دوست عزیز، جناب paradoxy
امیدوارم پذیرفته باشید که تو اون سؤال، از دید ناظر قرمز زمان و مسیر رسیدن نور به قرمز برابره با زمان و مسیر رسیدن نور به آبی.
بگذریم. بریم سر اصل مطلب و توضیح اینکه چطور اون پارادوکس یاد شده اتفاق نمیفته.
برای بررسی راحت تر موضوع میخوایم به پارامترها مقدار بدیم. فرض کنید فاصله بین لامپ تا ناظر آبی (از دید آبی و قرمز) که اونو با x نشون میدیم، همون یک سال نوری باشه یعنی:
که cy به معنی سال نوریه؛ یعنی y (یک سال) ضرب در c (سرعت نور)
همچنین به فرض که سرعت حرکت ناظر قرمز از دید آبی (یا آبی از دید قرمز) برابر باشه با:
از اینجا نتیجه میگیریم ضریب گامای کلیه اجسامی که با این سرعت حرکت میکنن برابره با:
باز فرض میکنیم ناظر قرمز دستگاه مختصاتی اختیار کنه که مبدأ رو منطبق بر خودش قرار بده؛ اسم محوری رو که داره در اون امتداد، ناظر آبی به سمتش میاد، بذاره محور aها و اسم محوری رو که عمود بر اونه (موازی با خط واصل لامپ و ناظر آبی)، بذاره محور bها. و نیز فرض میکنیم این ناظر مبدأ زمانی (t = 0) رو از لحظه روشن شدن لامپ در نظر بگیره. میخوایم حساب کنیم از دیدگاه قرمز هنگامی که لامپ روشن میشه (نور از لامپ جدا میشه)، فاصله آبی تا قرمز چقده؟ (دقت کنید که اگه به جای دیدگاه قرمز، دیدگاه آبی رو ملاک قرار بدیم، جواب فرق میکنه) شکل 1 رو ببینین.
این شکل [بجز کمان زرد رنگ مات] مربوط به مبدأ زمانی ناظر قرمزه. طول مسیر حرکت نور تا رسیدن به قرمز رو با x1 نشون میدیم. فلش زرد رنگ بردار حرکت نور به سمت قرمزو مشخص میکنه که دو فلش آبی اطرافش مؤلفه های حرکت نور رو در راستای a و b مشخص میکنن. اندازه این مؤلفه ها در شکل مشخص شدن. ناظر آبی داره با سرعت v طبق بردار حرکتی که نشون داده شده به سمت قرمز میاد. در اصل نور پس از جدا شدن از لامپ به صورت دایره (کره) ای به مرکزیت مکان اولیه لامپ به اطراف پخش میشه. کمان زرد رنگ مات شده وضعیت جبهه موج نوری متصاعد شده از لامپ رو در لحظه ای مشخص میکنه که نور به مکان اولیه ناظر آبی رسیده [از اینجا معلوم میشه که اگه ناظر آبی در دستگاه مختصات قرمز در همون مکان اولیه باقی بمونه، نور تنها پس از مدت x/c = 1y (یک سال) به آبی میرسه]. اگه کمانهای وضعیت دیگه ای رو با شعاعهای مختلف رسم کنیم میبینیم که فقط یک کمان وجود داره که ناظر آبی رو قطع میکنه و اون هم از قرمز عبور میکنه. بنابراین برای راحتی کار فقط باریکه نوری رو بررسی میکنیم که به سمت قرمز متوجهه (همین باریکه در چارچوب سکون ناظر آبی به سمت آبی متوجهه) و از بین فوتونهای این باریکه، اولین فوتونی رو بررسی میکنیم که از لامپ خارج شده. با توجه به شکل 1 پس از مدت زمانی که اونو با t0 نشون میدیم، همزمان اتفاقات زیر میفته:
1- نور لامپ مسافت x1 رو طی میکنه تا به قرمز برسه.
2- خود لامپ مسافت x2 رو طی میکنه تا مؤلفه افقی مختصاتش به صفر برسه.
3- ناظر آبی هم مسافت x2 رو طی میکنه تا به مبدأ نزد قرمز برسه.
4- مؤلفه عمودی مختصات اولین فوتون که x بود، به صفر میرسه.
