افزودن وزن به چیزی می تواند سرعت آن را کندتر کند؟

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 444

سپاس: 221

جنسیت:

تماس:

افزودن وزن به چیزی می تواند سرعت آن را کندتر کند؟

پست توسط rohamjpl »

بگذارید بگوییم ما 2 چوب داریم که هر دو یک متر طول دارند. هر دو را به صورت عمودی روی زمین قرار می دهیم. به بالای یکی از آنها وزنه ای را متصل می کنیم. سپس هر دوی آنها را ضربه می زنیم و می گذاریم بیفتند.تصور کنید که هیچ مقاومت در برابر هوا وجود ندارد و (انتهای پایینی) چوب ها به زمین نمی لغزند.کدام یک اول سقوط می کند؟آیا من درست حدس می زنم که به دلیل داشتن مرکز ثقل بالاتر ، وزن کمتری می افتد؟ویرایش: در صورتی که از خود می پرسید این سوال از کجا آمده است ، من در این فکر بودم که آیا داشتن یک مسافر در پشت موتورسیکلت ، زمان از بین رفتن تعادل (در سرعت بسیار پایین) را افزایش می دهد یا کاهش می دهد .من می خواهم تصور کنم که انتهای پایین میله ثابت است ، بنابراین میله به دور آن می چرخد. فکر می کنم این همان چیزی است که شما در ذهن دارید - اگر نباشد فریاد بزنید. بنابراین در مرحله ای از سقوط میله به نظر می رسد:میله و وزن جرم میله m و جرم یا وزن انتهای آن M است و من نیروهای ناشی از جاذبه را جذب کرده ام.
برای نوشتن معادله حرکت میله از آنالوگ چرخشی به قانون دوم نیوتن استفاده می کنیم:$T = I\frac{d^2\theta}{dt^2}$جایی که T گشتاور است و من لحظه اینرسی است و با تنظیم مجدد این موارد:$\frac{d^2\theta}{dt^2} =\frac{T}{I} \tag{1}$اگر طول میله ℓ باشد ، گشتاور آن برابر است:$\begin{align}
T &= mg\frac{\ell}{2}\cos\theta + Mg\ell\cos\theta \\
&= (\frac{m}{2} + M)g\ell\cos\theta
\end{align}$لحظه اینرسی میله:$I_{rod} = \frac{m\ell^2}{3}$و فرض کنید که وزن ما می تواند به عنوان یک توده نقطه تقریبی باشد که لحظه اینرسی آن است:$I_{weight} = M\ell^2$
و لحظه کل اینرسی فقط حاصل جمع این دو است:$I = \frac{m\ell^2}{3} + M\ell^2$
و برای بدست آوردن معادله حرکت خود ، فقط عبارات خود را به جای T و I در معادله (1) قرار می دهیم تا بدست آوریم:$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\frac{(\frac{m}{2} + M)g\ell\cos\theta}{\frac{m\ell^2}{3} + M\ell^2}$یک علامت منفی وجود دارد زیرا همانطور که من نمودار را رسم کردم با گذشت زمان زاویه θ کاهش می یابد بنابراین شتاب زاویه ای منفی است. با برخی از تنظیم مجدد:
$\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\left(\frac{m + 2M}{m + 3M}\right) \frac{3g\cos\theta}{2\ell} \tag{2}$
اکنون حل این معادله حرکت در واقع دشوار است ، اما برای پاسخ به question نیازی به حل آن نداریم. سمت چپ معادله (2) شتاب زاویه ای است ، و اگر مقدار شتاب زاویه ای را افزایش دهیم میله سریعتر می افتد در حالی که اگر آن را کاهش دهیم میله کندتر می افتد. بنابراینquestionا ساده می شود به:اگر جرم M را افزایش دهیم ، آیا اندازه شتاب زاویه ای کم یا زیاد می شود؟
در سمت راست ، همه چیز در خارج از براکت مستقل از M است ، بنابراین فقط باید پاسخ دهیم که اگر M را تغییر دهید ، در براکت افزایش می یابد یا کاهش می یابد.
پاسخ به این آسان است زیرا ما یک اصطلاح 2M در بالای کسر و یک اصطلاح 3M در پایین داریم ، و بدیهی است 3M> 2M. بنابراین اگر ما M را افزایش دهیم ، کسر داخل براکت کاهش می یابد ، و بنابراین مقدار شتاب زاویه ای کاهش می یابد.بنابراین پاسخ این است که اتصال یک توده به بالای میله باعث می شود که سرعت آن کندتر شود.
من فرض می کنم که شما تصور می کنید دو چوب دارید که پایه های آنها به محض ورق خوردن به زمین ثابت بمانند. در این حالت ، کاری که ما باید برای محاسبه میزان نوک زدن انجام دهیم (من دقیقاً نمی گویم "سقوط" - فکر می کنم گمراه کننده باشد) گشتاور اعمال شده بر روی هر چوب را به عنوان راهنمایی در نظر بگیرید.
آنچه واقعاً به آن پاسخ می دهد ، جدال بین گشتاور (میزان تغییر سرعت زاویه) و گشتاور اینرسی (اندازه ای از مقاومت در برابر گشتاور) است که جرم در مکان های مختلف چوب ها اضافه می شود.
گشتاور اینرسی I برای جرم نقطه ای برابر با $m r^2$ است ، در حالی که گشتاور به صورت خطی با نیرویی که عمود بر جهت شعاعی وارد می شود مقیاس می گیرد (اساساً در یک جهت چرخشی ، به مرکز چوب فشار نمی آورد). در این حالت ، آن نیروی گشتاور از نیروی جاذبه ناشی می شود. علاوه بر این ، گشتاور با فاصله از مرکز چرخش که نیرو اعمال می شود ، به صورت خطی مقیاس می شود.$\tau = F \cdot r \cdot \sin \theta$جایی که θ زاویه بین جهتی است که در آن نیرو اعمال می شود ، و جهت خارج از مرکز چرخش به همان نقطه است.
در این سناریو ، گشتاور برای چوب با جرم در انتها بیشتر خواهد بود زیرا هم مرکز جرم چوب و هم جرم کل آن بزرگتر خواهد بود. با این حال ، لحظه اینرسی (که در برابر گشتاور مقاومت می کند) نیز بزرگتر خواهد بود. در حقیقت ، تا حدی به دلیل مقیاس گذاری $I$ با$r^2$ ، در این حالت در واقع افزایش گشتاور را کاهش می دهد و منجر به افت کندتر چوب با جرم در انتها می شود. اکنون این را از نظر ریاضی اثبات می کنم:من فرض می کنم که هر چوب میله ای نازک و بی نهایت با جرم یکسان در طول متر است. جرم هر چوب سپس m است. بگذارید جرمی که به بالای چوب 2 متصل شده باشد.
گشتاور اعمال شده به هر چوب به عنوان تابعی از زاویه از عمود:من فرض می کنم که هر چوب میله ای نازک و بی نهایت با جرم یکسان در طول متر است. جرم هر چوب سپس m است. بگذارید جرمی که به بالای چوب 2 متصل شده باشد.گشتاور اعمال شده به هر چوب به عنوان تابعی از زاویه از عمود:$\tau = h\cdot xg \cdot \sin \theta$جایی که h ارتفاع مرکز جرم هر چوب هنگام ایستادن به صورت ایستاده است و x جرم کل چوب است. برای دو چوب ، این به ما می دهد
$\tau_1 = 0.5 \cdot mg \cdot \sin \theta_1$و$\tau_2 = \frac{M + 0.5m}{M + m} \cdot (M + m)g \cdot \sin \theta_2$
$\tau_1 = 0.5m \cdot g \cdot \sin \theta_1$و$\tau_2 = (M + 0.5m)g \cdot \sin \theta_2$به منظور یافتن میزان تغییر زاویه ، گشتاور را بر لحظه اینرسی تقسیم می کنیم. بدون پرداختن به جزئیات نحوه محاسبه آنها ، فقط لحظات سکون را ارائه می دهم .ساده سازی
$I_1 = m/3$و$I_2 = m/3 + M $
$\ddot \theta_1 = \frac{0.5m}{m/3} \cdot g \cdot \sin \theta_1$و$\ddot \theta_2 = \frac{(M + 0.5m)}{m/3 + M} g \cdot \sin \theta_2 $ ساده سازی$\ddot \theta_1 = 1.5 \cdot g \cdot \sin \theta_1$و$\ddot \theta_2 = \frac{(M + 0.5m)}{m/3 + M} g \cdot \sin \theta_2$
سپس می توانیم شتاب زاویه ای هر چوب را به صورت $\tau / I$ محاسبه کنیم:
$\frac{\ddot \theta_1}{\ddot \theta_2} = \frac{1.5 \cdot (m/3 + M)}{M + 0.5m} = \frac{0.5m + 1.5M}{0.5m + M} = 1 + \frac{0.5M}{M + 0.5m} > 1$
چوبی که سریعتر از ان استفاده میشود چوبی است که ضریب آن در مقابل sinθ به بزرگی بیشتر است. بنابراین ما به نسبت دو عبارت برای همان زاویه θ1 و θ2 نگاه خواهیم کرد. کاری که ما انجام می دهیم مقایسه شتاب زاویه ای هر چوب در هر زاویه خاص θ استبنابراین می توانیم $\ddot \theta_1 > \ddot \theta_2$ را ببینیم و بنابراین نتیجه می گیریم که اولین چوب بدون جرم M که در انتهای آن متصل شده است ، چوبی است که با سرعت بیشتری استفاده میشه
من دقیقاً نشان نداده ام که چوب 1 ابتدا به زمین برخورد می کند ، اما باید از این واقعیت کاملاً واضح باشد که در حین جابجایی سریعتر از هر زاویه شتاب می گیرد.برای هر جسم حرکت زاویه ای I ، شتاب زاویه ای $\dot \omega$ توسط داده می شود$\dot\omega = \frac{\Gamma}{I}$جایی که Γ گشتاور است.حال در مورد جسمی با جرم $m_i$ توزیع شده در طول با فاصله $\ell_i$ از محور چرخش$I = \sum m_i \ell_i^2$
و گشتاور ، در زاویه θ نسبت به عمودی ، توسط داده می شود $\Gamma = \sum m_i \ell_i g \sin\theta$
برای هر دوی اینها ، مجموع بیش از جرمهای گسسته می تواند به راحتی یک توزیع جرم مداوم باشد. آنچه در پی می آید تغییر نمی کند.
سپس این question مطرح می شود - حداقل فاصله d که باید جرم m را اضافه کنم تا $\dot\omega$ کاهش یابد چیست؟ با استفاده از بیان من برای لحظه ای اینرسی و گشتاور ، این زمانی اتفاق می افتد
$\frac{\sum m_i \ell_i g \sin\theta}{\sum m_i \ell_i^2}\gt \frac{M d g \sin\theta + \sum m_i \ell_i g \sin\theta}{M d^2 + \sum m_i \ell_i^2}$و$\left(Md^2 + \sum m_i \ell_1^2\right) \cdot \sum m_i \ell_i\gt \left(Md + \sum m_i \ell_i \right) \cdot \sum m_i \ell_i^2\\
Md^2 \sum m_i \ell_i \gt Md \sum m_i \ell_i^2\\
d \gt \frac{\sum m_i \ell_i^2}{\sum m_i \ell_i}$این به ما می گوید دقیقاً در کجا باید توده ای قرار دهیم تا جسم با سرعت کمتری سقوط کند. اگر جسم اولیه یک جرم نقطه ای در انتهای یک چوب به طول ℓ باشد ، پس d> است. اگر جسم اولیه یک میله سفت و محکم به طول ℓ باشد ، آنگاه عدد لحظه اینرسی $I = \frac13 m \ell^2$ است و مخرج آن$\frac12 m \ell$ خواهد بود ، بنابراین ما نیاز داریم$d \gt \frac{\frac13 m \ell^2}{\frac12 m \ell} = \frac23 \ell$از این رو نتیجه می گیرد که قرار دادن جرم در هر نقطه بالاتر از 2/3 چوب از جمله بالا ، باعث سقوط کندتر آن می شود و افزودن مسافر به موتور ممکن است از این منظر باعث افزایش پایداری شود.
تصویر

