه نسبت طلايي ناميده ميشود ، در بسياري از طرحهاي هنري از قبيل معماري و خطاطي ظاهر ميشود . مطابق تحقيقات انجام شده ، نسبت طول ضلع قاعده به ارتفاع در اهرام ثلاثه مصر ، برابر نسبت طلايي است . همچنين ديوارهاي معبد پارتنون از مستطيلهاي طلايي ساخته شده است ! زيرا به اعتقاد سازندگان آنها ، مستطيلها با نسبتهاي طلايي به چشم خوشايندتر هستند و اين موضوع دال بر اين واقعيت است كه اين تناسبات هندسي در ذات انسانها نيز شكل گرفتهاند !
تعريف رياضي سري اعداد يا دنبالهي فیبوناچی و عدد طلايي ( في Φ ) :
غیر از دو عدد اول ( 0 و 1 ) اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست میآیند . اولین اعداد این سری عبارتند از :
۰,۱,۱,۲,۳,۵,۸,۱۳,۲۱,۳۴,۵۵,۸۹,۱۴۴,۲۳۳,۳۷۷,۶۱۰,۹۸۷,۱۵۹۷,۲۵۸۴,۴۱۸۱,۶۷۶۵,۱۰۹۴۶
این سري از اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده است . طبق تعريف :
مقدار عددي حد فوق به عدد في يا همان .......... 1.618033 ميرسد . اگر عدد في را بتوان دو برسانيم مثل اين است كه يك واحد به عدد في افزوده باشيم يعني Φ²=Φ+1 و اگر عدد يك را بر في تقسيم كنيم مثل اين است كه يك واحد از عدد في كم كرده باشيم يعني :
1/Φ=Φ-1
عدد في را در مبناي دوجيني ميتوان به صورت 1.75 نوشت كه مقدار واقعي ، حقيقي و درستي جهت في ميباشد براي اينكه :
1+(7/12)+(5/12/12)=1.618055555555555555555..........
233/144=1.618055555555555555......
همانطور كه ميدانيم عدد 233 توالي دوازدهم سري يا دنبالهي فيبوناچي است يعني همان تعداد خرگوشها در پايان ماه دوازدهم . و بدست آمدن عدد 1.75 در مبناي دوجيني براي مقدار في بيانگر اين موضوع است كه سيستم دوجينی از بعضی جهات راحتتر از سيستم دهدهی است . راحتی فوق اصولا از اين حقيقت ناشی میشود كه تعداد مقسوم عليههای دوازده از تعداد مقسوم عليههای ده بيشتر ميباشد . دوازده بر يك ، دو ، سه ، چهار ، شش و خودش بخشپذير است . بنابراين بسياری از محاسبات دستی در سيستم دوجينی تا حدودی سادهتر از سيستم دهدهی هستند ، عدد في كه در مبنای دهدهی به صورت عددهاي كسری متناوب در میآيد در مبنای دوجينی چنين نيست و ميتوان به مقدار فيكس شدهي 1.75 دست يافت .
ماياهايي كه در خلال سالهاي 2000 تا 900 قبل از ميلاد ، ساكن آمريكاي جنوبي بودهاند ، چنين به نظر ميرسد كه براي رصد كردن حركات متغير اجرام آسماني ، اهرامي بنا نهادند و تقويم شمسي دقيقي وضع كردند . همچنين با محاسبات خود ، وقوع خسوف و كسوف را پيش بيني و مراسم قرباني كردن انسانها را تدارك ميديدهاند و عقيده بر اين داشتند كه اين كار آنها خشم خدايان را از آنها برطرف ميكند .
به يقين ميتوان گفت كه مطالب و موضوعات بسيار مهمي در علوم بشريت در زمينهي رياضيات ، هندسه و نجوم مفقود و از بين رفته است و فقط نشانههاي تلخ و ناخوشايندي از آن دانستهها در ساختههاي دست بشر باقيمانده است كه در مباحث بعدي سعي خواهيم كرد اين دانستههاي از بين رفته را بازيابي نماييم . البته ما بايد مابين علم و جنايت فرق قائل شويم .
سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزيك و علوم طبیعی ، كاربردهای بسیار دیگری دارد ، ارتباط زیبای فاصلههای خوش صدا در موسیقی ، چگونگی تولد یك كهكشان و ... كه در مطالب آینده راجع به آنها بحث خواهیم كرد .
اين الگو را مي توان در گلبرگها يا دانههاي بسياري از گياهان مثلاً آناناس ، گل داوودي ، گل كلم ، ميوههاي كاج و ... مشاهده كرد .
