سوالی از مکانیک آماری پتریا

مدیران انجمن: parse, javad123javad

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1471

سپاس: 3154

جنسیت:

تماس:

Re: سوالی از مکانیک آماری پتریا

پست توسط rohamjpl »

این ما یک عبارت کلی برای آنتروپی (با استفاده از قوانینی که برای گازهای ایده آل به دست آمده است) بدست آوردیم که در آن مشخص بود که به تغییر دما و حجم از طریق فرآیند و همچنین تعداد مول ها بستگی دارد.
من همچنین یاد گرفته ام که آنتروپی معیاری از بی نظمی در سیستمی است که برای من مزخرف بود ، خصوصاً اینکه من نمی فهمم چگونه بی نظمی (حرکت بی نظم ذرات) با تغییر انرژی گرما در واحد دما ارتباط دارد ، بیشتر مربوط به اگر از من بپرسید ، گرمای خاصی وجود دارد ، با این حال در تلاش برای درک اینکه چه فایده ای در دانستن میزان بی نظمی در یک سیستم وجود دارد ، من فهمیدم که این حالت وضعیت برگشت پذیری فرآیند را اندازه گیری می کند که هنوز هم منطقی نیست که بخواهید آن را با "تغییر در انرژی گرمایی در واحد دما".
شما می دانید که قانون اول صرفه جویی در انرژی است. اگر بدن گرم در تماس با بدن سرد قرار گیرد ، گرما به طور معمول از جسم گرم به سمت سرما جریان می یابد. انرژی از دست رفته توسط جسم گرم برابر است با انرژی بدست آمده از جسم سرد. انرژی صرفه جویی می شود و از قانون اول پیروی می شود
اما اگر همان مقدار گرما در جهت دیگر جریان داشته باشد ، این قانون نیز رعایت می شود. با این حال هیچ کس نمی تواند این اتفاق را به طور طبیعی (بدون انجام کار) ببیند. علاوه بر این ، پس از انتقال گرما از گرم به سرد انتظار ندارید كه خود به خود خود را برگرداند. روند غیر قابل برگشت
فرم Clausius قانون دوم بیان می کند که گرما خود به خود از گرم به سرد جریان می یابد. Clausius ویژگی آنتروپی را ایجاد کرد تا این را به عنوان یک تابع حالت کلی ایجاد کند که در نهایت می تواند به طور مستقل از نقشه برداری از جریان گرمایی تعیین شود.
بنابراین ما به قانون و دارایی جدیدی نیاز داشتیم که اگر گرما به طور طبیعی از یک بدن سرد به یک بدن گرم منتقل شود ، نقض خواهد شد. خاصیت آنتروپی نامیده می شود ،$ \Delta S_{tot}=\Delta S_{sys}+\Delta S_{surr}≥0$
جایی که $ \Delta S_{tot}$ تغییر کل آنتروپی سیستم به علاوه محیط اطراف (تغییر آنتروپی جهان) برای هر فرآیندی است که سیستم و محیط برهم کنش می کنند. اگر روند قابل برگشت باشد ، برابری و اگر غیرقابل برگشت باشد نابرابری اعمال می شود. از آنجا که تمام فرایندهای واقعی برگشت ناپذیر هستند (در زیر توضیح داده شده است) ، قانون به ما می گوید که در نتیجه یک روند واقعی ، آنتروپی کل جهان افزایش می یابد.
$ dS=\frac {dQ_{rev}}{T}$که در آن dQ یک انتقال دیفرانسیل برگشت پذیر گرما و T دمای انتقال آن است. اگرچه برای انتقال برگشت پذیر گرما تعریف شده است ، اما برای هر فرایند بین دو حالت اعمال می شود. اگر این روند در دمای ثابت اتفاق بیفتد ، می توان گفت$ \Delta S=\frac{Q}{T}$ما این قانون جدید را بر روی اجسام سرد و گرم خود اعمال می کنیم و آنها را اجسام A و B می نامیم. برای ساده سازی شرایط ، شرط می گذاریم که اجسام به اندازه کافی عظیم باشند (یا مقدار گرمای Q که به اندازه کافی کوچک منتقل شده باشد) تا دمای آنها در طی مدت ثابت بماند. انتقال حرارت اعمال قانون دوم در بدن ما$ \Delta S_{tot}=\frac{-Q}{T_A}+\frac{+Q}{T_B}$علامت منهای برای جسم A به معنای کاهش آنتروپی برای آن بدن است زیرا گرما به خارج منتقل می شود و علامت مثبت برای جسم B به این معنی است که آنتروپی آن افزایش یافته است زیرا گرما به داخل منتقل می شود.از معادله ، مشاهده می کنیم که برای همه TA> TB ، $\Delta S_{tot}>0 $. بیشتر توجه می کنیم که هرچه هر دو دما به یکدیگر نزدیکتر می شوند ، $ \Delta S_{tot}$ به 0 می رسد. اما اگر TA <TB به معنای انتقال گرما از جسم سرد به جسم گرم باشد ، ΔS کمتر از صفر خواهد بود ، این قانون خلاف است. بنابراین قانون دوم مانع از انتقال طبیعی گرما از جسم سرد به جسم گرم می شود.
