اینجا مشکل شماست. یک جسم "بدون جرم" دارای یک نیروی خالص یا گشتاور ناچیز است ، اما این نیروی خالص / گشتاور به همان معنایی که جرم قابل اغماض است "ناچیز" است. و مقدار کمی که به مقدار کم تقسیم شود لزوماً مقدار کمی نیست ، بنابراین حتی اگر F و m ناچیز باشند ، a = F / m لزوما قابل اغماض نیست.
به عنوان یک مثال ساده ، دو جعبه جرم M1 و M2 را که با یک طناب غیر قابل انعطاف به جرم m متصل شده اند ، در نظر بگیرید. ما در جهت x یک نیروی F را به M1 وارد می کنیم. شتاب سیستم چقدر است؟ تدوین معادلات حرکت برای هر یک از سه توده مورد نظر خیلی سخت نیست. آن ها هستند:
$\begin{align}
M_1:& & F - T_1 &= M_1 a \\
M_2:& & T_2 &= M_2 a \\
m:& & T_1 - T_2 &= m a,
\end{align}$،جایی که T1 نیروی بین طناب و M1 است ، در حالی که T2 نیروی بین طناب و M2 است. حال ، اگر m ناچیز باشد ، آخرین معادله به معنای T1≈T2 است. به عبارت دیگر ، کشش در طول طناب ثابت است. اما حتی اگر نیروی خالص روی طناب صفر باشد ، این به این معنی نیست که شتاب طناب صفر است. این فقط به این معنی است که m به اندازه کافی کوچک است که می توانیم تفاوت بین T1 و T2 را نادیده بگیریم.
به طور متناوب ، می توان معادلات فوق را برای بازده حل کرد
$a = \frac{F}{M_1 + M_2 + m}, $ ،
و در حد $ a = F/(M_1 + M_2)$ بدست می آورید - دقیقاً نتیجه ای که با نادیده گرفتن جرم طناب و با فرض اینکه طناب به سادگی نیرو بین جعبه ها.
به همین ترتیب ، در شرایط شما ، جرم میله "کوچک" است. اگر جرم میله را ناچیز بدانیم ، گشتاور حاصل از چشمه فوقانی روی میله باید تقریباً برابر گشتاور چشمه پایین باشد. با در نظر گرفتن این نکته ، می توانید نیرویی را که میله به چشمه پایین وارد می کند ، بفهمید و (با این فرض که چشمه پایین جرم ندارد!) نیروی وارد شده توسط چشمه پایین به جرم m را بفهمید. اما این دو گشتاور دقیقاً با یکدیگر برابر نیستند و این تفاوت جزئی ، اگرچه برای تعیین حرکت m ناچیز است ، اما هنوز هم کافی است$ \begin{align*}
&\textbf{Beam roham}\\
&\Theta\ddot{\varphi}=f_{K1}\,L\cos(\varphi)+f_{K2}\,2\,L\cos{\varphi}\\
&\text{with}\\
&f_{k1}=k\,\left(L\sin(\varphi)-y\right)\\
&f_{k2}=\frac{k}{2}\,\left(2\,L \sin(\varphi)\right)\\
&\text{and}\quad \Theta=0\quad\text{we get}\\
&\varphi=\arcsin\left(\frac{1}{3}\frac{y}{L}\right)&(1)\\\\
&\textbf{Mass roham}\\
&m\,\ddot{y}=-k\,\left(L\sin(\varphi)-y\right)-c\,\dot{y}\\
&\text{with roham (1)}\\
&m\,\ddot{y}=-\frac{2}{3}\,k\,y-c\dot{y}
\end{align*}$
قسمت 2مشکلاتی که قبلاً با آن روبرو بوده ام ، توده ها همیشه در یک جهت حرکت می کنند و من با استفاده از کشش یا فشرده سازی فنرها تعیین می کنم (x2 x1).
