پتانسیل برداری یک دیسک چرخان در فاصله z از مرکز

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
looklook

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۸۹/۱۲/۱۰ - ۱۲:۲۴


پست: 45

سپاس: 41

پتانسیل برداری یک دیسک چرخان در فاصله z از مرکز

پست توسط looklook »

پتانسیل برداری یک دیسک چرخان در فاصله z از مرکز آنرا می خواهیم به دست بیاوریم
دوستانی که در مورد شیوه های حل اطلاع دارند کمک نمایند
رياضيات براي فيزيك راهكار نيست بلكه راهنماست .

امید سیدیان

عضویت : پنج‌شنبه ۱۳۹۱/۴/۱۵ - ۲۰:۲۷


پست: 495

سپاس: 565

Re: درخواست کمک

پست توسط امید سیدیان »

سلام و درود؛

ابتدا بگذارید کمی درباره ی پتانسیل برداری بگم، تا کسایی که نمی دونن، آشنا بشن:
از الکترومغناطیس، برای میدان مغناطیسی [tex]\vec{B}[/tex] داریم:

[tex]\nabla\cdot\vec{B}=0[/tex]


بنابراین، می شه [tex]\vec{B}[/tex] رو همانند یک [tex]\vec{A}[/tex] ای نوشت که:

[tex]\vec{B}=\nabla\times\vec{A}[/tex]


این برای اینه که دیورژانسِ یک کرل همیشه صفر هست.
اما داریم:

[tex]\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}[/tex]


بنابراین:

[tex]\nabla\times\vec{B}=\nabla\times\nabla\times\vec{A}[/tex]


که از اتحادی داریم:

[tex]\nabla\times\nabla\times\vec{A}=\nabla(\nabla\cdot\vec{A})-{\nabla}^{2}\vec{A}[/tex]


پس:

[tex]\nabla(\nabla\cdot\vec{A})-{\nabla}^{2}\vec{A}=\mu_0\vec{J}[/tex]


برای سادگی، قرارداد می کنیم که دیورژانس [tex]\vec{A}[/tex] همیشه باشه صفر:

[tex]\nabla\cdot\vec{A}=0~~~~~\to~~~~~-{\nabla}^{2}\vec{A}=\mu_0\vec{J}[/tex]


پس در کل این معادله رو داریم:

[tex]{\nabla}^{2}\vec{A}=-\mu_0\vec{J}[/tex]


این معادله ی پواسون هست و بسیار شبیه به قانون اول الکترومغناطیس، یا همون قانون گاوس هست.
پاسخ این معادله هست:

[tex]\vec{A}(\vec{r}_2)=\int_V\frac{\vec{J}(\vec{r}_1)}{||\vec{r}_2-\vec{r}_1||}dv_1[/tex]


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

اما:
looklook نوشته شده:پتانسیل برداری یک دیسک چرخان در فاصله z از مرکز آنرا می خواهیم به دست بیاوریم
دوستانی که در مورد شیوه های حل اطلاع دارند کمک نمایند

در مساله ی شما چگالی جریان، سطحی هست،
پس شما باید از رابطه ی زیر استفاده کنید:

[tex]\vec{A}(\vec{r}_2)=\int_S\frac{\vec{\sigma}(\vec{r}_1)}{||\vec{r}_2-\vec{r}_1||}da_1[/tex]
یک روز پادشاهی بهتر از چهل سال بندگی است

looklook

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۸۹/۱۲/۱۰ - ۱۲:۲۴


پست: 45

سپاس: 41

Re: پتانسیل برداری یک دیسک چرخان در فاصله z از مرکز

پست توسط looklook »

ممنون از مشارکت گسترده دوستان . !!!!!!!!!!!! smile001 smile001
این سوال یک نکته ای دارد که بسیار مهم است . با پیدا کردن پتانسیل برداری مغناطیسی یک دیسک چرخان بر روی محور z می بینیم که صفر می شود !!!! پس قاعدتا کرل یک عدد صفر هم صفر است . اما با این وجود می بینیم که میدان مغناطیسی وجود دارد !!!!!!!!!! smile048 چطور می شود این را توضیح داد که پتانسیل برداری صفر است اما میدان مغناطیسی وجود دارد؟؟؟؟؟؟؟ smile033
رياضيات براي فيزيك راهكار نيست بلكه راهنماست .