خود انسان از ناف به نسبت في تقسيم ميشود . اين نسبت نقش پيچيدهاي در پديدههايي مانند ساختار كريستالها ، سالهاي نوري فاصله بين سيارات و پريودهاي چرخش ضريب شكست نور در شيشه ، تركيبهاي موسيقي ، ساختار سيارهها و حيوانات بازي ميكند . علم ثابت كرده است كه اين نسبت به راستي نسبت پايه و مبناي خلقت جهان است . هنرمندان دورهي رونسانس عدد في را يك نسبت الهي ميدانستهاند .
از زماني كه هنرمندان و معماران به عمد شروع به استفاده از نسبت طلايي كردند ، نشان داده شد كه مخاطبان شيفتگي و شيدايي بيشتري نسبت به كارهاي آنها از خود نشان دادند . مستطيلهاي طلايي ، مانند نسبت طلايي فوقالعاده ارزشمند هستند . در بين مثالهاي بيشمار از وجود اين نسبت و يكي از برجستهترين آنها مارپيچ هاي DNA است . اين دو مارپيچ فاصله دقيقي را با هم براساس نسبت طلايي حفظ ميكنند و دور يكديگر ميتابند .
در حالي كه نسبت طلايي و مستطيل طلايي جلوههاي زيبايي را از طبيعت و ساختههاي دست انسان به نمايش ميگذارد ، جلوه ديگري از اين شكوه وجود دارد كه زيباييهاي تحرك را به نمايش ميگذارد . يكي از بزرگترين نمادهايي كه ميتواند رشد و حركات كاينات را نشان دهد ، اسپيرال طلايي است .
اسپيرال طلايي كه به آن اسپيرال لگاريتمي و اسپيرال متساويالزاويه نيز ميگويند هيچ حدي ندارد و شكل ثابتي است . روي هر نقطه از اسپيرال مي توان به هر يك از دو سو تا بينهايت حركت كرد . از يك سو هرگز به مركز نميرسيم و از سوي خارجي نيز هرگز به انتها نميرسيم . هستهي اسپيرال لگاريتمي وقتي با ميكروسكوپ مشاهده ميشود همان منظرهاي را دارد كه وقتي به اندازه هزاران سال نوري به جلو ميرويم . ديويد برگاميني در كتاب رياضياتش خاطرنشان ميكند كه منحني ستارههاي دنبالهدار از خورشيد كاملا شبيه به اسپيرال لگاريتمي است . عنكبوت شبكه تارهاي خود را به صورت اسپيرال لگاريتمي ميبافد . رشد باكتريها دقيقاً براساس رشد منحني اسپيرال است . هنگامي كه سنگهاي آسماني با سطح زمين برخورد ميكنند ، مسيري مانند اسپيرال لگاريتمي را طي مي كنند . عدد في Φ عددي مربوط به خلقت پروردگار يكتا است .
اسبهاي آبي ، صدف حلزونها ، صدف نرمتنان ، موجهاي اقيانوسها ، سرخسها ، شاخهاي جانوران و نحوه قرار گرفتن گلبرگهاي گل آفتابگردان و چيدمان گل مرواريد ، همه به صورت اسپيرال لگاريتمي است . گردباد و منظومهها از نگاه بيرون كاملاً در مسيري به صورت اسپيرال حركت ميكنند . طرح مطالب در اين زمينه بسيار بسيار زياد است كه اگر تمايل به ارايه آنها به ديگران داريد بهتر است آن را در اين مبحث ( تاپيك ) قرار دهيد تا سايرين هم مشاهده نمايند .
محمدرضا طباطبايي 4/8/86
http://www.ki2100.com
ساير مطالب ارايه شده
سيستمهاي شمارش اعداد : ( مبناي دوجيني ، دستگاه شمارش واقعي اعداد در هستي ميباشد )
مكعب يك بستهي كامل از اعداد در مبناي دوازدهتايي يا سيستم شمارش دوجيني است
ستارهي داوود ، اختصار نماي ايزومتريك يك مكعب است
توسعهي رسم هندسي ستارهي داوود در صفحه و فضا ( خوشهي آفرينش )
8 دايره و 8 كره ، 7 ميان دايره و 7 ميان كره در شكل توسعه يافتهي ستاره داوود ( هفت آسمانها )
تركيب تناسب طلايی يا توالی فيبوناچي در ستارهي داوود توسعه يافته
-
نام: kiumars yasini
عضویت : شنبه ۱۳۹۴/۵/۳۱ - ۱۳:۳۵
پست: 4-
سپاس: 1
Re: تركيب تناسب طلايی يا توالی فيبوناچي در ستارهي داوود تو
تقدیم به علم
شما دسترسی جهت مشاهده فایل پیوست این پست را ندارید.