توجه داشته باشید که برای $ \Delta S_{tot}=0$ دما باید برابر باشد. اما ما می دانیم که گرما جریان نخواهد داشت مگر اینکه اختلاف دما وجود داشته باشد. بنابراین می بینیم که برای تمام فرایندهای انتقال حرارت واقعی ، چنین فرایندهایی برگشت ناپذیر هستند.همانطور که در بالا گفتم ، برگشت ناپذیری و تولید آنتروپی محدود به فرآیندهای انتقال حرارت نیست. به عنوان مثال ، انبساط آدیاباتیک برگشت ناپذیر منجر به افزایش آنتروپی می شود ، اگرچه انتقال گرما رخ نمی دهد.به عنوان مثال ، انبساط آدیاباتیک آزاد یک گاز ایده آل ، یعنی انبساط ژول است. یک محفظه عایق صلب به دو حجم مساوی تقسیم می شود. در یک طرف پارتیشن یک گاز ایده آل قرار دارد. در طرف دیگر خلا a. سپس شکافی در پارتیشن ایجاد می شود که به گاز اجازه می دهد آزادانه به نیمه تخلیه گسترش یابد. این فرآیند برگشت ناپذیر است زیرا همه بدون انجام کارهای خارجی (فشرده سازی) گاز به نیمه اصلی محفظه بر نمی گردد.در این حالت هیچ انتقال حرارتی بین گاز و محیط اطراف وجود نداشت ، Q = 0 ، و از آنجا که گاز بدون گسترش دیواره های محفظه به یک خلاed منبسط می شود ، گاز کار نمی کند ، W = 0. از قانون اول ، ΔU = Q − W = 0. برای یک گاز ایده آل ، هر فرآیند ، $ \Delta U=C_{v}\Delta T$. بنابراین تغییری در دما ایجاد نمی شود. نتیجه نهایی ، حجم گاز دو برابر می شود ، فشار به نصف می رسد و درجه حرارت همان دما می ماندما می توانیم تغییر در آنتروپی را برای این فرآیند با در نظر گرفتن یک مسیر برگشت پذیر مناسب برای بازگشت سیستم به حالت اولیه تعیین کنیم ، به طوری که تغییر کلی در آنتروپی برای سیستم صفر باشد. انتخاب آشکار یک فرآیند فشرده سازی همدما (دمای ثابت) برگشت پذیر است. کار انجام شده در مورد در فشرده سازی همدما برابر است با گرمای منتقل شده از گاز به اطراف (افزایش آنتروپی آن) و تغییر در انرژی داخلی صفر است. از آنجا که این در دمای ثابت ما رخ می دهد ، برای گاز (سیستم) ،$\Delta S=-\frac{Q}{T} $ از آنجا که ما سیستم را به حالت اولیه خود برگردانده ایم ، تغییر کلی در آنتروپی سیستم صفر است. بنابراین ، تغییر در آنتروپی به دلیل انبساط آزاد باید انجام شود$\Delta S_{exp}=+\frac{Q}{T}$
ما همچنین می توانیم ΔS را با ترکیب قانون اول و تعریف آنتروپی تعیین کنیم.، که در مورد عدم تغییر دما (dT = 0) به ما می دهد ، برای یک مول گاز مناسب ارائه می دهد$\Delta S=Rln\frac{V_{f}}{V_i} $ یک چیزی که به ما می گوید این است که ، در مورد یک گاز ایده آل ، انبساط آدیاباتیک غیر قابل برگشت (رایگان) یک گاز ایده آل منجر به یک فرصت از دست رفته برای کار می شود. در گسترش آدیاباتیک آزاد ، هیچ کاری انجام نشد. اگر با این حال ، این فرآیند یک روند آدیاباتیک برگشت پذیر در برابر فشار خارجی متغیر (روند آنتروپی ثابت) بود ، به گونه ای که$ Pv^k$ = ثابت و$ k=\frac{C_{p}}{C_{v}})$) گاز در محیط کار برابر با$ W=\frac{(P_{f}V_{f}-P_{i}V_{i})}{(1-k)}$ خط پایین: یکی از پیامدهای یک فرآیند انبساط برگشت ناپذیر این است که کار انجام شده کمتر از همان پروسه ای است که به صورت برگشت پذیر انجام می شود ، به دلیل تولید آنتروپی در فرآیند برگشت ناپذیر. فرآیندهای برگشت ناپذیر ، بازده حرارتی سیستم را در انجام کار کاهش می دهند.
در قوانین ترمودینامیک ، آنتروپی به عنوان $dS \equiv \frac{\delta q}{T} $ تعریف شده است. آنتروپی یک تابع حالت است. این بدان معنی است که تفاوت ΔS مستقل از مسیر است. این همچنین بدان معنی است که هر عبارتی برای مشتق آنتروپی dS = f (...) دقیق است. از آنجا که ما همیشه فقط برای تعیین حالت یک سیستم خالص فقط به دو پارامتر نیاز داریم ، نتیجه مشتق شده تابع حالت برای آنتروپی مجموعه ای از عبارات معادل ماکسول است. برای یک گاز ایده آل ، تغییر آنتروپی مولر یک فرآیند در یک سیستم بسته بدون تغییر فاز یا واکنش شیمیایی را می توان با استفاده از یکی از دو عبارت کلی تعیین کرد.$ \Delta \bar{S} = \int \bar{C}_p\ d \ln T - R \ln(p_f/p_i)$و $\Delta \bar{S} = \int \bar{C}_V\ d \ln T + R \ln(V_f/V_i) $برای یک ماده واقعی ، تغییر آنتروپی همان روند شامل یک اصطلاح اضافی ΔEXS¯ خواهد بود. عبارات مربوط به اصطلاح اضافی را می توان از یک معادله مکانیکی حالت ماده واقعی بدست آورد.
شکل قانون ماکسول قانون دوم با استفاده از تغییر کل آنتروپی جهان معیارهای خودانگیختگی را بیان می کند. این را می توان بر اساس تفاوت بین جریان گرما در فرآیندهای برگشت پذیر (جایی که سیستم و محیط اطراف در هر زمان یکسان هستند) و فرآیندهای برگشت ناپذیر (که در آن جریان گرما باید از دستور Clausius قانون دوم پیروی کند که می گوید خود به خود از دمای گرم تا سرد).رهام حسامی مهندسی هوافضا
آخرین ویرایش توسط rohamjpl سه‌شنبه ۱۴۰۰/۱۰/۲۱ - ۱۲:۵۹, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

