سوالی از معادلات دیفرانسیل

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
SJJD-CE

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۹/۱۱ - ۱۸:۲۱


پست: 23



سوالی از معادلات دیفرانسیل

پست توسط SJJD-CE »

سلام میخواستم بدونم کسی میتونه این معادله رو به روش معادله ی کامل حل کنه؟ منظورم اینه ثابت کنه این معادله همگن هس و از روش معدله ی کامل حل کنه ممنون
dy (x^2+y^2) + 2xy dx =0

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 444

سپاس: 221

جنسیت:

تماس:

Re: سوالی از معادلات دیفرانسیل

پست توسط rohamjpl »

جواب$x^2y+y^3/3=c_1$و$x^2y+y^3/3+c_1=c_2$
قضیه گرین حل میشه $\large \displaystyle \frac { d y } { d t } = f ( t ) y ( t ) + g ( t ) $
$\int\int_D \frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}dxdy = \int_C pdx + qdy$و$\int\int_D \frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial q}{\partial y}dxdy = \int_C pdy - qdx$
$\iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x}+ \frac{\partial Q}{\partial y} \right) \, dx \, dy = \iint_D \operatorname{div} F \, dA$
فرمول گرین در این موارد $M = x^2 - y^2$و$N=2xy$ به روش $\iint_\Omega \Big(\dfrac{\partial M}{\partial x} - \dfrac{\partial N}{\partial y} \Big) \,dx\,dy = \iint_\Omega (2x - 2x) \,dx\,dy = 0,$روش حل $\int_\Gamma (Mdy+Ndx)=\iint_{\Omega}\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial N}{\partial y}\right)dx\,dy.$
مثال $(x^2 + y^2)\ dx -2xy\ dy$جواب$x^2-y^2=Cx.$توجه کرده L نشان‌دهنده اوپراتوری دیفرانسیلی است.$\large L y = g$تابع گرینِ مربوط به اوپراتور خطی L یا همان $G ( t , s )$ در معادله زیر صدق می‌کند$\large \displaystyle L G ( t , s ) = \delta ( t – s )$ تابعی است که با اثر کردن L روی آن، تابع دلتای دیراک حاصل می‌شود$\large \displaystyle L y ( t ) = g ( t )$و$\large \displaystyle L y ( t ) = \int \delta ( t – s ) g ( s ) d s$و$\large \displaystyle L y ( t ) = \int L G ( t , s ) g ( s ) d s$و$\large \displaystyle y ( t ) = \int G ( t , s ) g ( s ) d s$یک معادله دیفرانسیل غیرهمگن مرتبه اول به‌صورت زیر است$\large \displaystyle \frac { d y } { d t } = f ( t ) y ( t) + g ( t )$حل ان $\large \displaystyle \frac{d}{dt}\left( y(t) e ^ { \int _ { t _ 0 } ^ { t } -f } \right ) = g ( t ) e ^ { \int _ { t _ 0 } ^ { t } – f }$
$\large \displaystyle \frac{d}{dt}\left( y(t) e ^ { \int _ { t _ 0 } ^ { t } -f } \right ) = g ( t ) e ^ { \int _ { t _ 0 } ^ { t } – f }$
$\large \displaystyle y(t) e^{\int _ { t _0 } ^ { t } – f } = \int_{t_0}^{t} g(\xi) e^{\int_{t_0}^{\xi} -f} d\xi$
$\large \displaystyle y ( t ) = \int _ { t _0 } ^{ t } g ( \xi ) e^{\int_{\xi}^{t} f} d \xi$در معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم خطی $\large { y ^ { \prime \prime } + { a _ 1 } \left ( x \right ) y ^ { \prime } } + { { a _ 2 } \left ( x \right ) y } ={ 0 }$فرمول لیوویل$\large { W \left( x \right ) } = { W \left ( { { x _ 0 } } \right ) \exp \left ( { – \int\limits _ { { x _0 } } ^ x { { a _1 } \left ( t \right ) d t } } \right ) }$حل مرتبه اول $f'(x)+f(x)=k$توجه $(e^x f)' = e^x (f + f') = e^x k$و جواب $f = e^{-x} \int_0^x e^s k(s) ds + Ce^{-x}$