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2119

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

Re: پتانسیل برداری یک دیسک چرخان در فاصله z از مرکز

پست توسط rohamjpl »

از اونچه من تو فیزیک 2حوندم این یادمه و در ضمن سوال از گذشته هست اما جوابش در مورد علت صفر شدن تانسیل برداری جوابی ندادن خوب منم اونچه میدونستم و اونچه نمیدونستم پرسیدم /
منظورت این هست یک دیسک عایق، با چگالی بار سطحی یکنواخت σ، به شعاع R روی صفحه x،y گذاشته شده است. پتانسیل الکتریکی V(z) را در امتداد محور z استنباط کنید
من میدونم $dV = \frac{1}{4 \pi \epsilon_o} \frac{dq}{ \mathscr{R}}$و $dq = \sigma dA = \sigma 2 \pi r dr$
ببین $dq=(2pix dx)sigma$
$\vec{B}=\frac{\mu_0\sigma\omega}{2}\left(\frac{|R^2+2z^2|}{\sqrt{R^2+z^2}} -2z\right)\hat{z}$
$\Delta V(z) = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o}\int_0^R \frac{ r dr}{\sqrt{r^2 + z^2}} = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o} \left( \sqrt{R^2 + z^2} - |z| \right)$
پس میشه گفت $dV = \frac{ \sigma}{2 \epsilon_o} \frac{r dr}{ \mathscr{R}}$چون $\mathscr{R} = \sqrt{r^2 + z^2}$
دیسکی با شعاع R را در نظر بگیرید که با سرعت زاویه ای ω و با چگالی بار سطحی σ می چرخد. من نشان دادم که میدان مغناطیسی تابعی از فاصله در امتداد محور آن (z) است$\vec{B}=\frac{\mu_0\sigma\omega}{2}\frac{(|z| - \sqrt{R^2+z^2})}{\sqrt{R^2+z^2}}\hat{z}.$
سپس از من خواسته می شود که نتیجه را برای$ |z|≫R $ارزیابی کنم و از آن برای محاسبه گشتاور مغناطیسی دیسک چرخان استفاده کنم. من فکر می کردم که برای $|z|≫R$ میدان مغناطیسی تبدیل می شود
$\vec{B}=\frac{\mu_0\sigma\omega}{2}\frac{(|z| - \sqrt{R^2+z^2})}{\sqrt{R^2+z^2}}\hat{z}=\vec{B}=\frac{\mu_0\sigma\omega}{2}\frac{(|z| - \sqrt{z^2})}{\sqrt{z^2}}\hat{z}=\vec{0}$
بیایید نگاهی بیندازیم به
بیایید نگاهی بیندازیم به
$\vec{B}=\frac{\mu_0\sigma\omega}{2}\frac{(|z| - \sqrt{R^2+z^2})}{\sqrt{R^2+z^2}}\hat{z}$.
ما می توانیم این را ساده کنیم
$\vec{B}=\frac{\mu_0\sigma\omega}{2}\left(\frac{|z|}{\sqrt{R^2+z^2}} -\frac{\sqrt{R^2+z^2})}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\hat{z}\\
\vec{B}=\frac{\mu_0\sigma\omega}{2}\left(\frac{|z|}{\sqrt{R^2+z^2}} -1\right)\hat{z}$اکنون احتمالاً می توانید به راحتی خود را متقاعد کنید که$R^2+z^2 \sim z^2$
اگر$ z≫R $باشد، اما چیزی که واقعاً به آن نیاز دارید این است$\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}}$
برای اولین شرایط داخل پرانتز ظرافت در اینجا این است که، همانطور که البته می دانیم، عملکردها
$f(z) = z^2 + R^2 = z^2\left(1+\left(\frac{R}{z}\right)^2\right)$و
$g(z) = \frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}} = \frac{1}{z\sqrt{1+(\frac{R}{z})^2}}$عملکرد یکسانی ندارند. این بسیار مهم است زیرا اگر بخواهیم مقادیر آنها را نزدیک به $\frac{R}{z} \sim 0$ تقریبی کنیم، آنگاه بسط های کاملاً متفاوتی دارند. به طور خلاصه، هنگامی که مشکلات از شما می‌خواهند زمانی که یک کمیت معین «کوچک» است، برخی از عبارت‌ها را تقریبی کنید، اولین کاری که باید انجام دهید این است که تیلور هر تابعی از آن کمیت را که در راه‌حل‌های شما ظاهر می‌شود در مورد کمیت داده شده بسیار نزدیک به آن بسط دهید. صفر یا خیلی کوچک هست
چگال سطحی هم اینه رابطه اون
$\vec{A}(\vec{r}_2)=\int_S\frac{\vec{\sigma}(\vec{r}_1)}{||\vec{r}_2-\vec{r}_1||}da_1
$منم معادله پواسون دادم میدان پتانسیلی حاصل از یک بار یا چگالی جرم مشخصی ظاهر می‌شود
$vec{A}(\vec{r}_2)=\int_V\frac{\vec{J}(\vec{r}_1)}{||\vec{r}_2-\vec{r}_1||}dv_1$
.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:
آخرین ویرایش توسط rohamjpl پنج‌شنبه ۱۴۰۱/۵/۲۷ - ۰۷:۳۲, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2119

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

Re: پتانسیل برداری یک دیسک چرخان در فاصله z از مرکز

پست توسط rohamjpl »

در محاسبات برداری پتانسیل برداری یک میدان برداریه که حلقه آن یک میدان برداری معینه این مشابه یک پتانسیل اسکالره که یک میدان اسکالره که گرادیان آن یک میدان برداری معینه (.میدان برداری غیرگردشی (میدانی که کرل آن برابر صفر است) را می توان به صورت گرادیان یک میدان اسکالر نوشت. این از آنجا ناشی می شود که کرل گرادیان یک میدان اسکالر برابر صفر است. این میدان اسکالر همان پتانسیل اسکالر مورد نظر است.پتانسیل برداری میدان برداری سلونوئیدی (میدانی که دیورژانس آن برابر صفر است) را می توان به صورت کرل یک میدان برداری بیان کرد. این از آنجا ناشی میشه که دیورژانس کرل یک میدان برداری برابر صفر است. این میدان برداری همان پتانسیل برداری مورد نظر است.)حالا پتانسیل بردار مغناطیسی (که اغلب A نامیده می شود) کمیت برداری است که به گونه ای تعریف می شود که پیچش آن برابر با میدان مغناطیسی باشد: . همراه با پتانسیل الکتریکی φ، از پتانسیل بردار مغناطیسی می توان برای تعیین میدان الکتریکی E نیز استفاده کرد.چرا واگرایی پتانسیل مغناطیسی صفر است؟
پاسخ: عدم وجود تک قطبی در مغناطیس، یعنی اینکه قطب های آهنربا را نمی توان از هم جدا کرد، منجر به اغتشاش می شود. Div B = 0. این معادله به این معنی است که بردار میدان القایی مغناطیسی B جریان خالص به بیرون وجود ندارد
بهات میگم چگالی شار مغناطیسی یا B یک بردار بدون دیورژانس است.$\nabla .B = 0$ پس میشه پتانسیل برداری رو اینطور گفت از معادله پواسون $A = \frac{\mu_0}{4 \pi}\int_{V’}\frac{J}{R}dv’ \, \, \, \, \, \, (Wb/m)$
واگرایی پتانسیل بردار مغناطیسی صفر است با توجه به پتانسیل
$\vec{A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{V}^{\prime} \frac{\vec{J}\left(r^{\prime}\right)}{R} d v^{\prime}$
که در آن $\vec{J}$ بردار چگالی جریان ثابت است. من می خواهم نشان دهم که $\vec{\nabla} \cdot \vec{A}= 0$. من قبلاً این کار را با قطعات ادغام کردم، اما نویسنده راه حل زیر را ارائه داد که نمی توانم آن را دنبال کنم:$\require{cancel}
\begin{aligned}
\vec{\nabla} \cdot \vec{A} &=\vec{\nabla} \cdot\left[\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{V}^{\prime} \frac{\vec{J}\left(r^{\prime}\right)}{R} d v^{\prime}\right] \\
&=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{V}^{\prime} \vec{\nabla} \cdot\left(\frac{\vec{J}\left(r^{\prime}\right)}{R}\right) d v^{\prime} \\
&=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{v}^{\prime} \vec{J} \cdot\left[\vec{\nabla}\left(\frac{1}{R}\right)\right]+\frac{1}{R}\cancelto{0}{(\vec{\nabla} \cdot \vec{J})} d v \\
&=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int_{V}^{\prime} \cancelto{0}{\vec{J}\left(r^{\prime}\right) \cdot \vec{r}} d v \\
\vec{\nabla}\cdot \vec{A} &=0
\end{aligned}$
خط 4 من را گیج می کند. چرا $\cancelto{0}{\vec{J}\left(r^{\prime}\right) \cdot \vec{r}}$داریم؟ مانند این است که نویسنده می گوید بردار جریان چگالی همیشه متعامد با بردار موقعیت است که لزوماً درست نیست. من مطمئن نیستم که آیا این عبارت صفر است زیرا یک دلیل ریاضی است یا یک دلیل فیزیکی.
همچنین، من فکر می کنم یک عبارت گم شده (-1R2) در انتگرال خط 4 وجود دارد.
از آنجایی که J(r') تابعی از r نیست که واگرایی به آن اشاره دارد، آیا می‌توانیم از این قانون برای$\nabla \cdot (\phi \vec{V})$ (واگرایی یک اسکالر و بردار) استفاده کنیم و اگر بتوانیم، من نیز استفاده می‌کنم. می خواهم به این نکته اشاره کنم که $\nabla \cdot \vec{J}$صفر نیست زیرا قانون آمپر آن را ایجاب می کند. اما صفر است زیرا تابعی از r نیست –
. من فکر می کنم آنها ممکن است از یک نتیجه قبلی استفاده کنند که نشان می داد J⋅R صفر است اگر J بدون واگرایی باشد.
، فکر می کنم به صورت بسیار واضح تر نوشته شود$\vec{A}(r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int d^3\vec{r'} \frac{\vec{J}(r')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}$می رسیم.سپس به پایان
$\nabla \cdot \vec{A}(r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int d^3\vec{r'} \nabla_r \cdot \left(\frac{\vec{J}(r')}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\right)$
$= \frac{\mu_0}{4\pi} \int d^3\vec{r'} \vec{J}(r') \cdot \nabla_r\left(\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\right)$
خط آخر به دنبال ثابت بودن J در r است. حالا نکته غیر ضروری این است