Bahar8623

نام: Bahar

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۳ - ۰۱:۴۳


پست: 2



Re: سوالی از مکانیک آماری پتریا

پست توسط Bahar8623 »

سلام سوال حل تمرین2و5فصل دو مکانیک آماری پتریا
و تمرین 7فصل 4رو می خوام لطفا پاسخ بدید.

گلناز محمدی.

عضویت : چهارشنبه ۱۴۰۰/۱۰/۱۵ - ۱۵:۳۷


پست: 2



Re: سوالی از مکانیک آماری پتریا

پست توسط گلناز محمدی. »

سلام.دوستان.محبت میکنید این سه سوال مکانیک آماری پیشرفته کمک کنید.
۱-یک گاز ایده آل کلاسیک تک اتمی به دمایT,تعداد ذراتNو حجمV در آنسامبل کانونیک بزرگ در نظر میگیریم. تابع پارش،فشار،میانگین تعداد ذرات،میانگین انرژی آنتروپی سیستم بر حسب فوگاسیته؟

۲_در سطحی با No مرکز جذب Nمولکول گاز جذب شده است با استفاده از تابع پارش بزرگ پتانسیل شیمیایی سیستم را بر حسب تابع پارش یک مولکول جذب شده بدست اوریم.بین مولکول های جذب شده برهم کنش وجود ندارد

۳_ یک نوسانگر هماهنگ یک بعدی را در آنسامبل کانونیک فرض کنید ماتریس چگالی ، چگالی احتمال ، و انرژی میانگین نوسانگر را بدست اوریم و انها را در حد دمای بالا و پایین بررسی کنیم.

