طبق قضیه اشتورم-لیوویل، می دانیم جواب های معادله دیفرانسیلی به شکل زیر توابعی هستند که بر هم عمودند و فضای توابع را span می کنند:
این توابع دقیقا مثل بردارهای یکه (بردارهای iوj) عمل می کنند. همانطور که هر بردار در صفحه مختصات را می توان با استفاده از توابع یکه نشان داد، هر تابع در فضای توابع را نیز می توان با استفاده از توابع عمود بر هم که جواب های معادله دیفرانسیل بالا هستند، نشان داد.
نمونه ای از این توابع عمود بر هم را در زیر:
معادله لژاندر نمونه ای از معادلات نوع اشتورم-لیوویل است:
جواب های این معادله که به چند جمله ای های لژاندر معروفند در [-1,1] بر هم عمودند:
یعنی هر تابع را می توان بر حسب p0,p1,… با ضرایب مناسبی c,d,… که باید تعیین شوند، نوشت.
F(x)=c×p0+d×p1+……
نمونه دیگری از این معادلات به صورت زیر است:
جواب های معادله دیفرانسیل بالا توابع سینوسی با فرکانس های مختلف هستند و بر هم عمودند. به صورت :
Sin(nt) . پس می توان هر تابع را به صورت مجموعی از توابع سینوسی با فرکانس های مختلف نوشت که سری حاصله به سری فوریه معروف است.....
با توجه به بسط فوق، فهمیده می شود که هر چه یک تابع دارای تغییرات سریع تری باشد در بسط فوریه خود دارای سینوسی ها با فرکانس های بالاتری خواهد بود.
ساخت سیگنال مربعی با استفاده از مجموع سینوسی ها:
حال به کاربرد بحث های فوق در مهندسی می پردازیم. می دانیم کامپیوترها برای ارسال و ذخیره اطلاعات از بیت های صفر و یک استفاده می کنند که معمولا بیت صفر با ولتاژ سطح صفر و بیت یک با ولتاژ 5 ولت در کامپیوترها مشخص می شود. در مخابرات انتقال اطلاعات بین دو کامپیوتر با انواع کابل ها انجام میشود (زوج سیم مسی به هم تابیده- کابل کواکسیال یا همان کابل آنتن- فیبر نوری و .....).
در مخابرات داخل شهری از معمولا از سیم مسی برای این کار استفاده می شود. سیم مسی هم دارای خاصیت خازنی و مقاومتی و سلفی است که با افزایش طول آن این خواص افزایش می یابد. مدار معادل ساده یک سیم مسی به صورت زیر است:
فرض کنید بخواهیم سیگنالی به صورت مقابل که همان سیگنال هایی است که بین کامپیوترها منتقل می شود را به یک طرف این سیم وارد کرده و خروجی آن را در طرف دیگر ببینیم:
سیگنال وارده با فرکانس کم:
خروجی سیم مسی در طرف دیگر به ازای ورودی بالا:
مشاهده می شود به راحتی می توان تغییرات سطح ولتاز در طرف دیگر را از هم تفکیک کرده و اطلاعات را بازیابی کرد.
حال فرکانس ورودی را بالاتر برده و خروجی سیم مسی در طرف دیگر را مشاهده می نماییم:
خروجی سیم مسی:
مشاهده می شود با بالاتر رفتن سرعت تغییرات سیگنال ورودی، دیگر تغییرات سطح ولتاژ در طرف دیگر سیم مسی قابل تشخیص نبوده و در نتیجه اطلاعات از بین رفته است.
پس مشخص می شود اگر بخواهیم اطلاعات را با سرعت زیاد بین دو کامپیوتر منتقل کنیم، سیم مسی مشکل زا خواهد شد. قبلا نیز گفتیم یک تابع را می توان به صورت مجموعی از سینوسی ها نوشت و هر چه تغییرات تابع سریعتر باشد، سینوسی با فرکانس های بالاتر در بسط فوریه آن وجود خواهد داشت. حال اگر سیگنال ارسال شده توسط کامپیوتر را موج مربعی به شکل بالا در نظر بگیریم، برای اینکه سرعت ارسال اطلاعات زیاد شود، باید سرعت تغییرات این تابع نیز زیاد شود و در نتیجه سینوسی ها با فرکانس های بالاتری در آن سیگنال ظاهر خواهد شد. پس هنگام بیان پهنای باند یک شبکه، پر تغییرات ترین سیگنال پالس (مربعی) به شکل بالا را که قابلیت عبور از سیم مسی را داشته و در طرف دیگر به شکل ذکر شده در بالا قابل دریافت است را اندازه گیری کرده و بالاترین فرکانس سینوسی موجود در بسط فوریه آن را به عنوان پهنای باند شبکه در نظر می گیرند.
البته این مسائل با در نظر گرفتن ساده ترین شکل ارسال و دریافت اطلاعات بدون در نظر گرفتن مدولاسیون و ...... است. و فقط سعی در بیان مفهوم دارد.