معادلات ناویه استوکس
ارسال شده: سهشنبه ۱۳۹۹/۱۰/۲۳ - ۰۷:۵۱
مفهوم: معادلات ناویر استوکس، پایه و اساس روابط مربوط به حرکت سیالات هستش . حالا میپردازم به نحوه معادلات ریاضی اون
$\rho \dfrac{D u}{Dt} = \rho g_x - \dfrac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2 u $جایی که μ ویسکوزیته مایع است. من در حال اثبات که از مراحل زیر استفاده می کنم
ابتدا فرمول زیر بر اساس نمودار جسم آزاد در زیر بیان شده است: (من فقط معادلات مربوطدر مرحله دوم ، متغیرهای تنش طبیعی و تنش برشی در معادله قبلی مربوط به سرعت و گرانروی سیال است. به مولفه x سرعت ، یعنی u را می نویسم$ \rho \dfrac{D u}{Dt} = \rho g_x + \dfrac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \dfrac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \dfrac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}$در مرحله دوم ، متغیرهای تنش طبیعی و تنش برشی در معادله قبلی مربوط به سرعت و گرانروی سیال است.$\tau_{zx} = \mu (\dfrac{\partial u}{\partial z} + \dfrac{\partial w}{\partial x}) $
که با جایگزینی سه معادله آخر در معادله (2) ، ما معادله (1) را ارائه می دهیم.
من نمی دانم که سه معادله اخیر چگونه استخراج شده است. علاوه بر این ، پس از جایگزینی این سه معادله اخیر در معادله (2) ، نتیجه حتی شبیه معادله (1) نیست. این چیزی است که من پس از انجام این کار به دست آوردم:$\dfrac{Du}{Dt} = \rho g_x - \dfrac{\partial p}{\partial x} + \mu (\nabla^2 u + \dfrac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + \dfrac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} + \dfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial z}) $هیچ مشکلی نیست نگران نباشید ، که$\dfrac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + \dfrac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} + \dfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial z}=\frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \mathbf u=0 $جایی که u = (u ، v ، w). شرایط $\nabla \cdot \mathbf u=0 $ به دلیل عدم قابلیت انعطاف پذیری است.استخراج معادله پواسون از معادله ناویر استوکس با استفاده از جبر تنسور.$\begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}&=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\Delta\mathbf{v},\tag{1}\\ \nabla\cdot\mathbf{v}&=0.\tag{2} \end{align} $عملگر واگرایی را انجام دهید "∇⋅"در هر دو طرف (1). توجه داشته باشید که$\begin{align} \nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)=0,\\ \nabla\cdot\left(\frac{1}{\rho}\nabla p\right)&=\frac{1}{\rho}\nabla\cdot\nabla p=\frac{1}{\rho}\Delta p,\\ \nabla\cdot\Delta\mathbf{v}&=\Delta\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)=0, \end{align} $جایی که ما استفاده کرده ایم (2)بارها و بارها از این رو،(1) تبدیل می شود$ \nabla\cdot\left(\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right)=-\frac{1}{\rho}\Delta p.\tag{3}$حالا $ \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}=\frac{1}{2}\nabla\left\|\mathbf{v}\right\|^2-\mathbf{v}\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)=\frac{1}{2}\nabla\left\|\mathbf{v}\right\|^2-\mathbf{v}\times\mathbf{w},$و همچنین بردار
$\nabla\cdot\left(\mathbf{v}\times\mathbf{w}\right)=\mathbf{w}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)-\mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right)=\left\|\mathbf{w}\right\|^2-\mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right), $در اخر $ \nabla\cdot\left(\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right)=\frac{1}{2}\Delta\left\|\mathbf{v}\right\|^2-\left\|\mathbf{w}\right\|^2+\mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right).\tag{4}$نتیجه معادلات 3و4 میشه $\frac{1}{\rho}\Delta\left(p+\frac{1}{2}\rho\left\|\mathbf{v}\right\|^2\right)=\left\|\mathbf{w}\right\|^2-\mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right), $
2
استخراج معادله Navier-Stokes فرض می کند که فشار ، p و سرعت ، ui ، بی نهایت قابل تغییر هستند ، به طوری که نیروهای موجود در هر صورت از عنصر سیال را می توان با یک سری تیلور نشان داد پس از اعمال قانون دوم نیوتن ، و محاسبه سهم نیروهای چسبناک ، نیروهای جسم و نیروهای اولیه ، معادلات ناوایر-استوکس غیرقابل فشرده عبارتند از:$\begin{equation}\tag{1}{\partial_t u_i + u_j\partial_ju_i = -{1 \over \rho}\partial_ip +} \nu \partial_{jj}u_i +g_i\end{equation} $تصویر در مطالعه تلاطم معمولاً استفاده از تجزیه رینولدز است که متغیرهای جریان را به مقادیر متوسط و نوسان تقسیم می کند ، یعنی
u = U + u ′
و پس از استفاده از این تجزیه ، Navier Stokes خطی می شوند.