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1471

سپاس: 3154

جنسیت:

تماس:

Re: سوالی از مکانیک آماری پتریا

پست توسط rohamjpl »

ماده خالص
فوگاسیتی ارتباط نزدیکی با پتانسیل شیمیایی μ دارد. در یک ماده خالص، μ برابر با انرژی گیبس Gm برای یک مول از ماده است
انرژی گاز ایده آل کلاسیک در مجموعه بزرگ انسامبل
تابع تقسیم متعارف برای یک گاز ایده آل است
$Z(N,V,\beta) = \frac{1}{N!} \left(\frac{V}{\lambda^3}\right)^N$
که در آن $\lambda = \sqrt{\frac{\beta h^2}{2 \pi m}}$ طول موج حرارتی دی بروگل است. به دست آوردن آن ساده است
$\langle E \rangle = -\frac{\partial \log Z}{\partial \beta} = \frac{3}{2} N k_B T .$
از Z تابع پارتیشن grand-canonical است
$Q(\mu,V,\beta) = \sum_{N=0}^\infty \frac{1}{N!} \left(\frac{e^{\beta \mu} V}{\lambda^3}\right)^N = e^{\frac{e^{\beta \mu} V}{\lambda^3}} .$
میانگین عدد ذرات است
$\langle E \rangle = - \frac{\partial \log Q}{\partial \beta} = \frac{3}{2} \langle N \rangle k_B T$
برای بدست آوردن میانگین انرژی که باید انجام دهیم، ⟨N⟩ را جایگزین کنیم،
$\langle E \rangle = - \frac{\partial \log Q}{\partial \beta} = \frac{3}{2} \langle N \rangle k_B T$
اما این تنها در صورتی صادق است که ما به طور جادویی عامل $e^{\beta \mu}$ را هنگام استفاده از مشتق نادیده بگیریم، در غیر این صورت یک اصطلاح اضافی (غیر معنی دار) وجود دارد. من چند منبع را بررسی کرده‌ام و این راه‌حل پذیرفته‌شده است (بالاخره، باید این راه‌حل باشد تا با نتیجه مجموعه متعارف مطابقت داشته باشد)، اگرچه آنها به طرز مرموزی موضوع را پنهان می‌کنند، بنابراین من چیزی را از دست می‌دهم. با تشکر.نکته:من یک خطا در محاسبات خود دارم. به ویژه در گروه بزرگ متعارف،
$\begin{align}
\langle E \rangle \neq -\frac{\partial \log Q}{\partial \beta}.
\end{align}$
علاوه بر این، من فقط با اصلاح این خطا به روش مناسب، کل محاسبات را انجام دادم و آن طور که باید انجام شد.
مرحله 1. تعاریف زیر را از تابع پارتیشن بزرگ متعارف Q به یاد بیاورید
، انرژی متوسط گروه ⟨E⟩ در مجموعه بزرگ متعارف، و عدد متوسط ذرات مجموعه ⟨N⟩ در مجموعه بزرگ متعارف. همه مبالغ بیش از حالت i سیستم هستند:
$\begin{align}
Q \equiv \sum_ie^{-\beta(E_i - \mu N_i)}, \qquad \langle E\rangle \equiv \sum_i \frac{e^{-\beta(E_i - \mu N_i)}}{Q}E_i, \qquad \langle N\rangle \equiv \sum_i \frac{e^{-\beta(E_i - \mu N_i)}}{Q}N_i
\end{align}$
مرحله 2. نشان دهید که هویت زیر از تعاریف مرحله 1 پیروی می کند:
$\begin{align}
\langle E\rangle = -\frac{\partial \ln Q}{\partial \beta} + \mu\langle N\rangle.
\end{align}$
مرحله 3. نشان دهید که اگر ما را
$\begin{align}
Q = V\frac{e^{\beta\mu}}{\lambda^3},
\end{align}$
سپس
$\begin{align}
-\frac{\partial \ln Q}{\partial \beta} = \frac{3}{2}\frac{\langle N\rangle}{\beta} - \mu\langle N\rangle.
\end{align}$
مرحله 4. مراحل 2 و 3 را با هم ترکیب کنید تا به نتیجه دلخواه برسید.
تابع پارش یک سیستم کمیتی است که تمامی ویژگی‌های آماری آن سیستم را در بر دارد. از این رو با داشتن تابع پارش یک سیستم می‌توان تمامی کمیتهای ترمودینامیکی آن سیستم را مانند انرژی آزاد، آنتروپی، فشار و انرژی درونی محاسبه کرد.