اما در این ، جرم m1 به سمت چپ و جرم m2 به سمت راست حرکت می کند. بنابراین فنرها (با k0 ثابت) فشرده می شوند (فنرها جرم ها را به تعادل می رسانند) ، سپس فنر (با k در وسط کشیده می شود (توده ها را به سمت یکدیگر می کشد)
$ m\ddot{x}_1 = +k_0x_1+k(x_1 + x_2)\\
m\ddot{x}_2 = -k_0x_2-k(x_1+x_2)$و$\omega = \sqrt[4]{\frac{2k_0k}{m} + (\frac{k_0}{m})^2} $و$ m\ddot{x}_1 = +k_0x_1+k(x_2 - x_1)\\
m\ddot{x}_2 = -k_0x_2 -k(x_2 - x_1)$و$\omega_1 = \sqrt{\frac{k_0-k}{m}} \\
\omega_2 = \sqrt{\frac{k_0+k}{m}} $با تشکر برای تعریف x ، با این کار می توانم توضیح دهم مشکل چیست. من تصور می کنم که با روش رسم x1 و x2 ، این مقادیر مثبت x1 و x2 را نیز تعریف می کند.
مسئله این است که شما x1 و x2 را با اشاره به برخی از موقعیت های تعادل x1e و x2e می دهید. طول واقعی فنر مرکزی $x_1 + x_2 - (x_{2e} - x_{1e}) $ خواهد بود ، به عنوان مثال x1e و x2e می توانند به عنوان فواصل مربوط به نقطه اتصال فنر سمت چپ باشند. اما این واقعاً مسئله نیست - شروع از موقعیت تعادلی مانند این اصطلاحات غلطی را به شما ارائه می دهد.
اگر x1 و x2 را با توجه به همان مبدا ارائه دهید بسیار ساده تر عمل می کند. بگویید x1 فاصله جرم 1 از نقطه ای است که چشمه سمت چپ به دیواره متصل است و x2 فاصله جرم 2 از همان نقطه است. سپس می توانید جلو بروید و هر سه فنر را مدل کنید. طول چشمه اول x1 ، طول چشمه دوم x2 − x1 و طول چشمه سوم L − x2 خواهد بود. واضح است که x1 نیروهای ناشی از فنر اول و دوم را احساس می کند و هر نیرو ثابت بهار چندین برابر طول است ، بنابراین$ m \ddot{x}_1 = - k_0 x_1 + k (x_2 - x_1).$
.علائم وجود دارد زیرا فنر سمت چپ x1 را به سمت چپ می کشد (در برابر جهت مثبت سیستم مختصاتی که ما فقط انتخاب کردیم) در حالی که فنر میانی باعث ایجاد کشش به سمت راست می شود (در جهت مثبت سیستم مختصات). به همین ترتیب ، پیدا می کنید
$ m \ddot{x}_2 = k_0 (L - x_2) - k (x_2 - x_1).$
این بار ، فنر راست به سمت راست می کشد در حالی که فنر وسط به سمت چپ می کشد ، بنابراین علائم مخالف را دریافت می کنید. بنابراین ، شما یک معادله ماتریسی دارید
$ \frac{\textrm{d}^2}{\textrm{d}t^2}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} k - k_0 & k \\ k & -(k - k_0)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} + k_0 L \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix},$
و می توانید فرکانس ها را از ماتریس فرکانس محاسبه کنید.اگر فقط یک فنر با جرم داشته باشید ، دو گزینه برای انتخاب علامت نیرو + یا - دارید
$ m\ddot{x}=\pm k\,x$
اگر انتخاب کردید - که راه حل را با شرایط اولیه x (0) = x0 و x sign (0) = 0 بدست می آورید
$ x(t)=x_0\,\cos(\omega\,t)$
جایی که$ \omega=\sqrt{\frac km}$
اگر + را انتخاب کنید ، راه حل را به دست می آورید
$ x(t)=\frac 12 x_0 e^{\omega t}$
اما این راه حل اشتباه است زیرا شما انتظار حرکت سینوسی یا کسینوس را دارید.
بنابراین علامت منفی صحیح است.
این قانون را دنبال کنید این معادلات حرکت را بدست می آورید
$ m\,\ddot x_1=-k_0\,x_1-k\,(x_1-x_2)$
$ m\,\ddot x_2=-k_0\,x_2+k\,(x_1-x_2)$