مرکز گرانش یک جسم چرا جابجا می‌شود؟

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
marm

نام: محمدامین

عضویت : شنبه ۱۴۰۰/۹/۱۳ - ۱۷:۴۳


پست: 11

سپاس: 3

جنسیت:

مرکز گرانش یک جسم چرا جابجا می‌شود؟

پست توسط marm »

مرکز گرانش یک جسم چگونه و چرا جابجا میشود؟
آیا در فضای بدون گرانش هنوز مرکز گرانش داریم ؟

نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2132

سپاس: 3824

جنسیت:

تماس:

Re: مرکز گرانش یک جسم چرا جابجا می‌شود؟

پست توسط rohamjpl »

مَرکَز ثِقْل Center of gravity) یا گِرانیگاه یک جسم، نقطه‌ای است که گشتاور ناشی از میدان گرانشی، حول آن نقطه صفر می‌شود.یعنی
مرکز ثقل جسم نقطه‌ای است که مجموع جبری لحظه‌های وزن تمام ذرات تشکیل‌دهنده جسم در آن صفر است. در شرایطی که میدان گرانشی یکنواخت باشد، مرکز ثقل با مرکز جرم یکسان خواهد بود، اما در حالت کلی و در میدان‌های غیریکنواخت، مرکز جرم می‌تواند از گرانی‌گاه منحرف شود. برای مثال، برای یک ماهواره در مدار زمین، گرادیان میدان گرانشی بین دو قسمت دورتر و نزدیک‌تر ماهواره به زمین، می‌تواند یک گشتاور روی ماهواره ایجاد کند. در چنین شرایطی توجه یه تفاوت مرکز جرم و مرکز ثقل الزامی است.
یک سیستم مکانیکی طوری حرکت می کند که انگار تمام جرم آن در مرکز جرمش (CM) متمرکز شده است.
اگر یک نیروی خارجی F بر این سیستم با جرم کل M وارد شود، مرکز جرم در $a = \frac{F}{M}$ شتاب می گیرد.
این مستقل از حرکت دیگر است، به عنوان مثال. لرزش، چرخش سیستم.این روش دیگری را برای نگاه کردن به بقای تکانه خطی فراهم می کند.توجه داشته باشید:مرکز جرم یک جسم متقارن و همگن باید روی یک محور تقارن قرار گیرد.
مرکز جرم دو ذره به صورت زیر بدست می آید:
$x_{CM} = \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
مرکز جرم سیستم ذرات می توانیم معادله فوق را به سیستمی از ذرات (به جای دو ذره) تعمیم دهیم. ما خواهیم داشت:
$\begin{aligned} x_{CM} &= \frac{m_{1}x_{1} + m_{2}x_{2} + m_{3}x_{3} + \dots + m_{n}x_{n}}{m_{1}+m_{2}+m_{3} + \dots + m_{n}} \\ &= \frac{\sum\limits_{i} m_{i}x_{i}}{\sum\limits_{i} m_{i}} \end{aligned}$
می‌توانیم آن را در جهت‌های دیگر گسترش دهیم:
$\begin{aligned} y_{CM} &= \frac{\sum\limits_{i} m_{i}y_{i}}{\sum\limits_{i} m_{i}} \\ z_{cm} &= \frac{\sum\limits_{i} m_{i}z_{i}}{\sum\limits_{i} m_{i}} \end{aligned}$
از آنجایی که $\vec{r}_{CM} = x_{CM} \, \hat{i} + y_{CM} \, \hat{j} + z_{CM} \, \hat{k}$
، ما داریم:
$\begin{aligned} \vec{r}_{CM} &= \frac{\sum\limits_{i} m_{i}x_{i} \, \hat{i} + m_{i}y_{i} \, \hat{j} + m_{i}z_{i} \, \hat{k}}{\sum\limits_{i} m_{i}} \\ \vec{r}_{CM} &= \frac{\sum\limits_{i} m_{i} \vec{r}_{i}}{M} \end{aligned}$
مرکز جرم یک شی گسترده در درمان فوق با سیستمی از ذرات نقطه ای سروکار داشته ایم. بیایید سعی کنیم مرکز جرم یک جسم گسترش یافته را پیدا کنیم (به موجب آن می توان آن را از ذرات نقطه ای متعددی در نظر گرفت).
ابتدا جسم گسترش یافته را به عناصری با جرم Δmi تقسیم می کنیم
، ما داریم:$x_{CM} \approx \frac{\sum\limits_{i} x_{i} \, \Delta m_{i}}{M}$
در حدودی که $\Delta m_{i} \rightarrow 0$