من در مورد معادله (1) در پیش بینی حرکت آشفته فکر می کردم و به فرضیه زیر رسیدم: معادله (1) برای پیش بینی جریان آشفته کافی نیست. دلیل این امر این است که نمودار هر متغیر جریان آشفته به نظر می رسد مشاهده شما مبنی بر اینکه نمودارهای نوسانات آشفته مانند عملکردهای غیر دیفرانسیل به نظر می رسد می تواند نوعی توجیه برای مدل سازی تلاطم تصادفی ایجاد شود و خوب میدونم که . این روش ها متغیرهای متلاطم را به عنوان عملکردهای غیر افتراقی نشان می دند
یک ذره سیال (به عنوان مثال دیدگاه لاگرانژی) و نیرویی که بر آن وارد می شود را در نظر بگیرید (معادلات ناویر - استوکس به شکل لاگرانژی):$\frac{dU_i}{dt} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial u_i}{\partial x_k \partial x_k}. $
ببینید مایع چیزی است که شما می توانید یک پیوستار فرض کنید - یعنی از "توده های" گسسته ساخته نشده است.
برای این منظور ، ما قبلاً می توانیم ببینیم که معادلات Navier-Stokes باید تقریبی باشند ، زیرا مایعات از اتم ساخته شده اند!
با این حال ، اگر مایعی کوچک کنید ، تقریباً شبیه یک پیوستار هستند. آیا می توانید اتم ها را در هوا احساس کنید ، یا اینکه مانند یک مایع پیوسته صاف احساس می شود؟حالا میتونم از معادلات استفاده کنم
معادلات ناویر-استوکس ، در اصل ، فقط قانون دوم نیوتن است که به شکلی نوشته شده است که برای اجسام پیوسته قابل اجرا است ، نه اجسام مجزا.
صادقانه بگویم ، هیچ چیز پیچیده تر از آنچه در آنجا وجود دارد - حداقل از منظر فیزیک - وجود ندارد.ما می دانیم که قانون دوم نیوتن به عنوان $F = ma$ است ، اما فرمول آن به صورت صحیح تر است:
$F=d/dt(mv) $
که v سرعت است. اگر جرم ثابت باشد این امر به F = ma ساده می شود.
اگر ما با یک مایع سر و کار داریم ، ما به جرم اهمیت نمی دهیم ، ما به چگالی اهمیت می دهیم - که در حال حاضر ثابت می دانیم - یعنی مایع غیرقابل انعطاف است.
