پارادوکس مومنتوم
ارسال شده: چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۲/۶ - ۰۷:۴۱
گشتاور پارادوکس ، در مورد اصطکاک و دو جسم چرخان
من یک دیسک چرخش شماره 1 دارم که از طریق یک محور به یک دیسک شماره 2 متصل است و شخصی روی آن است. دیسک شماره 1 از طریق نیروی وارد شده در لبه ، گشتاوری در حدود محور از شخص دارد و باعث چرخش CCW می شود. فرد و دیسک شماره 2 به دور محور با جهت CW می چرخد.
اما چگونه شخص برای انجام این کار حرکت می کند یا گشتاور دریافت می کند؟ واکنش نیروی وارد شده به شخص توسط اصطکاک حاصل از دیسک شماره 2 لغو می شود. از آنجا که در شعاع برابر هستند ، گشتاورها لغو می شوند. نیروی اصطکاک دیسک شماره 2 از نیروی محور لغو می شود. با این حال ، یک گشتاور خالص بر روی دیسک شماره 2 وجود دارد. جهت کلی سیستم x (دیسک شماره 1 ، دیسک شماره 2 و شخص) به دلیل داخلی بودن آن لغو می شود. گشتاور تنها دیسک شماره 2 است ، با این وجود شخص با دیسک می چرخد؟
واکنش نیروی وارد شده به شخص توسط اصطکاک حاصل از دیسک شماره 2 لغو می شود
این اتفاق نمی افتد ما می توانیم اصطکاک بین شخص و disk2 را کافی بدانیم تا لغزنده نشود. بنابراین شخص و disk2 را می توان یک شی جامد واحد در نظر گرفت.
هنگامی که فرد به disk1 فشار می آورد ، یک زوج نیرویی ایجاد می شود. دیسک 1 در یک جهت نیرو دارد (که باعث ایجاد گشتاور می شود) و جسم disk2 / person در جهت دیگر نیرو دارد (که در جهت دیگر گشتاور ایجاد می کند).
اصطکاک در اینجا فرد را به disk2 متصل می کند ، گشتاور را لغو یا از بین نمی برد.
اما آیا وقتی آنها را خراب می کنم ، اصطکاک و نیروی واکنش دیسک شماره 1 بر روی فرد لغو نمی شود؟
نه ، نیروی اصطکاک باید کوچکتر باشد ، بنابراین لغو نمی شوند. بیایید از نزدیک به اصطکاک نگاه کنیم. این زوج دیگری را تشکیل می دهد ، یک قسمت از نیرو روی فرد "رو به جلو" است (همان جهتی که فرد دیسک 1 را هل می دهد) ، و قسمت دیگر روی دیسک 2 "عقب" است.این قسمت دوم از نیروی اصطکاک چیزی برای مقابله با آن ندارد. می توانیم آن را $F = ma$ نشان دهیم ، جایی که نیروی اصطکاک disk2 را تسریع می کند. از آنجا که فرد به دیسک متصل است ، فرد نیز شتاب می گیرد.
اگر می خواهید به شخص و دیسک ها به عنوان 3 عنصر نگاه کنید ، دیگر هیچ نیرویی در دیسک 1 وجود ندارد و اصطکاک لغو کننده دیسک 2 وجود ندارد. هر دو باعث شتاب و حرکت می شوند.اگر فرد نسبت به دیسک پایین بی حرکت بماند (شماره 2) ، پس یک اصطکاک ایستا وجود دارد زیرا فرد شتاب می گیرد. شما جهت نیروی اصطکاک را نمی دانید ، اما هم دارای اجزای شعاعی و هم مماسی است. م radلفه شعاعی اصطکاک دارای اندازه ای خواهد بود
$|a_r|=m\omega^2 r$و جز component مماس خواهد بود$|a_t|=m\alpha r,$جایی که α شتاب زاویه ای سیستم دیسک شخص / # 2 است.دیسک شماره 1 اصطکاک ایستایی ، به طور مماس ، بر روی دستهای فرد ایجاد می کند ، اما تنه بدن به دلیل نیروهای عضلانی تسریع می شود. اگر حرکت فرد شتاب در اطراف محور باشد ، باید یک گشتاور خالص روی فرد در مورد آن محور داشته باشد. این گشتاور خالص از دو اصطکاک ایستای مماس حاصل می شود که نیروهای جداگانه ای هستند و این مساله مساوی نیست با این واقعیت که شتاب فرد نسبت به دیسک شماره 1 مشخص است ، برابر نیست. گشتاورها مقابل هم هستند اما برابر نیستند! اصطکاک ایستایی فرد روی دیسک شماره 2 گشتاور مربوط به محور شماره 2 را تولید می کند و شتابهای زاویه ای با تعریف مشکل شما یکسان هستند. اگر آنها یکسان نباشند ، فرد نسبت به هر دو دیسک حرکت می کند.
