candle نوشته شده:در این جستار، هنوز به این پرسش پاسخ داده نشده:
آیا مجموعه ی اعداد گنگ یک میدان تشکیل می دهد؟
درود بر شما،
ببخشید، من مدتی انجمن نبودم و این سوال شما ندیدم.
اکنون روی آن گفتگو می کنیم.
نخست درباره ی میدان گفتگو کنیم.
نکته ی اصلی که باید بگم این هست:
میدان ریاضی با میدان هایی که در فیزیک خوندیم (مانند میدان مغناطیسی و الکتریکی و گرانشی و ...) کاملاً فرق داره.
میدان ریاضی
خب...
طبق تعریف، میدان ریاضی [tex]F[/tex]، یک سه تایی است: [tex](F,+,*)[/tex]، که در آن:
الف) [tex]K[/tex] یک مجموعه است که می تواند متناهی یا نامتناهی باشد.
ب) [tex]+:K\times{K}\rightarrow{K}[/tex]
ج) [tex]*:K\times{K}\rightarrow{K}[/tex]
د) مجموعه ی [tex]F[/tex] روی هر کدام از این دو تابع ِ دو تایی بسته است.
چند (9 تا است!) اصل موضوع زیر نیز بر قرار است:
- شرکت پذیری [tex]F[/tex] روی جمع و ضرب.
- جابجایی پذیری [tex]F[/tex] تحت جمع و ضرب.
- موجودیت عضو معکوس جمع و ضرب.
- موجودیت عضو خنثی جمع و ضرب.
- پخش پذیری ضرب روی جمع.
تمرین
الف) بررسی کنید که آیا اعداد طبیعی، صحیح، گویا، گنگ، حقیقی و مختلط تشکیل میدان می دهند یا نه.
ب) آیا این میدان ها متناهی اند یا نا متناهی؟