بنابراین ، فقط با استفاده از فرم پیوسته قانون دوم نیوتن ، به دست می آوریم$ \begin{align}F_{total}&=ma\\
-bv-kx&=m \ddot x\\
m\ddot x+b\dot x+kx&=0
\end{align}$در نهایت $\rho \frac{D u_i}{D t} = -\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_b $
امیدورام کمکی شده باشه در فهم معادلات
$\rho \dfrac{D u}{Dt} = \rho g_x - \dfrac{\partial p}{\partial x} + \mu \nabla^2 u $جایی که μ ویسکوزیته مایع است. من در حال اثبات که از مراحل زیر استفاده می کنم
ابتدا فرمول زیر بر اساس نمودار جسم آزاد در زیر بیان شده است: (من فقط معادلات مربوطدر مرحله دوم ، متغیرهای تنش طبیعی و تنش برشی در معادله قبلی مربوط به سرعت و گرانروی سیال است. به مولفه x سرعت ، یعنی u را می نویسم$ \rho \dfrac{D u}{Dt} = \rho g_x + \dfrac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \dfrac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \dfrac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}$در مرحله دوم ، متغیرهای تنش طبیعی و تنش برشی در معادله قبلی مربوط به سرعت و گرانروی سیال است.$\tau_{zx} = \mu (\dfrac{\partial u}{\partial z} + \dfrac{\partial w}{\partial x}) $
که با جایگزینی سه معادله آخر در معادله (2) ، ما معادله (1) را ارائه می دهیم.
من نمی دانم که سه معادله اخیر چگونه استخراج شده است. علاوه بر این ، پس از جایگزینی این سه معادله اخیر در معادله (2) ، نتیجه حتی شبیه معادله (1) نیست. این چیزی است که من پس از انجام این کار به دست آوردم:$\dfrac{Du}{Dt} = \rho g_x - \dfrac{\partial p}{\partial x} + \mu (\nabla^2 u + \dfrac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + \dfrac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} + \dfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial z}) $هیچ مشکلی نیست نگران نباشید ، که$\dfrac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + \dfrac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} + \dfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial z}=\frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \mathbf u=0 $جایی که u = (u ، v ، w). شرایط $\nabla \cdot \mathbf u=0 $ به دلیل عدم قابلیت انعطاف پذیری است.استخراج معادله پواسون از معادله ناویر استوکس با استفاده از جبر تنسور.$\begin{align} \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}+\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}&=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\Delta\mathbf{v},\tag{1}\\ \nabla\cdot\mathbf{v}&=0.\tag{2} \end{align} $عملگر واگرایی را انجام دهید "∇⋅"در هر دو طرف (1). توجه داشته باشید که$\begin{align} \nabla\cdot\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)=0,\\ \nabla\cdot\left(\frac{1}{\rho}\nabla p\right)&=\frac{1}{\rho}\nabla\cdot\nabla p=\frac{1}{\rho}\Delta p,\\ \nabla\cdot\Delta\mathbf{v}&=\Delta\left(\nabla\cdot\mathbf{v}\right)=0, \end{align} $جایی که ما استفاده کرده ایم (2)بارها و بارها از این رو،(1) تبدیل می شود$ \nabla\cdot\left(\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right)=-\frac{1}{\rho}\Delta p.\tag{3}$حالا $ \left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}=\frac{1}{2}\nabla\left\|\mathbf{v}\right\|^2-\mathbf{v}\times\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)=\frac{1}{2}\nabla\left\|\mathbf{v}\right\|^2-\mathbf{v}\times\mathbf{w},$و همچنین بردار
$\nabla\cdot\left(\mathbf{v}\times\mathbf{w}\right)=\mathbf{w}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)-\mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right)=\left\|\mathbf{w}\right\|^2-\mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right), $در اخر $ \nabla\cdot\left(\left(\mathbf{v}\cdot\nabla\right)\mathbf{v}\right)=\frac{1}{2}\Delta\left\|\mathbf{v}\right\|^2-\left\|\mathbf{w}\right\|^2+\mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right).\tag{4}$نتیجه معادلات 3و4 میشه $\frac{1}{\rho}\Delta\left(p+\frac{1}{2}\rho\left\|\mathbf{v}\right\|^2\right)=\left\|\mathbf{w}\right\|^2-\mathbf{v}\cdot\left(\nabla\times\mathbf{w}\right), $
2
استخراج معادله Navier-Stokes فرض می کند که فشار ، p و سرعت ، ui ، بی نهایت قابل تغییر هستند ، به طوری که نیروهای موجود در هر صورت از عنصر سیال را می توان با یک سری تیلور نشان داد پس از اعمال قانون دوم نیوتن ، و محاسبه سهم نیروهای چسبناک ، نیروهای جسم و نیروهای اولیه ، معادلات ناوایر-استوکس غیرقابل فشرده عبارتند از:$\begin{equation}\tag{1}{\partial_t u_i + u_j\partial_ju_i = -{1 \over \rho}\partial_ip +} \nu \partial_{jj}u_i +g_i\end{equation} $تصویر در مطالعه تلاطم معمولاً استفاده از تجزیه رینولدز است که متغیرهای جریان را به مقادیر متوسط و نوسان تقسیم می کند ، یعنی
u = U + u ′
و پس از استفاده از این تجزیه ، Navier Stokes خطی می شوند.