$\nabla_r\left(\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\right) = -\nabla_{r'}\left(\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r}'|}\right)$
این به شما این امکان را می‌دهد که از ادغام قطعات، همراه با $\nabla \cdot \vec{J} = 0$ (یعنی شرایط مغناطیس استاتیک، معادل شرطی که بار در جایی انباشته نمی‌شود) برای اثبات نتیجه استفاده کنید.

توجه داشته باشید که این نیاز را می توان کاهش داد، اما پاسخ بر حسب پتانسیل الکتریکی ϕ می آید.
$\nabla \cdot A = -\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \phi}{\partial t} \Leftrightarrow \frac{\partial (\phi/c)}{\partial (ct)} + \nabla \cdot A = 0$
ناتوانی در درک اینکه چرا یک دیسک چرخان در یک میدان مغناطیسی یکنواخت یک اختلاف پتانسیل ایجاد می کند
فرض کنید یک دیسک رسانا به شعاع R داریم که حول محور خود می چرخد ​​و سرعت دورانی آن ω است. اگر اطراف دیسک یک میدان مغناطیسی ثابت موازی با بردار معمولی آن باشد، یک ولتاژ غیر صفر بین مرکز و مرز دیسک ظاهر می شود.

من نمی دانم چگونه این امکان پذیر است: با توجه به اینکه $\mathcal{E}=-\frac d {dt}\iint_{\Sigma} B\cdot dS$، و از آنجایی که (گرفتن Σ= دیسک چرخان)$\frac d {dt}\iint_{\Sigma} B\cdot dS=\frac d{dt}(\|B\|\ A) = 0$
جایی که $A=\pi R^2$ مساحت دیسک است. باید $\mathcal E = 0$ (که همان $V_{\text {border}}-V_{\text {center}}$ است، درست است؟ و بنابراین V=0 است.
من معتقدم که پاسخ باید $V= \|B\| \ A\ f$ باشد، با $f=\frac \omega {2\pi}$، اما نمی‌دانم این از کجا می‌آید، یا چرا کاری که من انجام دادم پاسخ نادرستی می‌دهد.
همچنین، آیا کسی می تواند تفاوت بین E، EMF القایی و V را در این انجمن هوپا فیزیک بگه به نظر میرسه همیشه یک چیز هستند
در اثر نیروی لورنتس، الکترون‌هایی که در فاصله r از مرکز با سرعت مماسی$ v=r\omega$ (در اثر چرخش دیسک) حرکت می‌کنند، نیروی شعاعی را متحمل می‌شوند (برای دیدن آن، حاصل ضرب برداری را انجام دهید)$F_L=er\omega B$
جایی که B میدان و e بار الکترون است.
این منجر به حرکت الکترون ها به سمت پیرامون می شود و یک ناپیوستگی بار ایجاد می کند (همچنین به دلیل اینکه هسته های خود را پشت سر می گذارند) که یک میدان الکتریکی شعاعی ایجاد می کند (شعاعی است زیرا به دلیل گرادیان بار شعاعی است) $E(r)={dV\over dr}$و بنابراین یک ولتاژ V(r). این واقعیت که $E(r)={dV\over dr}$ به دلیل تقارن مسئله است: تمام اجزای دیگر گرادیان ناپدید می شوند زیرا میدان فقط در مولفه شعاعی تغییر می کند.
در حالت پایدار، نیروهای الکتریکی $F_E=eE=e{dV\over dr}$ و لورنتس خنثی می‌شوند، زیرا هیچ چیز نباید در حالت تعادل حرکت کند.بنابراین$er\omega B=e{dV\over dr}$
و این معادله ای برای ولتاژ به ما می دهد که وقتی یکپارچه می شود منجر به:
$V(r)=B\omega {r^2 \over 2}$با توجه به مرکز دیسک که در آن V=0 است.
ولتاژ بین لبه دیسک است $V (R)=B\omega { R^2 \over 2}$
که همان فرمولی است که گفتم.
توجه کنید که در این پاسخ از نیروی گریز از مرکز $F_C=m_e\omega^2 r$که بر روی الکترون‌ها تأثیر می‌گذارد غفلت کرده‌ام. می‌توانیم آن را اضافه کنیم تا نشان دهیم که اثر، این واقعیت که یک ولتاژ ایجاد می‌شود، یک اثر صرفاً مغناطیسی نیست.
یک بار دیگر ترفند این است که در حالت ثابت هیچ چیز حرکت نمی کند، بنابراین کل نیرو باید صفر باشد. یعنی:
$e{dV\over dr} =er\omega B+m_e\omega^2 r$
و یا به جای ${dV\over dr} =\left(B+{m_e\over e}\omega\right)\omega r$
که در صورت ادغام منجر به$V(r)=\left(B+{m_e\over e}\omega\right)\omega {r^2\over 2}$
بنابراین حتی اگر B=0 باشد، باز هم یک ولتاژ $V(R)={m_e\over e}\omega^2{R^2\over 2}$ در سراسر دیسک دریافت می کنیم.
با این حال توجه داشته باشید که این اثر مانند یک ${m_e\over e}\sim 10^{-11}$ کوچک است (که در اصل از این دستگاه قابل اندازه گیری است).
من فکر می کنم فرمولی که شما استفاده می کنید $\mathcal{E}=-d\Phi/dt$ است که در آن Φ شار مغناطیسی از طریق حلقه رسانای شما یا در مورد شما، ماده رسانا است می توان گفت که دیسک همیشه در یک میدان مغناطیسی قرار دارد، بنابراین شار عبوری از آن بدون تغییر است. در این صورت emf حرکتی واقعاً صفر است. نیرو باید از جای دیگری وارد شود - نه قانون القاء فارادی.
بخشی از الکترومغناطیس که این پدیده را توضیح می دهد، نیروی لورنتس است. باری که با سرعت v در میدان مغناطیسی B حرکت می کند توسط نیرویی برابر با v×B در واحد بار وارد می شود. از زمان تنظیم، v همیشه مماس بر دیسک و قدر ωr است، در حالی که B همیشه عمودی است، بنابراین نیرو همیشه شعاعی خواهد بود. دیسک رسانا دارای هسته‌هایی با بار مثبت است که در شبکه گیر کرده‌اند، اما الکترون‌های تحت تأثیر نیرو حرکت می‌کنند و جریانی را القا می‌کنند (مانند دینام‌های همقطبی)، یا با ولتاژی بین شعاع‌های مختلف دیسک «انباشته می‌شوند».در جایی که نیروی لورنتس توسط میدان الکتریکی متعادل می شود، به سرعت به حالت پایدار می رسد، که به ما امکان می دهد ولتاژ بین مرکز و یک نقطه شعاع R (از جمله لبه) را محاسبه کنیم.
$V(R) = -\int_0^R E \cdot dl = \int_0^R B\omega r\ dr = B\omega R^2/2$
نکته رابطه $\mathbf{E} = -\nabla V$ فقط در غیاب پتانسیل برداری برقرار است، در غیر این صورت میدان الکتریکی به تغییر می‌یابد
$\mathbf{E} = -\nabla V-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}.$
دلیل این امر این است که وقتی پتانسیل برداری را با $\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$ معرفی می کنید، قانون فارادی می خواند.$\nabla\times\mathbf{A}+\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{A}) =
\nabla\times\left(\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right) = 0.$
.این را می توان به طور کلی با قرار دادن براکت برابر با گرادیان یک تابع اسکالر $-\nabla V$ که نتیجه میدان الکتریکی را بر حسب پتانسیل های اسکالر و بردار ارائه شده در بالا حل می کند.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
smile260 smile016 :?:
تصویر

ارسال پست