${\displaystyle \langle E\rangle =-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}}$یا${\displaystyle \langle E\rangle =k_{B}T^{2}{\frac {\partial \ln Z}{\partial T}}.}$
آنتروپی:${\displaystyle S\equiv {\frac {\partial }{\partial T}}(k_{B}T\ln Z)}$
فشار:${\displaystyle \langle p\rangle ={\frac {1}{\beta }}\left({\frac {\partial \ln({\mathcal {Z}})}{\partial V}}\right)_{\mu ,\beta }.}$
انتروپی $\begin{equation}
\begin{aligned}
S &=-k \sum_{n} a_{n} \ln p_{n} \\
&=-k \sum_{n} a_{n}\left(-\beta \varepsilon_{n}-\ln q\right) \\
&=k \beta \sum_{n} a_{n} \varepsilon_{n}+k \sum_{n} a_{n} \ln q \\
&=k \beta E+k N \ln q \\
&=\frac{E}{T}+k \ln q^{N} \\
S &=\frac{E}{T}+k \ln Q=\frac{U}{T}+k \ln Q
\end{aligned}
\end{equation}$
تابع پارش $\begin{equation}
Q=\sum_{n} e^{-\beta E_{n}}
\end{equation}$
انرژی کل آنسامبل $\begin{equation}
E =N k T^{2}\left(\frac{d \ln q}{d T}\right)
\end{equation}$
با توجه به مجموعه متعارف $p_i\propto \exp(-\beta E_i)$
، تابع پارتیشن را می توان به صورت نوشتاری کرد
$Z=\sum_i \exp(-\beta E_i)
\sim \sum_E\Omega(E) e^{-\beta E}$
که در آن Ω(E) تعداد حالات با انرژی کل است. (من "~" را می نویسم تا مجبور نباشم Ω(E) را با دقت بیشتری تعریف کنم، که احتمالاً در اینجا مفید نخواهد بود.) به طور معمول، Ω(E) تابعی از E است که به سرعت در حال افزایش است، اما به طور نمایی افزایش نمی یابد، بنابراین جمع به شدت در یک مقدار خاص E¯ از E (که معمولاً مقدار متوسط ​​است) به اوج می رسد و ممکن است Z~Ω نیز داشته باشیم. $Z\sim \Omega(\bar E)\exp(-\beta \bar E)$استفاده از این در معادله$S/k_b=\ln(Z)+\beta\bar E$ که در OP نشان داده شد، $S\sim k_b\ln\Omega(\bar E)$ را مطابق با تعریف به دست می دهد. این توافق همانطور که انتظار می رود فقط تقریبی است، زیرا مجموعه متعارف با دمای داده شده تقریباً معادل یک مجموعه میکروکانونیکال با انرژی کل ویژه E¯ است.
برای یک مجموعه متعارف که کلاسیک و گسسته است، تابع پارتیشن متعارف به صورت تعریف شده است.${\displaystyle Z=\sum _{i}\mathrm {e} ^{-\beta E_{i}},}$برای یک گاز ذرات یکسان در سه بعد ${\displaystyle Z={\frac {1}{N!h^{3N}}}\int \,\exp \left(-\beta \sum _{i=1}^{N}H({\textbf {q}}_{i},{\textbf {p}}_{i})\right)\;\mathrm {d} ^{3}q_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}q_{N}\,\mathrm {d} ^{3}p_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}p_{N}}$
میانگین تعداد ذرات در یک سطح انرژی معین در مجموعه کانونیکال
منطقی است که میانگین انرژی سیستم را از طریق این توزیع احتمال محاسبه کنیم:
$\left<E\right> = \sum_R P_R E_R = \frac{\sum_R E_R e^{-\beta E_R}}{Z} = -\frac{\partial}{\partial \beta} \log(Z)$
حرف زدن در مورد ⟨ER⟩ منطقی نیست
، با این حال. برای هر ریز حالت R، ER
یک عدد ثابت استتعداد مورد انتظار ذرات در سطح انرژی i
را می توان دقیقاً به همین روش محاسبه کرد. ما در حال میانگین گیری از همه ریز حالت های ممکن هستیم که با احتمال سکونت آن ریز حالت توسط سیستم وزن می شود:
$\left<n_i\right> = \sum_R P_R n_{i,R}$
گسترش بیشتر این،
$\left<n_i\right> = \frac{1}{Z}\sum_R \exp\left[-\beta \sum_j n_{j,R} \epsilon _j\right]n_{i,R}= \frac{1}{Z}\sum_R -\frac{1}{\beta}\frac{\partial}{\partial \epsilon_i}\exp\left[-\beta\sum_j n_{j,R} \epsilon_j\right]$
درجات آزادی انرژی مولکولی
رابطه زیر را در نظر بگیرید که رابطه بین تابع پارش مولکولی کل را به توابع پارش متناظر با درجه آزادی انرژی به صورت مجزا مرتبط می‌کند. در این رابطه، زیروندهای T و R و V و E به ترتیب به درجه آزادی انرژی انتقالی، دورانی، ارتعاشی و الکترونی اشاره دارند.
رابطه :
$\begin{equation}
q_{\text {Total}}=q_{T} q_{R} q_{V} q_{E}
\end{equation}$
به این ترتیب می‌توان از رابطه بالا استفاده کرد تا به رابطه‌ای برای انرژی درونی برسیم.
رابطه۲۰:$\begin{equation}
\begin{aligned}
U &=-\left(\frac{\partial \ln Q}{\partial \beta}\right)_{V}=-N\left(\frac{\partial \ln q}{\partial \beta}\right)_{V} \\
&=-N\left(\frac{\partial \ln \left(q_{T} q_{R} q_{V} q_{E}\right)}{\partial \beta}\right)_{V} \\
&=-N\left(\frac{\partial}{\partial \beta}\left(\ln q_{T}+\ln q_{R}+\ln q_{V}+\ln q_{E}\right)\right)_{V} \\
&=-N\left[\left(\frac{\partial \ln q_{T}}{\partial \beta}\right)_{V}+\left(\frac{\partial \ln q_{R}}{\partial \beta}\right)_{V}+\left(\frac{\partial \ln q_{V}}{\partial \beta}\right)_{V}+\left(\frac{\partial \ln q_{E}}{\partial \beta}\right)_{V}\right] \\
&=U_{T}+U_{R}+U_{V}+U_{E}
\end{aligned}
\end{equation}$
به این معنی که انرژی درونی کل برابر با مجموع موارد دخیل هر یک از درجات آزادی انرژی مولکولی است. .انتقال
سهم انرژی درونی سیستم از حرکت انتقالی را به صورت زیر نشان می‌دهیم:
$\begin{equation}
U_{T}=\frac{-N}{q_{T}}\left(\frac{\partial q_{T}}{\partial \beta}\right)_{V}
\end{equation}$
رابطه :در رابطه بالا، $q_T$
تابع پارش انتقالی است
رابطه :$\begin{equation}
q_{T}=\frac{V}{\Lambda^{3}} \\ \Lambda^{3}=\left(\frac{h^{2} \beta}{2 \pi m}\right)^{3 / 2}
\end{equation} $
به کمک این تابع پارش، سهم انرژی درونی از انتقال به صورت زیر خواهد بود:
رابطه ۲:$\begin{aligned}
U_{T} &=\frac{-N}{q_{T}}\left(\frac{\partial q_{T}}{\partial \beta}\right)_{V}=\frac{-N \Lambda^{3}}{V}\left(\frac{\partial}{\partial \beta} \frac{V}{\Lambda^{3}}\right)_{V} \\
&=-N \Lambda^{3}\left(\frac{\partial}{\partial \beta} \frac{1}{\Lambda^{3}}\right)_{V} \\
&=-N \Lambda^{3}\left(\frac{\partial}{\partial \beta}\left(\frac{2 \pi m}{h^{2} \beta}\right)^{3 / 2}\right)_{V} \\
&=-N \Lambda^{3}\left(\frac{2 \pi m}{h^{2}}\right)^{3 / 2}\left(\frac{\partial}{\partial \beta} \beta^{-3 / 2}\right)_{V} \\
&=-N \Lambda^{3}\left(\frac{2 \pi m}{h^{2}}\right)^{3 / 2} \frac{-3}{2} \beta^{-5 / 2}
=\frac{3}{2} N \beta^{-1} \Rightarrow U_{T}=\frac{3}{2} N k T=\frac{3}{2} n R T \end{aligned}$
دوران
به کمک فرضیات مربوط به یک روتور، تابع پارش برای مولکول دو‌اتمی در حد دمای بالا با رابطه زیر بدست می‌آید:‌

رابطه :$\begin{equation}
q_{R}=\frac{1}{\sigma \beta h c B}
\end{equation}$
به کمک این تابع پارش، سهم انرژی درونی از حرکت دورانی به صورت زیر محاسبه خواهد شد:
رابطه :$\begin{equation}
\begin{aligned}
U_{R}=\frac{-N}{q_{R}}\left(\frac{\partial q_{R}}{\partial \beta}\right)_{V} &=-N \sigma \beta h c B\left(\frac{\partial}{\partial \beta} \frac{1}{\sigma \beta h c B}\right)_{V} \\
&=-N \beta\left(\frac{\partial}{\partial \beta} \beta^{-1}\right)_{V} \\
&=-N \beta\left(-\beta^{-2}\right) \\
&=N \beta^{-1} \\
U_{R} &=N k T=n R T
\end{aligned}
\end{equation}$
ارتعاش به کمک مدل نوسانگر هارمونیک، رابطه مربوط به تابع پارش دورانی به صورت زیر خواهد بود:
رابطه :$\begin{equation}
q_{V}=\left(1-e^{-\beta h c \bar{\nu}}\right)^{-1}
\end{equation}$
عبارت ν
نشان‌دهنده فرکانس ارتعاش است. به کمک این تابع پارش، سهم ارتعاش از انرژی متوسط را به صورت زیر بدست می‌آوریم.
رابطه :
$\begin{equation}
\begin{aligned}
U_{V} &=\frac{-N}{q_{V}}\left(\frac{\partial q_{V}}{\partial \beta}\right)_{V}=-N\left(1-e^{-\beta h c \tilde{\nu}}\right)\left(\frac{\partial}{\partial \beta}\left(1-e^{-\beta h c \tilde{\nu}}\right)^{-1}\right)_{V} \\
&=-N\left(1-e^{-\beta h c \tilde{\nu}}\right)\left(-h c \tilde{\nu} e^{-\beta h c \tilde{\nu}}\right)\left(1-e^{-\beta h c \tilde{\nu}}\right)^{-2} \\
&=\frac{N h c \widetilde{\nu} e^{-\beta h c \bar{\nu}}}{\left(1-e^{-\beta h c \tilde{\nu}}\right)} \\
U_{V} &=\frac{N h c \widetilde{\nu}}{e^{\beta h c \tilde{\nu}}-1}
\end{aligned}
\end{equation}$
در انتها، با باز کردن رابطه بالا و در نهایت ساده کردن آن خواهیم داشت:
رابطه :$\begin{equation}
\begin{aligned}
U_{V}=\frac{N h c \tilde{\nu}}{e^{\beta h c \nu-1}} &=\frac{N h c \tilde{\nu}}{(1+\beta h c \tilde{\nu})-1} \\
&=\frac{N}{\beta} \\
U_{V} &=N k T=n R T
\end{aligned}
\end{equation}$
الکترونی
در خصوص سطوح انرژی الکترونی، رابطه زیر برقرار است.
رابطه :$U_E = 0$
برای سیستمی که سطوح انرژی الکترونی، قابل قیاس با kT هستند، رابطه بالا صدق نمی‌کند و باید تابع پارش کامل محاسبه شود.
رابطه:
$\begin{equation}
\begin{aligned}
U_{\text {Total}} &=U_{T}+U_{R}+U_{V}+U_{E} \\
&=\frac{3}{2} N k T+N k T+\frac{N h c \tilde{\nu}}{e^{\beta h c \tilde{\nu}}-1}+0 \\
&=\frac{5}{2} N k T+\frac{N h c \tilde{\nu}}{e^{\beta h c \tilde{\nu}}-1}
\end{aligned}
\end{equation}$
ظرفیت حرارتی
در بررسی ظرفیت حرارتی در ترمودینامیک آماری باید به تعریف ترمودینامیکی ظرفیت حرارتی در حجم ثابت اشاره کنیم:
رابطه :
$\begin{equation}
C_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=-k \beta^{2}\left(\frac{\partial U}{\partial \beta}\right)_{V}
\end{equation}$
طرفیت حرارتی را نیز مانند انرژی درونی می‌توان به سهم‌های مختلف تقسیم کرد. ظرفیت حرارتی به کمک مشتق انرژی درونی نسبت به دما برای درجه آزادی انرژی مشخصی بدست می‌آید. شکل تابعی ظرفیت حرارتی قدری پیچیده است .ترمودینامیک آماری در پایین‌ترین دما، $C_V$ برابر با صفر است و بعد از افزایش دما، به یک مقدار ماکزیمم می‌رسد که بعد از این مقدار، افزایش دما سبب کاهش ظرفیت حرارتی خواهد شد.
اهمیت فیزیکی پتانسیل شیمیایی و فوگاسیته