، ما داریم:$\begin{aligned} x_{CM} &= \lim_{\Delta m_{i} \rightarrow 0} \frac{\sum\limits_{i} x_{i} \, \Delta m_{i}}{M} \\ &= \frac{1}{M} \int x \, dm \end{aligned}$
به همین ترتیب، در جهت دیگر،
$\begin{aligned} y_{CM} &= \frac{1}{M} \int y \, dm \\ z_{CM} &= \frac{1}{M} \int z \, dm \end{aligned}$
با ترکیب، داریم:$\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int \vec{r} \, dm$
برای یک جسم همگن (با چگالی ثابت) که مرکز هندسی دارد، مرکز جرم مرکز هندسی است. (به عنوان مثال کره جامد، مکعب و استوانه)
مرکز جرم هر جسم متقارن روی یک محور تقارن و روی هر صفحه تقارن قرار دارد.
اگر $\vec{g}$ بر روی توزیع جرم ثابت است، مرکز ثقل با مرکز جرم منطبق است. اگر جسمی آزادانه از هر نقطه آویزان شود، خط عمودی از این نقطه باید از مرکز جرم عبور کند.مرکز جرم نباید درون خودجسم باشد.
اگر یک جسم صلب را در مرکز جرمش فشار دهیم، آن جسم همیشه طوری حرکت می کند که انگار یک جرم نقطه ای است. بدون توجه به شکل واقعی آن حول هیچ محوری نمی چرخد. اگر جسم در نقطه دیگری تحت یک نیروی نامتعادل قرار گیرد، آنگاه شروع به چرخش حول مرکز جرم می کند.به صورت کلی می‌توان بیان کرد که مرکز جرم، مکانی است که در آن، مجموع گشتاورها در جهت عقربه‌های ساعت حول مرکز جرم با مجموع گشتاور‌ها در خلاف جهت عقربه‌های ساعت حول همان نقطه، برابر است.
Motion Of A System Of Particlesحرکت یک سیستم ذرات
ما مرکز جرم یک سیستم از ذرات را محاسبه کرده ایم. چه ارتباطی با حرکت سیستمی از ذرات دارد؟
مرکز جرم یک سیستم از ذرات:
$\vec{r}_{CM} = \frac{\sum\limits_{i} m_{i}\vec{r}_{i}}{M}$
سرعت مرکز جرم خواهد بود:
$\begin{aligned} \vec{v}_{CM} &= \frac{d \vec{r}_{CM}}{dt} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{i} m_{i} \frac{d\vec{r}_{i}}{dt} \\ &= \frac{\sum\limits_{i} m_{i} \vec{v}_{i}}{M} \end{aligned}$
در این صورت تکانه کل یک سیستم از ذرات خواهد بود:
$\begin{aligned} M \vec{v}_{CM} &= \sum\limits_{i} m_{i} \vec{v}_{i} \\ &= \sum\limits_{i} \vec{p}_{i} \\ &= \vec{p}_{\text{tot}} \end{aligned}$
از معادله بالا می توان دریافت که تکانه خطی کل یک سیستم از ذرات برابر با یک ذره منفرد به جرم M است.
حرکت با سرعت $\vec{v}_{CM}$بیایید شتاب مرکز جرم سیستم ذرات را پیدا کنیم:
$\begin{aligned} \vec{a}_{CM} &= \frac{d \vec{v}_{CM}}{dt} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{i} m_{i} \frac{d\vec{v}_{i}}{dt} \\ &= \frac{1}{M} \sum\limits_{i} m_{i} \vec{a}_{i} \end{aligned}$
از قانون دوم نیوتن برای سیستمی از ذرات، می توانیم ببینیم که:
$M\vec{a}_{CM} = \sum\limits_{i} m_{i}\vec{a}_{i} = \sum\limits_{i} \vec{F}_{i}$
از آنجایی که $\vec{F}_{i}$
نیروهای داخلی و خارجی را شامل می شود، نیروهای داخلی خنثی می شوند و نیروهای خارجی را ترک می کنند. ما خواهیم داشت:
$\sum \vec{F}_{\text{ext}} = M \vec{a}_{CM} = \frac{d \vec{p}_{tot}}{dt}$
از معادله بالا می توان دریافت که مرکز جرم یک سیستم از ذرات مانند یک ذره خیالی با جرم M حرکت می کند.
تحت تأثیر نیروی حاصل خارجی بر روی سیستم.
تغییر در مرکز ثقل یک جسم متحرک