بنابراین میتونیم روابط زیرو بنویسیم:
که یعنی نور مدت 5/3 سال (گاما سال) در راهه تا از لامپ به آبی و قرمز برسه (البته از دیدگاه قرمز). به این ترتیب مقادیر x1 و x2 به دست میاد.
این یعنی نور مسیری معادل 5/3 سال نوری رو طی میکنه تا به قرمز و آبی برسه. همچنین از دید قرمز در لحظه روشن شدن لامپ، ناظر آبی در فاصله 4/3 سال نوری از قرمز قرار داره. حالا اگه همین الان ناظر قرمز، آبی رو با تلسکوپ ببینه و اونو 30 ساله ببینه، به کمک فرمول تعیین سن موجود در پستهای پیشین میتونه سن واقعی آبی رو در این لحظه حساب کنه.
حرف T بیانگر اختلاف سن واقعی آبی از سن ظاهری اونه. رابطه بالا نشون میده در لحظه ای که نور از لامپ جدا شده، ناظر آبی 34 ساله است!
ممکنه سؤال پیش بیاد که
الان ناظر آبی، قرمزو چند ساله میبینه؟ این سؤال چون که هر دو در یه چارچوب لخت قرار ندارن، مبهمه و بیشمار برداشت میشه ازش کرد! تصور کنید ناظر آبی برای خودش محورهای مختصاتی شبیه قرمز بنا کرده باشه (محورهاش به موازات محورهای قرمز و خود آبی در مبدأ باشه) و ناظر قرمز در لحظه مبدأ زمانی تصویر نقطه O رو روی محور 'a دستگاه مختصات ناظر آبی علامت بزنه و اون نقطه رو P بنامه (P نسبت به آبی ساکنه). تو این حالت فاصله بین نقطه P تا ناظر آبی (پاره خط O'P) همواره برابر x2 (4/3 سال نوری) باقی میمونه. اما چون این پاره خط در چارچوب قرمز با سرعت v حرکت میکنه و دچار انقباض طول شده، پس طول اون در چارچوب آبی گاما برابر طول اون در چارچوب قرمزه یعنی ناظر آبی باید بگه ناظر قرمز وقتی در دستگاه 'a'O'b دارای مختصات
شد روی این نقطه یه علامت زد و به راه خودش ادامه داد در حالی که هنوز لامپ روشن نشده بود. حالا با این اوصاف اگه منظور از سؤال فوق این باشه که وقتی از دید ناظر آبی، قرمز در مختصات یاد شده قرار بگیره (و اونجا رو علامت بزنه)، قرمزو چند ساله میبینه، در این صورت این جمله معنی دار خواهد بود. شکل 2 رو ببینید:
این شکل مربوط به لحظه روشن شدن لامپ از دید ناظر قرمزه اما اینجا لامپ رو نشون ندادیم و در عوض دستگاه مختصات ناظر آبی رو رسم کردیم. شکل بیانگر اینه که ناظر آبی به همراه دستگاه مختصاتش در حال حرکت با سرعت v به سمت قرمز و دستگاه مختصاتشه. برای سهولت نمایش، دستگاه مختصات آبی رو – نه در عمل، بلکه در شکل – کمی به سمت بالا انتقال دادیم. ملاحظه میکنیم که رسیدن آبی به نقطه نمایش عدد x2 محور a، همزمان با روشن شدن لامپ انجام میگیره. حال اگه منظور از سؤال بند قبل این باشه که موقعی که نقطه نمایش عدد x2 محور a بر روی مبدأ دستگاه 'a'O'b (یعنی مکان آبی) منطبق بشه (یا وقتی لامپ روشن بشه) ناظر آبی، قرمزو چند ساله میبینه، اونوقت این سؤال معنی دیگه ای پیدا میکنه و جواب دیگه ای داره؛ زیرا فرق این سؤال با سؤال قبلی اینه که از نظر آبی در این لحظه قرمز در مختصات
قرار نداره. شکلهای 3 و 4 رو ببینید.