من می خواهم سیستم زیر را تجزیه و تحلیل کنم ، جایی که جرم محور ناچیز است و چرخ می چرخد.
بخصوص من باید مقدار گشتاور مربوط به نقطه اتصال رشته با محور را محاسبه کنم.
متأسفانه بسته به روش کار من دو جواب متفاوت می گیرم:
راه اول (و صحیح)
با در نظر گرفتن کل سیستم ، چرخ و محور ، دو نیرو وجود دارد. وزن ، با نقطه استفاده از مرکز جرم چرخ ؛ و نیرویی با اندازه برابر اما جهت مخالف ، با نقطه کاربرد مکانی که رشته با محور ملاقات می کند. بنابراین یک گشتاور خالص وجود دارد.
راه دوم (و اشتباه)
با در نظر گرفتن فقط چرخ ، دو نیرو یکسان هستند ، اما هر دو به مرکز جرم چرخ اعمال می شوند. بنابراین هیچ گشتاوری وجود ندارد.
اساساً شما می پرسید که چرا غفلت از گشتاور خالص در سیستم اشتباه است ، و پاسخ واضح آن این است که شما نمی توانید تغییر در حرکت زاویه ای را بدون گشتاور به درستی حساب کنید.
معادلات خطی حرکت ، نیروی خالص را به حرکت مرکز جرم مربوط می کند .$\boldsymbol{F} = m \boldsymbol{a}_C$
$\boldsymbol{T}_C = \mathtt{I}_C \dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathtt{I}_C \boldsymbol{\omega}$
معادلات چرخشی حرکت ، گشتاور خالص را به حرکت مرکز جرم مربوط می کند .
با غفلت از گشتاور خالص ، شما به درستی برای نیروهای ژیروسکوپی حساب نمی کنید.
گشتاور M برابر و مخالف است که بر روی چرخ کار می کند به طوری که نیروهای موجود در محور را متعادل می کند.
معادله و جریان برنولی در یک لوله - پارادوکس
من در حال مطالعه معادله برنولی هستم و با مشکلی روبرو هستم. معادله برنولی در امتداد یک جریان ساده و در شرایط جریان ثابت قابل اجرا است (حدس می زنم این شرط برای اطمینان از این باشد که می تواند همیشه اعمال شود).
حال بگویید من می خواهم سرعت جریان را در یک سطح مقطع خاص از یک لوله با مقاطع مختلف محاسبه کنم. حال فرض کنید ، من یک فشار سنج را بین این دو سطح مقطع خاص قرار داده ام ، که به من تغییر فشار بین این دو مقطع در امتداد لوله می دهد$\Delta P = \frac{\rho (v_1^2 - v_2^2)}{2} + \rho g \Delta z$در اینجا ، $v_2$ سرعت مقطعی است که می خواهیم در آن سرعت را محاسبه کنیم. اکنون ما $ΔP$ را می شناسیم ، $Δz$ را می دانیم (فرض کنید که در حال محاسبه یک خط افقی هستیم).
اکنون جالب است که ، در تمام ادبیات ، سرعتی که محاسبه می کنند ، همه فرض می کنند که آن از سطح مقطع یکنواخت باشد. چرا؟ معادله برنولی در امتداد یک خط ساده قابل اجرا است ، و هر نقطه شروع یک نقطه پایان متفاوت دارد و از این رو یک جریان متفاوت دارد. چرا در زمین ، همه سرعت یک سطح مقطع را یکسان فرض می کنند.توضیح این فرض برای اکثر فرضیات یکسان است: زیرا مسئله را آسانتر می کند. این معادله (به طور کلی) به دلیل فرضیاتی که هنگام استخراج معادله بیان شده است ، برای یک جریان ساده اعمال می شود. بسیاری به اشتباه قانون برنولی را به اصل صرفه جویی در انرژی نسبت می دهند ، در حالی که در واقع این نتیجه مستقیماً از معادله حرکت خطی نیوتن است. از تجزیه و تحلیل نیروی نسبتاً مستقیم یک توده سیال دیفرانسیل ، می توان نشان داد که
$-\frac{\partial p}{\partial s}=\rho a_s=\rho v\frac{\partial v}{\partial s},
$و$+\frac{\partial p}{\partial n}=\rho a_n=\rho\frac{v^2}{R}, \tag{roham}$که در آن $p$ فشار استاتیکی است ، $ρ$ چگالی سیال ، a شتاب محلی است ، $v$سرعت است ، $R$ شعاع محلی انحنا است ، و s و n به ترتیب coodinates منحنی در امتداد و به ترتیب نرمال هستند. از دیفرانسیل جزئی استفاده می شود زیرا فشار و سرعت (به طور کلی) در دو جهت n و s تغییر می کنند. حال ، اگر تحلیل خود را فقط به تغییرات موجود در جریان محدود کنیم ، می توانیم تفاوت های جزئی اصلی را در (1) با تفاوت های دقیق جایگزین کنیم. تنظیم مجدد ، این به ما می دهد$\frac{dp}{ds}+\rho V\frac{dV}{ds}=0, \tag{roham}$که می تواند بیشتر در معادله کلاسیک دیفرانسیل برنولی ساده شود:$\frac{dp}{\rho}+VdV=0. \tag{iv}$این نسخه از معادله (با فرضیات ذاتی آن) است که سپس برای ارائه نسخه کتاب کلاسیک Eqn برنولی ادغام می شود. $p + 1/2ρV^2 = p0$
چرا ما این کار را می کنیم؟ خوب ، چندین موقعیت جریان وجود دارد که تقریباً معتبر است (به عنوان مثال جریان های غیر متحرک) ، که فشار رکود در همه جا یکنواخت است و فقط یک بار باید محاسبه شود. برای جریانهای چسبناک ، هنوز می توان از معادله برای تعیین فشار رکود در یک مکان مشخص در جریان استفاده کرد ، اما نباید انتظار داشت که فشارهای رکود بین خطوط جریان برابر باشد
پارادوکس قانون استوکس قانون استوکس بیان می کند که نیروی حرکت در کره آهسته (یعنی Re≪1) در مایع است
$F_d = 6 \pi \mu R V$
در دو بعد ما با مشکل روبرو هستیم (در اطراف دیسک در 2d یا در اطراف سیلندر در 3D جریان پیدا کنید) ، زیرا هیچ مشکلی برای مشکل استوکس وجود ندارد (معروف به پارادوکس استوکس) ، اما با تجزیه و تحلیل بعدی هنوز می توان نتیجه گرفت که$F_d = C \mu V$
من چند آزمایش عددی معادله Navier-Stokes برای اعداد کوچک رینولدز انجام دادم و دریافتم که $F_d$ واقعاً به R و $C\approx 4\pi$ بستگی ندارد.به نظر من کاملاً ضد شهودی است که نیرو در 2D به شعاع دیسک بستگی ندارد. کار اشتباهی انجام داده ام؟ یا واقعاً به شعاع دیسک بستگی ندارد؟
تنها چیزی که به شعاع دیسک بستگی دارد ، دامنه قابل قبول سرعت ورودی است. اگر R را افزایش می دهید باید حداکثر V را کاهش دهید تا از شرایط Re≪1 اطمینان حاصل کنید.تناقض رخ می دهد زیرا اعتبار معادلات استوکس به کوچک بودن عدد رینولدز متکی است. این امر در 2D اینگونه نیست زیرا در زمینه دور نمی توان اینرسی را نادیده گرفت و بنابراین فقط یک نیروی وابسته چسبناک امکان پذیر نیست. در عوض ، تجزیه و تحلیل اختلال با استفاده از معادلات اوسین (معروف به تقریب اوسین) مورد نیاز است که منجر به شکلی از کشش استوکس در ضریب تعدیل ضریب ضرب می شود که به عدد رینولدز بستگی دارد.