چگونه می توان معادله دیفرانسیل $y'+y^{2}=f(x)$ را حل کرد؟من می دانم که اگر$f(x)$را بدانیم چگونه می توان از طریق مشتقات انتگرال بی انتها و راه حل های سری قدرت راه حل بی پایان را پیدا کرد. من همچنین می دانم که اگر یک راه حل خاص$y_0$) بدانیم چگونه می توان راه حل کلی پیدا کرد.
من در حال جستجو برای یک راه حل دقیق تحلیلی $y= L({f(x)})$ هستم بدون اینکه از راه حل خاصی بدانم ، در صورت وجود این راه حل. (در اینجا L یک عملگر مانند انتگرال ، مشتق ، رادیکال یا هر تابع تعریف شده ای را تعریف می کند.) اگر آن وجود ندارد ، می توانید لطفاً ثابت کنید که چرا ما نمی توانیم آن را پیدا کنیم؟توجه: این معادله مربوط به معادله خطی پراکندگی مرتبه دوم است. اگر $y=u'/u$قرار دهیم ، این معادله به u تبدیل خواهد شد $u''(x)-f(x).u(x)=0$ اگر راه حل کلی $y'+y^{2}=f(x)$ پیدا کنیم ، به این معنی است که $u''(x)-f(x).u(x)=0$نیز حل خواهد شد. همانطور که می دانیم ، بسیاری از توابع مانند عملکرد Bessel یا polinoms Hermite و بسیاری از توابع خاص مربوط به معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم است.n معادلات دیفرانسیل حالت کلی فرم: $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ را می توان به صورت زیر نوشت:$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$و$(y^2-f(x))dx +1\cdot dy=0$
حل $y''(x)+Q(x)y(x)=0$میشه $y(x)=\frac{1}{(-Q(x))^{1/4}}\bigg[A_1 exp(\int \sqrt{-Q(x)}dx)+A_2 exp(-\int \sqrt{-Q(x)}dx) \bigg]$
اثبات راه حل کلی ODE خطی مرتبه دوم همگن؟$\frac{d^2y}{dx^2} + A\frac{dy}{dx} + By = 0$معادلات دیفرانسیل ساده (ODE)، به معادلاتی گفته می‌شود که در آن یک متغیر مستقل وجود داشته باشد
معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای (PDE)، معادلاتی هستند که در آن‌ها دو یا چند متغیر مستقل وجود داشته باشد
فرض میکنم $y=c_1y_1+c_2y_2$. من$y(t_0)=y_0$و $y'(t_0)=y_0'$ فرض گرفته$y(t_0)=c_1y_1(t_0)+c_2y_2(t_0)=y_0$و$y'(t_0)=c_1y_1'(t_0)+c_2y_2'(t_o)=y_0'$ ضرایب را $\left(\begin{array}{cc}
y_1(t_0) & y_2(t_0) \\
y_1'(t_0) & y_2'(t_0)
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
c_1 \\
c_2
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}
y_0 \\
y_0'
\end{array}\right)\qquad (1)$و$W[y_1,y_2]=\left|
\begin{array}{cc}
y_1(t) & y_2(t) \\
y_1'(t) & y_2'(t)
\end{array}
\right|\neq 0$
اکنون$\left(\begin{array}{c}
c_1 \\
c_2
\end{array}\right)=\frac{1}{W[y_1,y_2](t_0)}\left(\begin{array}{cc}
y_2'(t_0) & -y_2(t_0) \\
-y_1'(t_0) & y_1(t_0)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
y_0 \\
y_0'
\end{array}\right)$از این رو c1 و c2 وجود دارد به طوری که $y=c_1y_1+c_2y_2$ و با قضیه وجود-منحصر به فرد این تنها y ممکن است به طوری که $y(t_0)=y_0$ و $y'(t_0)=y_0'$، y را مجبور می کند $L[y]=y''+Ay'+By$و$L[c_1y_1+c_2y_2]=L[c_1y_1]+L[c_2y_2]=c_1L[y_1]+c_2L[y_2]=0$
جواب عمومی معادله $y''+Ay'+By=0. $میشه $y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$امیدوارم کمک کرده باشمi hope i helped you understand the question
تصویر

ارسال پست