اگر جسمی به دلیل گرانش (Freefal) حرکت کند، مرکز جرم نیز حرکت خواهد کرد. با این حال، مرکز جرمی که با سرعت ثابت حرکت می کند، جایی که مجموع همه نیروها صفر است، همچنان جابجایی خواهد داشت. بنابراین ادعا این است که وقتی هیچ نیروی خارجی اعمال نشود، مرکز جرم سرعت خود را حفظ خواهد کرد.
فرض کنید سیستمی متشکل از دو جسم دارید که یکی زمین و دیگری یک جسم در حال سقوط است. در این سیستم دو نیرو وجود دارد که یکی به جسم در حال سقوط و دیگری به زمین اعمال می شود که هر دو با قدر و جهت مخالف هستند. سپس مرکز جرم جایی بین مرکز جرم هر دو جسم خواهد بود. از آنجایی که نیرو با جرم متناسب است، جابجایی مرکز جرم هر یک با جرم نسبت معکوس خواهد داشت. به عبارت دیگر، جابجایی مرکز جرم زمین آنقدر کوچک است که هیچ کس متوجه آن نخواهد شد. با این حال، دقیقاً جابجایی مورد نیاز برای حفظ مرکز جرم سیستم دوتایی است. ببینید مرکز جرم یک مفهوم ریاضی است که برای سهولت تجزیه و تحلیل استفاده می شود زیرا ما با معادلات حرکت برای یک ذره نقطه ای آشنا هستیم. مرکز ثقل یک مفهوم کاملا مشابه است، اما بسیار ویژه به نیروهای گرانشی است که بر روی یک جسم وارد می شود.تصویر
اکنون مرکز جرم میانگین موقعیت جرم ها است در حالی که مرکز ثقل میانگین موقعیت نیروهای گرانشی است که بر روی جرم ها عمل می کنند.از آنجایی که ما رویدادهایی را در حالت کلاسیک مشاهده می کنیم، میدان گرانشی یا gارزش (که فقط یک نمایش عملی از میدان است - نباید با خود میدان اشتباه گرفته شود) در اطراف ما روی زمین یکنواخت است. بنابراین، احتمالاً با مرکز جرم منطبق است.
اما، میدان گرانش با دور شدن از زمین یا زمانی که به اوج می‌رویم تغییر می‌کند. اما حتی در بالای قله اورست (8848 متر)، قدرت میدان گرانشی هنوز 99.6 درصد از مقدار استاندارد آن است. بنابراین، همیشه تفاوت بسیار جزئی بین مرکز جرم و مرکز ثقل وجود خواهد داشت که برای اکثر اهداف ناچیز است.با این حال، اگر میدان گرانشی متغیری در موقعیت r.t دارید، مثلا $\Phi(\vec{r})$
سپس مرکز ثقل با مرکز جرم جسم یا سیستمی که ما می خواهیم مطالعه کنیم متفاوت خواهد بود.
حال در پاسخ به سوالات شما:
س (1) - آیا مرکز جرم همچنان طوری حرکت می کند که گویی نیروی گرانش در آنجا اعمال شده است؟
بله، حرکت در طول یک مسیر مانند این است که نیروی گرانشی خالص روی مرکز جرم وارد شود. اما از آنجایی که هر دو مرکز یکسان نیستند، به یک حرکت چرخشی بدن/سیستم اضافه می شود.
س (2)-آیا این مفاهیم بهترین تعاریف مرکز جرم و مرکز ثقل نیستند؟
این سوال، من سعی کردم مفاهیم بالا را ایجاد کنم.
س (3)-اگر به یک گوشه از این جسم نیرو وارد کنم، چرخش محور چقدر خواهد بود؟
بستگی به مشکل و نیرو و خود جسم داره!
درک سردرگمی کوچک مرکز ثقل؟من کمی دچار اشتباه و سردرگمی شده ام، مرکز ثقل با $\tau = r_{cm} \times Mg$ و گشتاور با $\tau =r\times F$ داده می شود، جایی که r بردار از مبدا تا جایی که نیرو عمل می کند در حالی که F است.. در این صورت منشا کجاست؟ در نقطه تعلیق؟از آنجایی که لیوان در حالت تعادل است، فکر می کنم باید $\sum \tau =0$داشته باشیم.
