چند مبحث دینامیک سیالات

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

چند مبحث دینامیک سیالات

پست توسط rohamavation »

اخیراً در حال کاوش در دینامیک سیال بوده‌ام، اما اغلب با یک موضوع مفهومی که هرگز نمی‌توانم ذهنم را درگیر آن کنم، مشکل دارم.
برای استخراج معادلات سیال، باید سیال را به عناصر کوچکتر جدا کرده و نیروها و شتاب هر یک از عناصر کوچک را تجزیه و تحلیل کنیم. در حالی که من می توانم این را درک کنم، نمی دانم که چگونه انتخاب عناصر سیال مکعبی نیازهای فیزیکی سیال را برآورده می کند.
به عنوان مثال، در استخراج معادله برنولی، تجزیه و تحلیل فشار و شتاب یک ناحیه مکعبی سیال بسیار رایج است.
با معادل سازی شتاب عنصر سیال با نیروهای وارد بر هر دو طرف عنصر، به دست می آوریم.
$(\rho d^3) (u \frac{\partial u}{\partial x})
=-d^2(\frac{\partial p}{\partial x}d)$
با لغو $d^3$ از هر دو طرف و ادغام معادله حاصل، به دست می آوریم
$p + \frac{1}{2}\rho u^2 = c$
که معادله شناخته شده برنولی است که ما می دانیم و دوست داریم.
سردرگمی من از این واقعیت ناشی می شود که هرگاه موردی از یک حفره منقبض را در نظر می گیریم، واضح است که خطوط جریان بر محور x عمود نیستند.
در مورد چنین خطوط جریان، گرادیان فشار نباید تنها نیروی وارد بر عنصر سیال باشد. کاملاً واضح است که خطوط جریان با عنصر سیال برخورد می کنند و مقداری از حرکت افقی آن را به عنصر سیال نیز منتقل می کنند. با این حال، معادله برنولی همچنان پابرجاست، در حالی که مفروضات آن نقض می شود.
من فکر کردم که انتخاب بهتر عنصر سیال احتمالاً این عنصر ذوزنقه ای است که در آن طرفین موازی با خطوط جریان هستند زیرا با چنین مسائلی مواجه نمی شود. با این حال، تا آنجا که من می دانم، هیچ تحلیلی وجود ندارد که با عناصر سیال چنین اشکالی هنگام استخراج معادلات برنولی انجام شود.
چرا روش عنصر سیال مکعبی حتی در وهله اول کار می کند، اگر مفروضات آن ممکن است درست نباشد؟ همچنین، چرا تجزیه و تحلیل کمی با اشکال غیر مکعبی عناصر سیال انجام می شود؟hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
آخرین ویرایش توسط rohamavation چهارشنبه ۱۴۰۱/۶/۱۶ - ۰۸:۴۹, ویرایش شده کلا 2 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: چرا هنگام استخراج معادلات سیال از عناصر سیال مکعبی استفاده می کنیم

پست توسط rohamavation »

معادله برنولی در حالت محدود به دست می آید زیرا اندازه عنصر سیال کوچکتر و کوچکتر می شود و در نهایت به صفر میل می کند. از آنجایی که ما به حالت محدود کننده علاقه مندیم، شکل دقیق عنصر سیال مهم نیست. و با نزدیک‌تر شدن اندازه عنصر سیال به صفر، اثراتی مانند عمود نبودن شیب فشار واقعی بر هر وجه ناچیز می‌شوند.
در واقع، اگر هنگام استفاده از یک عنصر سیال با شکل متفاوت، شکل متفاوتی از معادله برنولی به دست آوریم، این نشانه آن است که چیزی در تحلیل ما اشتباه بوده است، زیرا عناصر سیال صرفاً اختراع خود ما برای اهداف مشتق هستند، و نه موجودات فیزیکی اگر در مختصات دکارتی کار می کنیم، عناصر سیال مکعبی با عمودهای هم تراز با محورهای مختصات، انتخاب مناسبی هستند.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
آخرین ویرایش توسط rohamavation چهارشنبه ۱۴۰۱/۶/۱۶ - ۰۸:۴۹, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: چرا هنگام استخراج معادلات سیال از عناصر سیال مکعبی استفاده می کنیم

پست توسط rohamavation »

هنگام استخراج معادله برنولی چرا فرض می کنیم که نیروها به سمت داخل هستند؟نمودار زیر را در نظر بگیرید. تمام کتاب‌های درسی که خوانده‌ام توضیح نمی‌دهند که چرا نیروها درونی فرض می‌شوند. بچه های هوپا میشه دلیلشو بگین تصویر
مبتونم بگم فشار بر روی سطوح حجم کنترلی جسم سیال به طور طبیعی عمل می کند، و هنگامی که تعادل نیرو را بر روی جسمی انجام می دهیم، فقط نیروهایی را که اجسام بیرونی به بدن مورد نظر وارد می کنند، شامل می شود، نه نیروهایی که بدن به آن وارد می کند. بدنه های بیرونی نیروی فشار خارجی F2 در جهت نشان داده شده در شکل عمل می کند.
در صورتی که فشار مثبت باشد (که معمولاً همینطور است) فلش های رو به داخل به درستی جهت نیروی وارد شده به سیال در لوله تصویر توسط سیال خارج از لوله را نشان می دهند.
اگر p1، p2 را در عبارات $p_1A_1$ و $p_2A_2$ با $-p_1$ و$-p_2$ جایگزین کنید، می توانید فلش ها را به سمت بیرون بکشید.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
آخرین ویرایش توسط rohamavation چهارشنبه ۱۴۰۱/۶/۱۶ - ۰۸:۴۹, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: چرا هنگام استخراج معادلات سیال از عناصر سیال مکعبی استفاده می کنیم