این شکل در چارچوب سکون ناظر آبیست و مربوط به لحظه ایه که ناظر قرمز روی اون مختصات گفته شده قرار میگیره و اونجا رو علامت میزنه. موقعی لامپ روشن میشه که نقطه نمایش عدد x2 محور a به مکان ناظر آبی یعنی نقطه 'O برسه؛ و چون از نظر آبی هنوز این دو نقطه به هم نرسیدن، پس هنوز لامپ خاموشه. پس از اینکه مدتی گذشت و این نقاط به هم رسیدن، لامپ روشن میشه. فرض کنیم ناظر آبی بلافاصله تصویر نقطه 'O (خود آبی) رو روی محور a علامت بزنه و اون نقطه رو 'P بنامه. اونوقت این نقطه در دستگاه aOb دارای مختصات
خواهد بود. به شکل 4 توجه کنید.
این شکل از دید ناظر آبیه و مربوط به هنگامیه که نقطه نمایش x2 محور a منطبق میشه به مکان ناظر آبی. از دید این ناظر در این لحظه لامپ روشن میشه و فاصله بین ناظر قرمز تا نقطه 'P (پاره خط 'OP) مشابه موردی که در بندهای قبل بود برابر "x2 گاماام" یعنی 4/5 سال نوری (0.8 سال نوری) به دست میاد. به این ترتیب از نظر آبی موقعی که قرمز به فاصله 0.8 سال نوری (x2 گاماام) از آبی میرسه، لامپ روشن میشه و مدت
(یک سال) طول میکشه تا نور به آبی و قرمز برسه. در حالی که از نظر قرمز موقعی لامپ روشن میشه که آبی به فاصله 4/3 سال نوری (x2) از قرمز برسه و مدت
(5/3 سال) طول میکشه تا نور به آبی و قرمز برسه.
میخوایم حساب کنیم که وقتی قرمز و آبی به هم میرسن، سن هر کدوم چقده. چون از دید قرمز، موقعی که لامپ روشن میشه آبی 34 ساله هست (نه اینکه اونو 34 ساله ببینه) و از طرفی آبی باید مسافت x2 رو با سرعت v طی کنه تا به قرمز برسه بنابراین ناظر آبی پس از مدت
به قرمز میرسه. اما به علت پدیده اتساع زمان، ناظر آبی فقط به اندازه
این مدت یعنی
پیر میشه؛ یعنی آبی هنگام ملاقات با قرمز 35 ساله هست.
- سؤال: ناظر قرمز در چند سالگی آبی رو ملاقات میکنه؟ برای پاسخ به این پرسش میدونیم که فرض کردیم:
* ناظر قرمز، آبی رو هنگامی که در دستگاه aOb به نقطه میرسه 30 ساله ببینه.حالا میخوایم یکی از دو حالت زیر رو در نظر بگیریم:
الف. ناظر آبی، قرمز رو هنگامی که در دستگاه 'a'O'b به نقطه میرسه 30 ساله ببینه.
ب. ناظر آبی، قرمز رو هنگامی که در دستگاه 'a'O'b به نقطه میرسه 30 ساله ببینه.- تحلیل حالت الف: شکل 3 مربوط به این حالته و مال موقعیه که از دید آبی، قرمز به نقطه P رسیده و آبی نور 30 سالگی قرمزو دریافت کرده. چون قرمز مدت
در راهه تا از نقطه P به آبی برسه و پس از گذشت این مدت آبی 35 ساله میشه، پس سن آبی موقعی که قرمز به نقطه P رسیده عبارته از:
اما سن واقعی قرمز در لحظه عبور از نقطه P با توجه به فاصلش از آبی و سرعتش، اینطور به دست میاد:
حال با توجه به مدت زمانی که قرمز در راهه تا از نقطه P به 'O (ناظر آبی) برسه و اینکه به خاطر پدیده اتساع زمان، برای قرمز به اندازه
این مدت (5/3 سال = t0) سپری میشه، سن نهایی قرمز عبارته از:
به شکل 2 نگاه کنید. با این شکل هم میشه حالت الف رو تحلیل کرد. این شکل از دید ناظر قرمزه و لحظه ای رو نشون میده که آبی به نقطه 'P رسیده (لامپ روشن شده) و نور 30 سالگیش توسط قرمز دیده میشه که قرمز نتیجه میگیره الان آبی 34 سالشه. با توجه به شکل، ناظر آبی مدت
در راهه تا از نقطه 'P به O (قرمز) برسه ولی به علت پدیده اتساع زمان، برای آبی به اندازه
این مدت یعنی 1 سال سپری میشه و بنابراین سن نهایی آبی 35 ساله. چون از دید آبی سن قرمز در لحظه رسیدن به نقطه P،
ساله هست، پس از دید ناظر قرمز هم وقتی نقطه P به قرمز میرسه، این ناظر باید
سال سن داشته باشه. از اونجا که 5/3 سال زمان میبره تا آبی از نقطه 'P به قرمز برسه، پس سن نهایی قرمز میشود:
ملاحظه میکنیم که هر دو ناظر مقادیر واحدی رو برای سن نهایی هر دو شون پیش بینی میکنن.
*نتیجه: در حالت الف وقتی آبی و قرمز به هم برسن، آبی 35 ساله و قرمز 38 و 1/3 ساله خواهد بود.- تحلیل حالت ب: شکل 4 مربوط به این حالته و مال موقعیه که از دید آبی، قرمز به نقطه Q برسه و آبی نور 30 سالگی قرمزو دریافت کنه. چون قرمز مدت
در راهه تا از نقطه Q به آبی برسه و پس از گذشت این مدت آبی 35 ساله میشه، پس سن آبی موقعی که قرمز میخواد از نقطه Q بگذره عبارته از:
و اما سن واقعی قرمز در لحظه عبور از نقطه Q با توجه به سرعتش و فاصلش نسبت به آبی، اینطور محاسبه میشه:
حال با توجه به مدت زمانی که قرمز در راهه تا از نقطه Q به 'O (آبی) برسه و اینکه به خاطر اتساع زمان، برای قرمز به اندازه
این مدت (0.6 سال) سپری میشه، سن نهایی قرمز برابره با:
مجدداً به شکل 2 نگاه کنید. با این شکل هم میتونیم حالت ب رو تحلیل کنیم. این شکل از دید ناظر قرمزه و بیانگر لحظه ایه که آبی به نقطه 'P رسیده و سنش 34 ساله؛ که طبق تحلیلی که در حالت الف شد، آبی در 35 سالگی قرمزو ملاقات میکنه. مشابه تحلیل حالت الف، اینجا هم میتونیم بگیم نقطه Q موقعی به قرمز میرسه که قرمز 32.4 ساله باشه. به دلیل پدیده انقباض طول، از دید ناظر قرمز فاصله بین Q تا 'O برابره با:
. این یعنی ظرف مدت
از لحظه رسیدن نقطه Q به ناظر قرمز، نقطه 'O (آبی) خودشو به O (قرمز) میرسونه. پس سن نهایی قرمز برابر خواهد بود با:
میبینیم که هر دو ناظر مقادیر یکسانی رو برای سن نهایی شون پیش بینی میکنن.
* نتیجه: در حالت ب وقتی آبی و قرمز به هم برسن، آبی 35 ساله و قرمز 33 ساله خواهد بود.- سؤال: ناظر آبی در چه شرایطی نور 30 سالگی قرمزو دریافت کنه تا قرمز موقع ملاقات آبی 35 ساله باشه؟ جواب روشنه! اگه ناظر آبی، قرمزو هنگامی که به مختصات
برسه 30 ساله دیده باشه، اونوقت قرمز در 35 سالگی به آبی میرسه.
- معادلات حرکت برخی از اجسام:1- معادلات حرکت اولین فوتونی که پس از جدا شدن از لامپ به ناظر آبی (و قرمز) میرسه، در چارچوب سکون آبی:
2- معادلات حرکت همون فوتون در چارچوب سکون قرمز:
3- معادلات حرکت ناظر قرمز در چارچوب سکون آبی با فرضِ قرار دادن لحظه تولد ناظر آبی به عنوان مبدأ زمان او:
4- معادلات حرکت ناظر آبی در چارچوب سکون قرمز در حالت الف با فرض قرار دادن لحظه تولد ناظر قرمز به عنوان مبدأ زمان او:
5- معادلات حرکت ناظر آبی در چارچوب سکون قرمز در حالت ب با همون فرض بالا:
دست آخر فرض کنید این پرسش مطرح بشه که: «بالاخره در یک بازه زمانی معین، آبی زودتر پیر میشه یا قرمز؟» تا زمانی که چارچوبی که در اون، بازه زمانی مذکور اندازه گیری میشه، معلوم نباشه، پاسخ به این پرسش غیر ممکنه.
موفق و پیروز باشید.