آیا در گاز ساکن با گرادیان دما، گرادیان فشار وجود دارد؟
گازی را با معادله ایده آل حالت$P = n k_{\rm B} T$، در یک ظرف مستطیلی ثابت با دو دیواره متقابل که در دماهای مختلف نگهداری می شود، در شرایطی که سلول های همرفتی وجود ندارد و حالت پایدار به دست آمده است، در نظر بگیرید. این تنظیمی است که میتوان از آن برای اندازهگیری هدایت حرارتی استفاده کرد.
آیا در چنین گازی گرادیان فشار وجود دارد؟
قبل از پاسخ دادن به "نه، موارد زیر را در نظر بگیرید. استدلال برای عدم گرادیان فشار این است که اگر هر لایه معینی از گاز وجود داشت، فشارهای متفاوتی در هر دو طرف داشت و بنابراین تحت یک نیروی خالص قرار می گرفت، بنابراین شتاب می گرفت تا شرایط ثابت نباشد. این شرط است
$P = \mbox{const} \Rightarrow n T = \mbox{const}$
در اینجا منظور ما از const مستقل از موقعیت و همچنین زمان است. با این حال، شار ذرات از یک لایه به لایه دیگر متناسب است
$n \bar{v} \propto n \sqrt{T}$
که در آن $\bar{v}$ میانگین سرعت است که متناسب با $\sqrt{T}$ محلی است، بنابراین برای کاهش این شار به صفر نیاز داریم
$n \sqrt{T} = \mbox{const}.$
(این مانند استدلال برای یکسان سازی افیوژن بین دو اتاق است که توسط دیواری با یک سوراخ کوچک از هم جدا شده اند.)
من فکر می کنم که در حالت ثابت، برای محفظه همانطور نمی توان یک شار خالص از ذرات وجود داشته باشد، زیرا ذرات نمی توانند به دیوارها نفوذ کنند، اما ممکن است یک گرادیان فشار وجود داشته باشد زیرا دیوارها می توانند آن را حفظ کنند. بنابراین من یک محاسبه دقیق تری از طریق نظریه جنبشی با توزیع ماکسول-بولتزمن وابسته به موقعیت انجام دادم و یک پاسخ میانی بین دو پاسخ فوق دریافت کردم.
$n T^\nu = \mbox{const}$
که در آن توان $\nu$ تقریباً 0.72 است.
اگر این درست است، پس استدلال به ظاهر غیرقابل انکار برای فشار یکنواخت چه اشکالی دارد؟ برعکس، اگر فشار یکنواخت است، استدلال من در مورد شار ذرات انتشاری چه اشکالی دارد؟
نکته اضافه شده: برای وضوح، می توانید فرض کنید که گرادیان دما در جهت عمودی است اگر بخواهید، اما من واقعاً موردی را می خواهم که گرانش کاملاً ناچیز باشد. شاید نباید به همرفت اشاره میکردم، اما میخواستم روشن کنم که در موقعیت مورد بحث هیچ جریانی در گاز وجود ندارد (این امر انتشار را رد نمیکند).
هیچ گرادیان فشاری وجود ندارد.
راه برای درک این موضوع یافتن یک راه حل ایستا برای معادله دینامیک سیالات است. معادله اویلر است
$\partial_t\vec{v}+(\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} = -\frac{1}{\rho}
\vec\nabla P.$
ما یک راه حل استاتیک بدون جریان سیال می خواهیم،$\vec{v}=0$. این بدان معنی است که$\vec{\nabla}P=0$ و فشار در سراسر سیال ثابت است. این نتیجه با تنش های اتلاف اصلاح نمی شود (معادله ناویر-استوکس)، زیرا اگر $\vec{v}=0$ تنش های اتلاف دهنده به طور خودکار صفر می شوند.
معادلات دینامیکی سیالات دیگر معادله تداوم و معادله بقای انرژی است. تداوم است
$\partial_t\rho + \vec\nabla (\rho\vec{v}) =0$
که اگر ρ ثابت باشد و $\vec{v}=0$ باشد خودکار است. بقا در انرژی جالب تر است. ما داریم
$\partial_t{\cal E}+\vec\nabla \cdot\vec\jmath_\epsilon = 0$
که در آن ${\cal E}$ چگالی انرژی و $\vec\jmath_\epsilon$ جریان انرژی است. از جمله هدایت حرارتی که داریم
$\vec\jmath_\epsilon = \vec{v}({\cal E}+P) -\kappa\vec\nabla T .$
برای حل ایستا $\vec\nabla\cdot \vec\jmath_\epsilon=0$. اگر $\vec{v}=0$ داریم $\nabla^2 T=0$ (با فرض اینکه κ تابعی از چگالی یا دما نیست، که کاملا درست نیست، اما یک تقریب معقول است). این بدان معناست که دما به صورت خطی با فاصله تغییر می کند.
در نهایت باید از معادله حالت استفاده کنیم. فشار با $P=P(\rho,T)$ داده می شود. در اینجا گاز ایده آل را $P=\rho T/m$ فرض می کنیم. از آنجایی که T به صورت خطی متفاوت است، $\rho$ باید به صورت $1/(const +x)$ تغییر کند. این با تداوم، معادله اویلر و بقای انرژی سازگار است.
در نهایت: آیا این با نظریه جنبشی سازگار است؟ باید چنین باشد، زیرا دینامیک سیالات را می توان از نظریه جنبشی استخراج کرد. اما ممکن است سوال شود که چگونه این اتفاق از نظر میکروسکوپی رخ می دهد.
در تئوری جنبشی چگالی سیال است
$\rho(x,t) = \int d^3p \, f_p(x,t)$
که در آن $f_p(x,t)$ تابع توزیع اجزاء تشکیل دهنده است (به عنوان مثال اتم ها). سرعت سیال است
$\vec{v} = \int d^3p \,\frac{\vec{p}}{m} \, f_p(x,t)$
و جریان انرژی است
$\vec\jmath_\epsilon = \int d^3p \,\frac{\vec{p}}{m} \frac{p^2}{2m}
\, f_p(x,t).$
در مورد حاضر ما به دنبال راه حلی هستیم که در آن T به صورت خطی با فاصله تغییر می کند، جریانی وجود ندارد، $\vec{v}=0$، و$\vec\jmath_\epsilon\sim \vec\nabla T$
این را می توان انجام داد، همانطور که در بسیاری از کتاب های درسی نظریه جنبشی نشان داده شده است. ترفند استاندارد این است که $f_p$ را به عنوان یک اغتشاش کوچک در توزیع Maxwell بنویسید
$f_p(x) = f_p^0(x) (1+\psi_p(x)), \;\;\;
f_p^0(x)=\exp\left(\frac{\mu(x)-p^2/(2m)}{T(x)}\right)$
و یک $\psi_p(x)$ را پیدا کنید که یک جریان انرژی تولید می کند، اما یک جریان ذره ای نیست. این $\psi_p$ از این شکل است
$\psi_p = (\vec{p}\cdot\vec{\nabla} T) \chi_p$
و باید $\chi_p$ را طوری ثابت کنیم که لحظه اول (که$\vec{v}$ را تعریف می کند) ناپدید شود، اما لحظه سوم (که جریان انرژی می دهد) ناپدید شود. این فقط یک تمرین در چند جملهای متعامد است و $\chi_p$ متناسب با چند جملهای لژاندر است.
توجه داشته باشید که $\psi_p$ معادله حالت را تغییر نمی دهد. تانسور فشار همسانگرد و $P=nT$ است. همچنین، ما می توانیم μ را طوری تنظیم کنیم که $\nabla\mu = (\partial \mu)/(\partial T)|_P \, \nabla T$، و فشار ثابت باشد.
در نهایت، ثابت کلی با درج این ansatz در معادله بولتزمن ثابت می شود. راهحل تفصیلی به شکل اصطلاح برخورد بستگی دارد، اگرچه تقریبهای رایجی وجود دارد («زمان آرامش» یا فرم BGK)، که راهحل آن بهراحتی بهصورت تحلیلی یافت میشود. پاسخ این است که ansatz فرضی اضافی در حل مساله است و برای کمک به حل آن در نظر گرفته می شودداده شده در بالا، برای $\chi_p$ مناسب با لحظه اول ناپدید شدن، در واقع معادله بولتزمن را برآورده می کند، و عبارت برخورد فقط هدایت حرارتی را ثابت می کند. برای فرم BGK، یک نتیجه شناخته شده به دست می آید
$\kappa \sim \rho c_P \frac{\tau T}{m}$
که در آن $c_P$ گرمای ویژه است و$\tau$ زمان برخورد است.
: اگر میانگین مسیر آزاد با اندازه جعبه قابل مقایسه باشد چه اتفاقی میافتد؟ این به گازهای واقعی (مگر در فشار بسیار پایین) در ظروف ماکروسکوپی مربوط نیست، اما البته می توان آن را با استفاده از معادله بولتزمن در حد نادسن مطالعه کرد. این را می توان انجام داد، اما من گمان می کنم که جزئیات دقیقاً به آنچه در دیوارها اتفاق می افتد بستگی دارد. همچنین، بدون برخورد، متغیرهای ماکروسکوپی مانند فشار و دما دیگر به خوبی تعریف نمی شوند.
پاسخ بعدی وقتی پیشنهاد میکنید که گرادیان فشار نمیتواند با وضعیت پایدار مرتبط باشد، در اینجا یک فرض نادرست میکنید. وقتی در خانه در یک اتاق گرم نشده (یا به طور یکنواخت) نشسته اید، مطمئناً این حالت ثابت است (هوا حرکتی ندارد) اما در عین حال یک گرادیان فشار وجود دارد (همانطور که می توانید با رها کردن یک بالون هلیوم نشان دهید). در این مورد، گرادیان فشار به دلیل گرادیان چگالی ناشی از گرانش (شیب انرژی پتانسیل گرانشی) است. هر گرادیان دما که به آن اضافه شود منجر به تنظیم گرادیان چگالی می شود به طوری که گرادیان فشار دوباره با نیروی خارجی برابر می شود..I hope I have helped you in understanding the question. Roham Hesami, seventh semester
aerospace engineering
رهام حسامی ترم هفتم مهندسی هوافضا