من در مورد معادله (1) در پیش بینی حرکت آشفته فکر می کردم و به فرضیه زیر رسیدم: معادله (1) برای پیش بینی جریان آشفته کافی نیست. دلیل این امر این است که نمودار هر متغیر جریان آشفته به نظر می رسد مشاهده شما مبنی بر اینکه نمودارهای نوسانات آشفته مانند عملکردهای غیر دیفرانسیل به نظر می رسد می تواند نوعی توجیه برای مدل سازی تلاطم تصادفی ایجاد شود و خوب میدونم که . این روش ها متغیرهای متلاطم را به عنوان عملکردهای غیر افتراقی نشان می دند
یک ذره سیال (به عنوان مثال دیدگاه لاگرانژی) و نیرویی که بر آن وارد می شود را در نظر بگیرید (معادلات ناویر - استوکس به شکل لاگرانژی):$\frac{dU_i}{dt} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial u_i}{\partial x_k \partial x_k}. $
ببینید مایع چیزی است که شما می توانید یک پیوستار فرض کنید - یعنی از "توده های" گسسته ساخته نشده است.
برای این منظور ، ما قبلاً می توانیم ببینیم که معادلات Navier-Stokes باید تقریبی باشند ، زیرا مایعات از اتم ساخته شده اند!
با این حال ، اگر مایعی کوچک کنید ، تقریباً شبیه یک پیوستار هستند. آیا می توانید اتم ها را در هوا احساس کنید ، یا اینکه مانند یک مایع پیوسته صاف احساس می شود؟حالا میتونم از معادلات استفاده کنم
معادلات ناویر-استوکس ، در اصل ، فقط قانون دوم نیوتن است که به شکلی نوشته شده است که برای اجسام پیوسته قابل اجرا است ، نه اجسام مجزا.
صادقانه بگویم ، هیچ چیز پیچیده تر از آنچه در آنجا وجود دارد - حداقل از منظر فیزیک - وجود ندارد.ما می دانیم که قانون دوم نیوتن به عنوان $F = ma$ است ، اما فرمول آن به صورت صحیح تر است:
$F=d/dt(mv) $
که v سرعت است. اگر جرم ثابت باشد این امر به F = ma ساده می شود.
اگر ما با یک مایع سر و کار داریم ، ما به جرم اهمیت نمی دهیم ، ما به چگالی اهمیت می دهیم - که در حال حاضر ثابت می دانیم - یعنی مایع غیرقابل انعطاف است.
بنابراین ، فقط با استفاده از فرم پیوسته قانون دوم نیوتن ، به دست می آوریم$ \begin{align}F_{total}&=ma\\
-bv-kx&=m \ddot x\\
m\ddot x+b\dot x+kx&=0
\end{align}$در نهایت $\rho \frac{D u_i}{D t} = -\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_b $
امیدورام کمکی شده باشه در فهم معادلات