http://www.ki2100.com
برسي و اثبات پنجمین اصل موضوع هندسه اقلیدسی
همانطور كه ميدانيم در هندسه اقليدسي يكسري از مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنج اصل موضوع آنرا به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج مي‌كردند . اما اصل پنجم چندان بديهي به‌نظر نمي‌رسيد . بنابر اصل پنجم اقليدس از يك نقطه خارج از يك خط ، يك خط و تنها يك خط ميتوان موازي با خط مفروض رسم كرد . برخي از رياضيدانان مدعي بودند كه اين اصل را ميتوان به‌عنوان يك قضيه ثابت كرد . در اين راه بسياري از رياضيدانان تلاش زيادي كردند ، ولي نتيجه‌اي نگرفتند .
اشكالات وارد بر هندسه اقليدسي :
لازم به توضيح است كه تمامي اصول و مفاهيم هندسه اقليدسي تنها شامل نظريات خود اقليدس نمي‌شود بلكه اكثرا مجموعه‌اي جمع آوري شده از هندسه مصري‌ها و بابلي‌ها توسط اقليدس است . هندسه اقليدسي بر اساس پنج اصل موضوعه زير شكل گرفته و طبقه بندي شده است :
اصل اول - از هر نقطه ميتوان خط مستقيمي به هر نقطه ديگري كشيد يا اينكه كوتاه‌ترين فاصله مابين دو نقطه يك پاره خط مستقيم است .
اصل دوم - هر پاره خط مستقيم را ميتوان روي همان خط به‌طور نامحدود امتداد داد .
اصل سوم - ميتوان دايره‌اي به هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم كرد .
اصل چهارم - همه زواياي قائمه با هم مساوي هستند .
اصل پنجم - از يك نقطه خارج يك خط ، يك و تنها يك خط ميتوان موازي با خط مفروض رسم كرد .
طبق تعاريف فعلي " اصل پنجم اقليدس كه ايجاز ساير اصول را نداشت ، به هيچ وجه واجد صفت بديهي نبود . در واقع اين اصل بيشتر به يك قضيه شباهت داشت تا به يك اصل . بنابراين طبيعي بود كه لزوم واقعي آن به عنوان يك اصل مورد سوال قرار گيرد . زيرا چنين تصور مي‌شد كه شايد بتوان آن را به‌عنوان يك قضيه ، و نه يك اصل از ساير اصول استخراج كرد ، يا حداقل به‌جاي آن ميتوان معادل قابل قبول‌تري قرار داد . در طول تاريخ بسياري از رياضيدانان از جمله خيام ، خواجه نصيرالدين توسي ، جان واليس ، لژاندر ، فور كوش بويوئي و ... تلاش كردند تا اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرند و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند ، اما تمام اين تلاش‌ها بي‌نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي‌شدند و يا به نوعي همين اصل را در اثبات خود بكار مي‌بردند . سرانجام دالامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد ."
اما موضوع بسيار مهم اين است كه اشيا در دنياي فيزيكي با هندسه اقليدسي سازگارند و هندسه‌هاي نااقليدسي زير مجموعه‌اي از هندسه اقليدسي محسوب ميشوند به طور مثال يك مكعب را در نظر بگيريد كه در فضاي اقليدسي ، از نظر هندسي كاملا اقليدسي است و اگر كره محيط يا محاط آن را رسم كنيم داخل سطح كره با هندسه هذلولي و خارج سطح كره با هندسه بيضوي برسي و مطالعه ميشود و اينك براي اثبات اصل پنجم هندسه اقليدسي چه كاري ميتوان انجام داد . در اين مبحث به استناد اصول و مفاهيم تعريف شده در حيطه هندسه اقليدسي سعي در ارايه راهكاري براي اثبات اين اصل مي‌كنيم .