من یک دیسک چرخش شماره 1 دارم که از طریق یک محور به یک دیسک شماره 2 متصل است و شخصی روی آن است. دیسک شماره 1 از طریق نیروی وارد شده در لبه ، گشتاوری در حدود محور از شخص دارد و باعث چرخش CCW می شود. فرد و دیسک شماره 2 به دور محور با جهت CW می چرخد.
اما چگونه شخص برای انجام این کار حرکت می کند یا گشتاور دریافت می کند؟ واکنش نیروی وارد شده به شخص توسط اصطکاک حاصل از دیسک شماره 2 لغو می شود. از آنجا که در شعاع برابر هستند ، گشتاورها لغو می شوند. نیروی اصطکاک دیسک شماره 2 از نیروی محور لغو می شود. با این حال ، یک گشتاور خالص بر روی دیسک شماره 2 وجود دارد. جهت کلی سیستم x (دیسک شماره 1 ، دیسک شماره 2 و شخص) به دلیل داخلی بودن آن لغو می شود. گشتاور تنها دیسک شماره 2 است ، با این وجود شخص با دیسک می چرخد؟
واکنش نیروی وارد شده به شخص توسط اصطکاک حاصل از دیسک شماره 2 لغو می شود
این اتفاق نمی افتد ما می توانیم اصطکاک بین شخص و disk2 را کافی بدانیم تا لغزنده نشود. بنابراین شخص و disk2 را می توان یک شی جامد واحد در نظر گرفت.
هنگامی که فرد به disk1 فشار می آورد ، یک زوج نیرویی ایجاد می شود. دیسک 1 در یک جهت نیرو دارد (که باعث ایجاد گشتاور می شود) و جسم disk2 / person در جهت دیگر نیرو دارد (که در جهت دیگر گشتاور ایجاد می کند).
اصطکاک در اینجا فرد را به disk2 متصل می کند ، گشتاور را لغو یا از بین نمی برد.
اما آیا وقتی آنها را خراب می کنم ، اصطکاک و نیروی واکنش دیسک شماره 1 بر روی فرد لغو نمی شود؟
نه ، نیروی اصطکاک باید کوچکتر باشد ، بنابراین لغو نمی شوند. بیایید از نزدیک به اصطکاک نگاه کنیم. این زوج دیگری را تشکیل می دهد ، یک قسمت از نیرو روی فرد "رو به جلو" است (همان جهتی که فرد دیسک 1 را هل می دهد) ، و قسمت دیگر روی دیسک 2 "عقب" است.این قسمت دوم از نیروی اصطکاک چیزی برای مقابله با آن ندارد. می توانیم آن را $F = ma$ نشان دهیم ، جایی که نیروی اصطکاک disk2 را تسریع می کند. از آنجا که فرد به دیسک متصل است ، فرد نیز شتاب می گیرد.
اگر می خواهید به شخص و دیسک ها به عنوان 3 عنصر نگاه کنید ، دیگر هیچ نیرویی در دیسک 1 وجود ندارد و اصطکاک لغو کننده دیسک 2 وجود ندارد. هر دو باعث شتاب و حرکت می شوند.اگر فرد نسبت به دیسک پایین بی حرکت بماند (شماره 2) ، پس یک اصطکاک ایستا وجود دارد زیرا فرد شتاب می گیرد. شما جهت نیروی اصطکاک را نمی دانید ، اما هم دارای اجزای شعاعی و هم مماسی است. م radلفه شعاعی اصطکاک دارای اندازه ای خواهد بود
$|a_r|=m\omega^2 r$و جز component مماس خواهد بود$|a_t|=m\alpha r,$جایی که α شتاب زاویه ای سیستم دیسک شخص / # 2 است.دیسک شماره 1 اصطکاک ایستایی ، به طور مماس ، بر روی دستهای فرد ایجاد می کند ، اما تنه بدن به دلیل نیروهای عضلانی تسریع می شود. اگر حرکت فرد شتاب در اطراف محور باشد ، باید یک گشتاور خالص روی فرد در مورد آن محور داشته باشد. این گشتاور خالص از دو اصطکاک ایستای مماس حاصل می شود که نیروهای جداگانه ای هستند و این مساله مساوی نیست با این واقعیت که شتاب فرد نسبت به دیسک شماره 1 مشخص است ، برابر نیست. گشتاورها مقابل هم هستند اما برابر نیستند! اصطکاک ایستایی فرد روی دیسک شماره 2 گشتاور مربوط به محور شماره 2 را تولید می کند و شتابهای زاویه ای با تعریف مشکل شما یکسان هستند. اگر آنها یکسان نباشند ، فرد نسبت به هر دو دیسک حرکت می کند.
من می خواهم سیستم زیر را تجزیه و تحلیل کنم ، جایی که جرم محور ناچیز است و چرخ می چرخد.
بخصوص من باید مقدار گشتاور مربوط به نقطه اتصال رشته با محور را محاسبه کنم.
متأسفانه بسته به روش کار من دو جواب متفاوت می گیرم:
راه اول (و صحیح)
با در نظر گرفتن کل سیستم ، چرخ و محور ، دو نیرو وجود دارد. وزن ، با نقطه استفاده از مرکز جرم چرخ ؛ و نیرویی با اندازه برابر اما جهت مخالف ، با نقطه کاربرد مکانی که رشته با محور ملاقات می کند. بنابراین یک گشتاور خالص وجود دارد.
راه دوم (و اشتباه)
با در نظر گرفتن فقط چرخ ، دو نیرو یکسان هستند ، اما هر دو به مرکز جرم چرخ اعمال می شوند. بنابراین هیچ گشتاوری وجود ندارد.
اساساً شما می پرسید که چرا غفلت از گشتاور خالص در سیستم اشتباه است ، و پاسخ واضح آن این است که شما نمی توانید تغییر در حرکت زاویه ای را بدون گشتاور به درستی حساب کنید.
معادلات خطی حرکت ، نیروی خالص را به حرکت مرکز جرم مربوط می کند .$\boldsymbol{F} = m \boldsymbol{a}_C$
$\boldsymbol{T}_C = \mathtt{I}_C \dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times \mathtt{I}_C \boldsymbol{\omega}$
معادلات چرخشی حرکت ، گشتاور خالص را به حرکت مرکز جرم مربوط می کند .
با غفلت از گشتاور خالص ، شما به درستی برای نیروهای ژیروسکوپی حساب نمی کنید.
گشتاور M برابر و مخالف است که بر روی چرخ کار می کند به طوری که نیروهای موجود در محور را متعادل می کند.
معادله و جریان برنولی در یک لوله - پارادوکس
من در حال مطالعه معادله برنولی هستم و با مشکلی روبرو هستم. معادله برنولی در امتداد یک جریان ساده و در شرایط جریان ثابت قابل اجرا است (حدس می زنم این شرط برای اطمینان از این باشد که می تواند همیشه اعمال شود).
حال بگویید من می خواهم سرعت جریان را در یک سطح مقطع خاص از یک لوله با مقاطع مختلف محاسبه کنم. حال فرض کنید ، من یک فشار سنج را بین این دو سطح مقطع خاص قرار داده ام ، که به من تغییر فشار بین این دو مقطع در امتداد لوله می دهد$\Delta P = \frac{\rho (v_1^2 - v_2^2)}{2} + \rho g \Delta z$در اینجا ، $v_2$ سرعت مقطعی است که می خواهیم در آن سرعت را محاسبه کنیم. اکنون ما $ΔP$ را می شناسیم ، $Δz$ را می دانیم (فرض کنید که در حال محاسبه یک خط افقی هستیم).