آرمان شریعتی

عضویت : چهارشنبه ۱۳۹۹/۱۲/۱۳ - ۰۳:۲۸


پست: 22

سپاس: 10

Re: افزودن وزن به چیزی می تواند سرعت آن را کندتر کند؟

پست توسط آرمان شریعتی »

افزایش وزن این چوب، به شرطیکه ارتفاعه مرکز جرم رو بالا ببره باعث کاهشه سرعت سقوط میشه.

در واقع افزایش یا کاهش وزن میله، ربطی به سرعت سقوط نداره و این قضیه کاملا به ارتفاعه مرکز جرم بستگی داره یعنی اگه ما حتی میله سبکتری اما با مرکز جرم بالاتر داشته باشیم سرعت سقوطش کمتره و دلیلش این هست که ما در میله ی همجرم اما با مرکز جرم بالاتر ، به گشتاور بیشتری برای افزایشه سرعت زاویه ای نیاز داریم درحالیکه نیروی وارده از زمین همواره ثابت و برابر با وزن جسم هست پس در نیروی گشتاوره ثابت، با افزایش فاصله ی -مرکز جرمه چرخان- از مرکز دوران، سرعت زاویه ای کمتر میشه.

این قضیه بصورت عملی و تو خونه هم با دوتا میله قابل آزمایش هست‌! یا مثلا ببینیم حفظ تعادل روی دوچرخه با سرعته خیلی کم، در حالت ایستاده راحتتر هست یا نشسته؟!

درمورد موتور هم با توجه به همین قضیه، کنترل موتور با دو سرنشین راحتتر از موتور با یک سرنشین هست. و اگه دقت کرده باشید دوچرخه سوارهای نمایشی هم برای حفظ تعادل بصورت ایستاده روی دوچرخه قرار میگیرند.

ارسال پست