خط يا پاره خط BC و نقطه A خارج از آن خط و هر دو را روي صفحه P در نظر مي‌گيريم . روي خط BC نقطه دلخواه D را انتخاب و دايره دلخواه C1 را رسم مي‌كنيم البته شعاع اين دايره ميبايست كمتر از AD باشد . بديهي است كه اين دايره ، خط BC را در دو نقطه 1 و 2 قطع خواهد كرد ( يعني اين دايره را بايد چنان رسم كنيم كه روي صفحه P بوده و اين دو تقاطع بوجود آيند ) . از نقطه A دايره C2 را به شعاع AD رسم مي‌كنيم . بديهي است كه اين دايره ، محيط دايره‌ي C1 را در دو نقطه 3 و 4 قطع خواهد كرد ( يعني اين دايره را بايد چنان رسم كنيم كه روي صفحه P بوده و اين دو تقاطع بوجود آيند ) و چون سه نقطه از هر دايره ( مركز و نقاط 3 و 4 ) بر روي صفحه P واقع شده‌اند و اين سه نقطه بر روي يك خط مستقيم نيستند ( براي اينكه محيط دايره C2 يك منحني و كمان است ) ، مسلما اين دو دايره بر روي صفحه P قرار گرفته‌اند ، زيرا شرط اينكه دو شكل در روي يك صفحه قرار گيرند اين است كه دست كم سه نقطه از آنها بروي آن صفحه واقع شده باشند و البته اين سه نقطه بر روي خط مستقيمي واقع نشده باشند . اينك شرط اينكه دو خط با هم موازي باشند اين است كه اولا هر دوي آنها روي يك صفحه باشند و دوما اينكه آن دو خط زواياي مساوي در تقاطع با خط مستقيم متقاطع سومي داشته باشند . اينك عمود AE بر خط BC را رسم مي‌كنيم و خط يا پاره خط FG را چنان رسم مي‌كنيم كه اولا دايره C2 را در دو نقطه 5 و 6 قطع كرده و از نقطه A مركز دايره عبور كرده و دوما بر AE عمود باشد . همانطور كه ميدانيم خط FG دست كم دو نقطه بر روي صفحه P داشته و بر روي صفحه P واقع شده و با خط BC موازي است . حال اگر خط FG را حول نقطه A و روي صفحه P به چرخانيم زاويه FAE بزرگتر و يا كوچكتر از زاويه BEA شده و شرط دوم موازي بودن دو خط منتفي ميشود و اگر FG در نقطه A حول محور AE دوران داشته باشد ، خط FG دو تقاطع 5 و 6 با دايره C2 را از دست مي‌دهد ، بنابراين خط FG از صفحه P خارج و شرط اول موازي بودن دو خط منتفي ميشود . پس ميتوان فهميد و نتيجه گرفت كه خط FG انحصاري بوده و از يك نقطه خارج يك خط ، يك و تنها يك خط ميتوان موازي با خط مفروض رسم كرد .
اينك اين سوال مطرح ميشود كه چرا ما بايد اين اصل پنجم را ثابت كنيم ؟
علت بر اين است كه در هندسه اقليدسي هر پاره خط مستقيمي ميتواند بيانگر يك عدد باشد كه بيانگر طول واقعي آن بوده و مربع و مكعب آن مقدار درستي در محاسبات رياضي است ولي در هندسه‌هاي نااقليدسي چنين نيست براي اينكه طول واقعي يك منحني ميتواند يك عدد باشد ولي اين منحني نمي‌تواند حتما و لزوما بيانگر همان عدد باشد ، براي اينكه انحنا يافته است و طول منحني بيشتر از فاصله دو سر منحني ميباشد و اين دو مقدار با هم نامساوي هستند . به طور مثال در هندسه اقليدسي يك مربع به ضلع 1 متر بيانگر يك متر مربع است و يك مكعب به ضلع 1 متر بيانگر يك متر مكعب است ولي در هندسه‌هاي نااقليدسي اين مقدار‌ها متفاوت است كه نياز به در نظر گرفتن ضريبي مبني بر درصد خطا در محاسبات داريم . اصولا انحنا در هندسه‌هاي نااقليدسي ، به طور كلي نسبت به يك خط راست اقليدسي مشخص و نسبت به يك دايره با شعاع واحد واقع بر يك صفحه مسطح اقليدسي سنجيده ميشود و صحت هندسه‌هاي نااقليدسي در گرو صحت هندسه اقليدسي است .
در هندسه هذلولي مقادير عددي مربوط به توان كمتر از مقادير عددي مربوط به توان در هندسه بيضوي است .
اشكال فوق مقدار هندسي يك به توان دو را نشان مي‌دهند كه مقدار هندسي آن در هندسه اقليدسي ( روي صفحه مسطح ) درست ولي در هندسه هذلولي ( درون سطح حجم ) كمتر و در هندسه بيضوي ( بيرون سطح حجم ) بيشتر است .