اکنون جالب است که ، در تمام ادبیات ، سرعتی که محاسبه می کنند ، همه فرض می کنند که آن از سطح مقطع یکنواخت باشد. چرا؟ معادله برنولی در امتداد یک خط ساده قابل اجرا است ، و هر نقطه شروع یک نقطه پایان متفاوت دارد و از این رو یک جریان متفاوت دارد. چرا در زمین ، همه سرعت یک سطح مقطع را یکسان فرض می کنند.توضیح این فرض برای اکثر فرضیات یکسان است: زیرا مسئله را آسانتر می کند. این معادله (به طور کلی) به دلیل فرضیاتی که هنگام استخراج معادله بیان شده است ، برای یک جریان ساده اعمال می شود. بسیاری به اشتباه قانون برنولی را به اصل صرفه جویی در انرژی نسبت می دهند ، در حالی که در واقع این نتیجه مستقیماً از معادله حرکت خطی نیوتن است. از تجزیه و تحلیل نیروی نسبتاً مستقیم یک توده سیال دیفرانسیل ، می توان نشان داد که
$-\frac{\partial p}{\partial s}=\rho a_s=\rho v\frac{\partial v}{\partial s},
$و$+\frac{\partial p}{\partial n}=\rho a_n=\rho\frac{v^2}{R}, \tag{roham}$که در آن $p$ فشار استاتیکی است ، $ρ$ چگالی سیال ، a شتاب محلی است ، $v$سرعت است ، $R$ شعاع محلی انحنا است ، و s و n به ترتیب coodinates منحنی در امتداد و به ترتیب نرمال هستند. از دیفرانسیل جزئی استفاده می شود زیرا فشار و سرعت (به طور کلی) در دو جهت n و s تغییر می کنند. حال ، اگر تحلیل خود را فقط به تغییرات موجود در جریان محدود کنیم ، می توانیم تفاوت های جزئی اصلی را در (1) با تفاوت های دقیق جایگزین کنیم. تنظیم مجدد ، این به ما می دهد$\frac{dp}{ds}+\rho V\frac{dV}{ds}=0, \tag{roham}$که می تواند بیشتر در معادله کلاسیک دیفرانسیل برنولی ساده شود:$\frac{dp}{\rho}+VdV=0. \tag{iv}$این نسخه از معادله (با فرضیات ذاتی آن) است که سپس برای ارائه نسخه کتاب کلاسیک Eqn برنولی ادغام می شود. $p + 1/2ρV^2 = p0$
چرا ما این کار را می کنیم؟ خوب ، چندین موقعیت جریان وجود دارد که تقریباً معتبر است (به عنوان مثال جریان های غیر متحرک) ، که فشار رکود در همه جا یکنواخت است و فقط یک بار باید محاسبه شود. برای جریانهای چسبناک ، هنوز می توان از معادله برای تعیین فشار رکود در یک مکان مشخص در جریان استفاده کرد ، اما نباید انتظار داشت که فشارهای رکود بین خطوط جریان برابر باشد
پارادوکس قانون استوکس قانون استوکس بیان می کند که نیروی حرکت در کره آهسته (یعنی Re≪1) در مایع است
$F_d = 6 \pi \mu R V$
در دو بعد ما با مشکل روبرو هستیم (در اطراف دیسک در 2d یا در اطراف سیلندر در 3D جریان پیدا کنید) ، زیرا هیچ مشکلی برای مشکل استوکس وجود ندارد (معروف به پارادوکس استوکس) ، اما با تجزیه و تحلیل بعدی هنوز می توان نتیجه گرفت که$F_d = C \mu V$
من چند آزمایش عددی معادله Navier-Stokes برای اعداد کوچک رینولدز انجام دادم و دریافتم که $F_d$ واقعاً به R و $C\approx 4\pi$ بستگی ندارد.به نظر من کاملاً ضد شهودی است که نیرو در 2D به شعاع دیسک بستگی ندارد. کار اشتباهی انجام داده ام؟ یا واقعاً به شعاع دیسک بستگی ندارد؟
تنها چیزی که به شعاع دیسک بستگی دارد ، دامنه قابل قبول سرعت ورودی است. اگر R را افزایش می دهید باید حداکثر V را کاهش دهید تا از شرایط Re≪1 اطمینان حاصل کنید.تناقض رخ می دهد زیرا اعتبار معادلات استوکس به کوچک بودن عدد رینولدز متکی است. این امر در 2D اینگونه نیست زیرا در زمینه دور نمی توان اینرسی را نادیده گرفت و بنابراین فقط یک نیروی وابسته چسبناک امکان پذیر نیست. در عوض ، تجزیه و تحلیل اختلال با استفاده از معادلات اوسین (معروف به تقریب اوسین) مورد نیاز است که منجر به شکلی از کشش استوکس در ضریب تعدیل ضریب ضرب می شود که به عدد رینولدز بستگی دارد.