مشکل من این است که بر خلاف سایر خواص ترمودینامیکی که می توانم از نظر فیزیکی مانند حجم، فشار، آنتالپی و غیره آن ها را درک کنم، آیا این دو کمیت اهمیت فیزیکی دارند یا این که ما فوگاسیته (بدون هیچ معنای فیزیکی) را فقط برای اطمینان از معادله تعریف می کنیم.
$\mu - \mu_0 = RT\ln\frac{p}{p_0}$
برای گازهای واقعی یکسان به نظر می رسد؟ اگر بله، پس انگیزه نام «fugacity» به معنای واقعی کلمه «گریز از گرایش» چیست؟
به طور مشابه، آیا پتانسیل شیمیایی را به‌طور تصادفی تعریف می‌کنیم، زیرا در محاسبات مختلف زمانی که ترکیب متفاوت است بسیار مفید است یا اینکه دارای اهمیت فیزیکی است؟انرژی داخلی یک سیستم بسته $dU=TdS-PdV$ است. در یک سیستم ایزوله dU=0,dV=0 که به این معنی است که dS=0، با این حال، آنتروپی می تواند به دلیل واکنش شیمیایی یا اختلاط انتشار مواد مختلف که در ابتدا جدا بودند افزایش یابد. به طور مشابه dG=-SdT+VdP و اگر T و P ثابت نگه داشته شوند، این بدان معنا نیست که G نمی تواند تغییر کند زیرا این یک کمیت گسترده است و بنابراین به مقدار ماده بستگی دارد. به عنوان مثال در یک سلول گالوانیکی اگر مواد بیشتری وجود داشته باشد، می توان کار مفیدتری انجام داد، به عنوان مثال. افزودن سولفات مس به سلول دانیل، به طوری که G باید افزایش یابد. این بدان معناست که در یک سیستم شیمیایی می توان کار را انجام داد، یعنی بلند کردن وزنه و غیره، بدون اینکه هیچ تغییری در حجم بین حالت اولیه و نهایی، یعنی کاری غیر از PV انجام شود.
کارمشکلات با dU=TdS-PdV$$
و $dG=−SdT+VdP$ به این دلیل است که مقدار مواد موجود را نادیده می گیریم. این انرژی را با مقدار $\sum_i \mu_idn_i$ تغییر می دهد که در آن μ پتانسیل شیمیایی است. در انرژی شیمیایی، dn مقدار و μ پتانسیل است، بنابراین انرژی μdn است
برای هر گونهدر یک فاز همگن حاوی چندین ماده مختلف با n1,n2..
مول گونه های 1،2... دیفرانسیل کل U بر حسب S،T و $n_1,n-2..$..
است $\displaystyle dU=TdS-PdV +\sum\mu_idn_i,\qquad \mu_i \equiv \left(\frac{\partial U}{\partial n_i} \right)_{S,V,n_j}$
جایی که زیرنویس jهمه گونه های دیگر به جز i ​​را نشان می دهد
ثابت هستند. به طور مشابه برای انرژی گیبس
$\displaystyle dG=-SdT+VdP+\sum\mu_idn_i,\qquad \mu_i \equiv \left(\frac{\partial G}{\partial n_i} \right)_{T,P,n_j}$
و این آخرین تعریف برچسب کوتاه پتانسیل شیمیایی را به عنوان انرژی / مول گیبس یا به طور صحیح تر گرادیان انرژی / مول گیبس برای یک گونه معین ارائه می دهد.
با تغییر برگشت پذیر در یک سیستم بسته با استفاده از$dU=TdS-PdV +\sum\mu_idn_i$
گرمای جذب شده توسط سیستم TdS است، بنابراین شرایط باقی مانده نشان دهنده کل کار انجام شده است. بنابراین $\sum\mu_idn_i$شکلی از کار/انرژی در غیاب تغییر در حجم است.
فوگاسیته به عنوان یک نماینده برای فشار استفاده می شود، به عنوان مثال زمانی که یک گاز ناقص مطالعه می شود. به صورت $\mu = \mu^\text{o} +RT\ln(f),\quad f/P\to 1 ; P\to 0$ تعریف می شود
به طوری که در صورت رعایت قانون گاز ایده آل، فوگاسیته برابر با فشار است.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
آخرین ویرایش توسط rohamjpl سه‌شنبه ۱۴۰۰/۱۰/۲۱ - ۱۳:۰۶, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

گلناز محمدی.

عضویت : چهارشنبه ۱۴۰۰/۱۰/۱۵ - ۱۵:۳۷


پست: 2



Re: سوالی از مکانیک آماری پتریا

پست توسط گلناز محمدی. »

سلام ممنونم

ارسال پست