، در این مورد، من فکر می کنم تنها گشتاور عمل کننده $\tau = r_{cm} \times Mg$ است، حدس می زنم این بدان معناست که $\tau = (x,y,z)\times (0,0,Mg)= (-\text{Mg} y,\text{Mg} x,0)=0$و از این رو مرکز ثقل باید در مبدا باشد؟ به نظر می رسد این منطقی نیست: یا این اشتباه است یا فرض قبلی اشتباه است؟خوب من عرض کنم که اول از همه، گشتاور ناشی از گرانش روی یک جسم $\vec{r}_{cm}\times M\vec{g}$ نیست، بلکه فقط در گرانشی یکنواخت است، گشتاور هر عنصر بینهایت کوچک جسم، $d\vec{\tau} = \vec{r}\times\vec{F}_{g}$، است که در آن $\vec{F}_{g}$ گرانشی است. نیروی dm که به طور کلی به مربع معکوس فاصله عنصر تا جسم اعمال کننده نیروی گرانشی بر آن بستگی دارد، به عنوان مثال زمین، اما با در نظر گرفتن یک گرانش یکنواخت، بنابراین $\vec{g}$ dm ضربدر $\vec{g}$ خواهد بود، گشتاور خواهد بود:
$d\vec{\tau} = \vec{r}\times{dm\vec{g}}$
اکنون با جمع کردن (ادغام کردن) روی تمام این عناصر شی که خواهیم داشت (توجه داشته باشید که $\vec{g}$
ثابت است):$\int{d\vec{\tau}} = \left ( \int {\vec{r}dm} \right )\times\vec{g}$
اولین جمله در سمت راست فقط $M\vec{r}_{cm}$است، بنابراین گشتاور گرانشی کل روی جسم ، $\vec{g}$، خواهد بود:
$\int{d\vec{\tau}} = \left ( \int {\vec{r}dm} \right )\times\vec{g}$
به همین دلیل است که آن را "مرکز ثقل" می نامند زیرا به طور کلی با مرکز جرم جسم منطبق نیست، اما از آنجایی که $\vec{F}_{g}$
در یک شی (به اندازه کافی کوچک) تغییر زیادی نمی کند، نوشتن $\vec{\tau}_{g} = \vec{r}_{cm}\times{M\vec{g}}$ تقریبی بسیار خوب است.هنگام محاسبه گشتاور ناشی از گرانش.اکنون به سوال خود بازگردیم، می توانید مبدأ محاسبه گشتاور و تکانه زاویه ای را هر نقطه ("اینرسی") در فضا که می خواهید انتخاب کنید، اما از آنجایی که نیروی محوری ناشناخته است، بهتر است اثر آن در گشتاور خالص حذف شود. با انتخاب مبدا خود در آنجا $\vec{r}_{pivot} = 0$
بنابراین ...) اکنون تنها نیرویی که دارای گشتاور است گرانش است که $\vec{\tau}_{g} =\vec{r}_{cm}\times{M\vec{g}}$ اکنون r⃗ سانتی متر غیر صفر است پس تنها راه ممکن برای گشتاور صفر برای $\vec{r}_{cm}$ و $M\vec{g}$ (نیروی گرانش) است تا در یک خط باشید (تشکیل زاویه صفر) با آویزان کردن اجسام از دو نقطه مختلف، دو خط متقاطع را خواهید دید که در مرکز ثقل یکدیگر را قطع می کنند.من مثال میزنم چگونه مرکز جرم روی صندلی راکRock به جلو حرکت می کند؟وقتی در خانه روی صندلی تکان می خوردم متوجه شدم مرکز جرم من و صندلی به صورت افقی (همچنین به صورت عمودی) حرکت می کند.
تنها نیروهای ظاهری وارد بر این سیستم، گرانش و نیروی عادی (روی صندلی) است که هر دو نمی توانند بر حرکت مرکز جرم به صورت افقی تأثیر بگذارند. و نیروهای بین من و صندلی داخلی هستند.
چگونه مرکز توده به جلو رفته است، چه چیزی را در نظر نگرفته ام؟صندلی راک
من صندلی راک را با یک دایره با یک دایره داخلی کوچکتر که مرکز ثقل (CoG) را نشان می دهد، جایگزین کرده ام. وزن آن Mg.حال فرض کنید اصطکاک زیادی بین دایره (صندلی راک) و کف وجود دارد، به طوری که از هر گونه لغزش/لغزش جلوگیری شود.
در این نقطه فاصله بین بردار mgو عمودی که از O عبور می کند L است.اکنون گرانش CoG را مجبور می کند که پایین بیاید. یک گشتاور $\tau=mgL$در مورد نقطه Oناشی می شود:$\tau=mgL$ این گشتاور باعث شتاب چرخشی دایره می شود:
$\tau=I\alpha$ این شتاب زاویه ای باعث می شود نه تنها CoG به سمت پایین بلکه به سمت راست حرکت کند.
توجه داشته باشید که صندلی راک به دلیل اینرسی، سیستم بدون مانع وارد حالت نوسانی می شود.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست