چه چیزی یک مدار را پایدار یا ناپایدار می کند؟

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1875

سپاس: 3351

جنسیت:

تماس:

چه چیزی یک مدار را پایدار یا ناپایدار می کند؟

پست توسط rohamjpl »

مدار پایدار مداری است که در آن سرعت ماهواره دقیقاً مناسب باشد - به فضا حرکت نمی کند یا به سمت زمین مارپیچ نمی رود، بلکه در اطراف یک مسیر ثابت حرکت می کند.چه چیزی یک مدار را پایدار یا ناپایدار می کند؟
اگر ناپایدار باشد ϵ رشد می کند. نمایش فعالیت در این پست اگر این منفی باشد، در هر جایگشت کوچک در اطراف آن شعاع، نیرویی به آن شعاع باز می گردد و بنابراین مداری پایدار است. اگر مثبت باشد، نیرو برای افزایش تغییرات کوچک عمل می کند و در نتیجه ناپایدار خواهد بودتصویر
یک پتانسیل مرکزی داده شده $V(x)=-\frac{K}{6r^6}$ و جسمی با تکانه زاویه ای L دارم.
من شعاع یک مدار دایره ای را محاسبه کرده ام که با حل آن را انجام داده ام
$\frac{dV_{eff}}{dr}=0$
که به من$r=\sqrt[4]{\frac{mK}{L^2}}$ داد
چگونه می توان تشخیص داد که این مدار دایره ای ثابت است یا ناپایدار؟ با تشکر از کمک شما!
برای درک اینکه آیا مسیر حرکت تحت یک V پتانسیل پایدار است یا خیر، باید بفهمید که این ثبات به چه معناست.
ساده ترین مثال، نوسان هارمونیک $V=-{1 \over 2}kx^2$ است. در مکانیک نیوتنی، برای یک نقطه پایداری من باید پیدا کنم که آیا
$\nabla V(r_0)=0$
حداقل مقادیر را برای مقادیرپتانسیل $V(r_0)$ یا حداکثر به من میده. سپس، در نمودار V=V(r) ماکزیمم بدیهی است که برای یک جابجایی کوچک dr، جسم از یک نقطه پایداری ناپایدار دور می شود. از سوی دیگر، یک حداقل برای همان جابجایی، حرکتی در داخل آن پتانسیل چاه مانند خواهد داد، مگر اینکه انرژی بیشتری نسبت به حداقل موضعی به جسم داده شود.
مشکل این روش این است که اگر تابع اسکالر V(r) تابعی از بسیاری از متغیرها (بیش از یک) باشد، ریاضیات به کار زیادی نیاز دارد.
بنابراین ما از روش اختلال استفاده می کنیم. یعنی نیروی F را گرفته و بسط تیلور را حول یک نقطه (مانندی که در پاسخ دیگر ذکر شد) در فاصله e بنویسید:
$F(x_0+e)=F(x_0) + \left({dF \over dx}\right)|_{x=x_0}e + {1 \over 2}\left({d^2 F \over dx^2}|_{x=x_0}\right)e^2 +... =0$
. از اینجا یک معادله دیفرانسیل خطی می گیریم که راه حل آن رفتار ذره حول x0 است.
و در مرحله بعد، اگر ما یک لاگرانژی L=T−V داشته باشیم که در آن T انرژی جنبشی، با مختصات کلی q در رابطه با دکارتی تابع زمان نباشد، داریم:
$T=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}(q_1 ... q_n)\dot q_i \dot q_j$
و$V=V(q_1 ... q_n)$
معادلات لاگرانژ عبارتند از:
$\sum (q_1 .. q_n) \ddot q_i + \sum \sum b_{ijk}(q_1 ... q_n)\dot q_i \dot q_j + {\partial V \over \partial {q_k}}=0$
و k=0,1,2..n برای حل تعادلی، عبارات مشتقات در طول زمان صفر هستند و بنابراین:$\left.{ \partial V \over \partial {q_k}} \right|_{q_0} =0$
.برای حرکت کمی حول نقطه تعادل می توانیم ثابت کنیم:
$L=\left(\sum_{i=1}^n m_{ij}\ddot χ_i + b_{ij}χ_i\right)=0$
در نهایت پایداری مدارهای دایره ای را مطالعه می کنیم برای نقاط تعادل داریم:
$F(r)+{L^2 \over mr^3}=0 --> {dV(r) \over dr}=0$
برای مسیر پایدار $V(r=r_0)''>0$ که در آن $V''$دومین مشتق روی r پتانسیل است. از اینجا می توانیم ثابت کنیم که:
$V''|_{r_0}=-F'|_{r_0} +{3 \over r_0}{L^2 \over mr{_0}^3}>0 -->{F'|_{r_0} \over F|_{r_0} + }+ {3 \over r_0 }>0$
. این شرط برای مسیرهای پایدار است.
میدونم خیلی زیاده ولی امیدوارم کمک کنه
یک روش برای تجزیه و تحلیل پایداری در یک پتانسیل این است که r و r+ ε را در نظر بگیریم که ϵ یک عدد کوچک است. اگر بتوانید دینامیک را به صورت تحلیلی حل کنید یا یک شبیه سازی کامپیوتری عددی برای جسم خود با هر دو r و r+ ε اجرا کنید و با گذشت زمان مشاهده کنید که آیا ϵ کوچکتر یا بزرگتر می شود که به شما سرنخی از پایدار یا ناپایدار بودن مدار می دهد (به ترتیب ). اگر ناپایدار باشد ϵ رشد می کند.
زمانی که ارزش را بدست آورید
$dV_{eff}\over dr$
این منهای نیروی مؤثر است یعنی:
$F_{eff}=-\frac{dV_{eff}}{ dr}$
اگر دوباره این را متمایز کنیم، دریافت می کنیم:
$\frac{dF_{eff}}{dr}=-\frac{d^2V_{eff}}{ dr^2}$
اگر این منفی باشد، در هر جایگشت کوچک در اطراف آن شعاع، نیرویی به آن شعاع باز می گردد و بنابراین مداری پایدار است. اگر مثبت باشد، نیرو برای افزایش تغییرات کوچک عمل می کند و در نتیجه ناپایدار خواهد بود.
چه چیزی یک مدار پایدار را تعریف می کند؟
هیچ تعریف مشخصی از اینکه مدار پایدار چیست، وجود ندارد. مدارها می توانند صدها یا هزاران سال، میلیون ها، میلیاردها یا حتی تریلیون ها سال دوام بیاورند. هیچ تعریف منظم و مرتبی بین پایدار و ناپایدار وجود ندارد.
به عنوان مثال، هابل هر 97 دقیقه یک بار به دور زمین می چرخد، و در چند سال، عمدتاً به دلیل مقاومت بسیار اندک هوا، انتظار می رود که به زمین سقوط کند. بسیاری از ماهواره ها، به دلیل اینکه تجهیزات آنها برای همیشه دوام نمی آورد، به گونه ای طراحی شده اند که به تدریج با مقاومت هوا کند شده و پس از چند دهه کارکرد به زمین سقوط کنند. ماهواره‌ها را می‌توان در جایی قرار داد که به سادگی با حرکت دادن آن‌ها به بیرون، بسیار طولانی‌تر در مدار بمانند، اما فایده چندانی برای آن وجود ندارد. این سودمند است که ماهواره‌ها بعد از اینکه مفید واقع شدند به زمین بیفتند.تصویر
مدارهای دور ماه به دو دلیل ناپایدارتر از مدارهای اطراف زمین هستند. یکی، به این دلیل که ماه از نظر گرانشی توده‌ای است، بنابراین مدارهای پایین اطراف ماه برای مدت طولانی در جای خود باقی نمی‌مانند. اینجا را ببین.
و دو، چون زمین از نظر گرانشی غالب است، بنابراین ماه کره تپه ای خیلی بزرگ ندارد. مکانیک آسمانی دوست ندارد ماهواره ها ماهواره داشته باشند. اینجا و اینجا را ببینید. قمر ما می‌تواند یک ماهواره داشته باشد، اما احتمالاً برای مدت طولانی پایدار نخواهد بود، حداقل در مقیاس زمانی آسمانی.
نقاط L4 و L5 به طور کلی در سیستمی پایدار هستند که جرم بزرگتر (زمین) بیش از 25 برابر جرم کوچکتر (ماه) است، اما مدار ماه ما برای نقاط تروجان ماه بسیار غیرعادی و بی نظم است. پایدار برای هر دوره زمانی نقاط L4 و L5 زمین در اطراف خورشید پایدارتر هستند و چند سیارک کوچک در نقاط تروجان زمین وجود دارد. L4 و L5 ماه پایدار نیستند زیرا ماه بیش از حد در مدار خود می‌لرزد. خروج از مرکز و اغتشاشات تمایل به بی ثباتی نقاط L4 و L5 دارند. همانطور که گفته شد، L4 و L5 ماه پایدارتر از L1، L2 و L3 هستند.
با این حال، ماه ما، با وجود اینکه به آرامی از زمین دور می‌شود، به اندازه‌ای پایدار است که از خورشید ما دوام بیاورد. در مقیاس چندین میلیارد سال پایدار است.تصویر
اما در حالی که نقاط L1 و L2 از نظر گرانشی پایدار نیستند، اما همچنان مکان‌های مفیدی برای ماهواره‌ها هستند زیرا به تنظیم کمتری نیاز دارند. Satalites با مدارهایی که در اطراف نقاط لاگرانژ حرکت می کنند اغلب به عنوان مکان های مفید استفاده می شوند.
این مدار عجیب و غریب به دور ماه را در نظر بگیرید، جایی که ماهواره ناسا از L2 به L1 منتقل می شود و در تئوری می تواند بدون صرف انرژی زیاد به عقب و جلو منتقل شود. این به هیچ وجه یک مدار "پایدار" نیست، اما نمونه ای از یک مدار ناپایدار اما مفید برای زندگی یک ماهواره است.
تلسکوپ جیمز وب، زمانی که پرتاب می شود، به دور نقطه لاگرانژ L2 زمین می چرخد، که پایدار نیست، اما به تنظیمات نسبتاً کمی نیاز دارد تا در این ترتیب باقی بماند. همچنین مفید است زیرا تقریباً به طور کامل توسط زمین از خورشید سایه می اندازد و در فضای سرد و دور از نور خورشید بهترین کار را دارد.
برای مثال، مدار مشتری به دور خورشید احتمالاً برای تریلیون‌ها سال پایدار خواهد بود. قمرهای مشتری در اطراف مشتری؟ به سختی می توان گفت، با 4 قمر گالیله، پیش بینی مدار آنها در دوره های زمانی طولانی دشوار است.
.مدار ماه در مقیاس زمانی میلیاردها سال پایدار است. مدار پایین زمین در دراز مدت پایدار نیست. با این حال، مدارهای زمین ثابت عمر بسیار طولانی دارند. ماهواره هایی که در مدار زمین ثابت هستند در نهایت دچار اختلال می شوند (برخی برای برخورد با زمین، برخی احتمالا برای فرار) اما این بسیار بیشتر از طول عمر انسان طول می کشد. برای اهداف عملی، مدارهای زمین ایستا پایدار هستند. ماهواره‌های زمین‌ایستا از رانشگرها برای نگهداری ایستگاه استفاده می‌کنند، نه برای جلوگیری از فروپاشی مدارشان.
فراتر از زمین، اعتقاد بر این است که مدارهای سیاره ثابت هستند. احتمال بسیار کمی وجود دارد که رزونانس بین عطارد و مشتری ایجاد شود، و این می تواند باعث شود که مدار عطارد به طور اساسی تغییر کند (یا حتی با سیاره دیگری برخورد کند)، در طول حدود 3 میلیارد سال. به طور کلی، منظومه شمسی از نظر فنی آشفته است. در حالی که مدار سیارات تغییر نخواهد کرد، نمی توان موقعیت سیارات را پس از حدود 50 تا 100 میلیون سال پیش بینی کرد.
پایداری منظومه شمسی و مدار زمین ثابت در تضاد با پیکربندی های مداری واقعاً ناپایدار است. LEO به دلیل کشش اتمسفر ناپایدار است. بسیاری از پیکربندی های 3 بدنه ناپایدار هستند و منجر به بیرون راندن یکی از اعضای سیستم می شوند.
یک سیستم سه بدنه ممکن است دوره ای اما ناپایدار باشد، به این معنا که اختلال در سیستم منجر به هرج و مرج و بیرون راندن یکی از اعضای سیستم می شود.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
تصویر

ارسال پست