پست توسط rohamavation »

کار - کاربرد اصل انرژی در جریان سیال
هوپاییهای عزیز اصل کار - انرژی بیان می کند که کار انجام شده توسط نیروی خالص وارد بر جسم برابر است با تغییر در انرژی جنبشی جسم ما در مورد مکانیک پیوسته صحبت می کنیم. این اصل معمولاً در مکانیک اجسام جامد مطرح می شود. برای توصیف حرکت جسم کافی است بدانیم مرکز جرم جسم در زمان و مکان چگونه حرکت می کند. برای مثال، می‌توان نتیجه گرفت که جسم شتاب می‌گیرد، اگر مرکز جرم آن در دو نقطه از زمان سرعت متفاوتی داشته باشد.
به دلایلی که توضیح خواهم داد، مطمئن نیستم که چگونه این اصل را به اندازه کافی در مورد مایعات اعمال کنم.
سیال در لوله را مانند یک طرح در نظر بگیرید.تصویر
هنگامی که مایع شروع به ورود به بخش باریکتر لوله می کند، شتاب می گیرد. قانون دوم نیوتن بیان می کند که در این صورت نیروی حاصل باید روی سیال وارد شود. می بینیم که این نیرو از اختلاف فشار سیال اطراف یا گرادیان فشار ناشی می شود. اگر مقداری حجم سیال بین دو مقطع با مساحت غیر مساوی در ناحیه باریک لوله (حجم کنترل) بگیریم، می‌توانیم نمودار جسم آزاد را رسم کنیم تا تمام نیروهای وارد بر آن حجم کنترل را نشان دهیم.
انجام این کار با مشکل همراه است زیرا مایع مانند جسم جامد حرکت نمی کند، جریان دارد. به نظر می رسد مفهوم کشیدن تمام نیروهای وارد بر حجم کنترل در سیالات معنی ندارد زیرا حجم کنترل مانند جسم جامد در فضا و زمان حرکت نمی کند. مرکز جرم آن مانند اجسام جامد در فضا و زمان حرکت نمی کند، بلکه سیال در مقاطع یا نقاط مختلف لوله سرعت متفاوتی دارد.
اگر این درست است، چگونه باید قانون دوم نیوتن یا اصل کار - انرژی را برای سیالات اعمال کنیم؟ روی کدام عنصر سیال یا حجم کنترل باید نمودار نیرو رسم کنیم و قانون دوم نیوتن را اعمال کنیم؟ من فکر می‌کنم احتمالاً باید یک عنصر حجمی دیفرانسیل را انتخاب کنیم و اگر بخواهیم بدانیم سرعت آن بین دو مقطع چقدر تغییر می‌کند (برای سیال غیر لزج)، باید انتگرال خط گرادیان فشار را در امتداد مسیر جریان یا عنصر سیال محاسبه کنیم. . معمولاً گرادیان فشار ثابت است، بنابراین انتگرال خط برابر است با گرادیان فشار ضربدر فاصله بین دو مقطع.
چیزی که برای من عجیب است این است که معادله/اصل برنولی معمولاً از اصل کار - انرژی به دست می آید که در آن نمودارهای نیرو برای حجم سیال با اندازه محدود ترسیم می شود. با توجه به آنچه در بالا گفتم، این اشتقاق به نظر من اشتباه است و توازن نیرو در سیالات فقط برای عناصر حجم دیفرانسیل روی خط جریان خاص قابل انجام است. موافقید؟
مشکل استدلال شما این است که فرض می کنید سیال در ولوم کنترل ثابت است. در واقع، شما باید سیستم بسته تشکیل شده توسط سیال را در نظر بگیرید که با حجم کنترل در زمان t مطابقت دارد. بین t و t+dt، این سیستم بسته تکامل می‌یابد، انرژی جنبشی آن تغییر می‌کند و مشکلی برای ایجاد تعادل انرژی وجود ندارد.
معادله برنولی پایستگی انرژی و سیال بدون اصطکاک را فرض می کند (که هرگز درست نیست). این در بهترین حالت یک تقریب اولیه است. فرض بر این است که نیروها (مرتبط با فشار) روی پیستون‌هایی (واقعی یا تصوری) که با سیال حرکت می‌کنند، عمل می‌کنند. در یک سیال واقعی که در یک لوله جریان دارد، یک گرادیان سرعت شعاعی و کاهش فشار به دلیل اصطکاک با دیواره‌های لوله وجود دارد.
من در اینجا فرآیندی را که معمولاً هنگام برخورد با معادلات تعادل برای سیالات (یا به طور کلی پیوسته) انجام می شود، فهرست می کنم.
تعادل انتگرال، توصیف لاگرانژی: شما معمولاً از ترازهای انتگرال برای یک حجم نزدیک شروع می‌کنید، دقیقاً حجم مادی سیال که جرم را از طریق مرزهای خود مبادله نمی‌کند، و در طول تکاملش توسط همان ذرات سیال تشکیل شده است.
تعادل انتگرال، توصیف اویلر، با استفاده از قضیه حمل و نقل رینولدز، معادلات یک حجم کنترل ثابت را دریافت می کنید.
معادلات تعادل دیفرانسیل: با فرض اینکه میدان ها منظم هستند و هیچ ناپیوستگی در حوزه رخ نمی دهد، می توانید شکل دیفرانسیل معادلات را با استفاده از قضیه گاوس و قضیه واگرایی بدست آورید.
در صورت نیاز، سعی خواهم کرد طرحی از استخراج قضیه برنولی از شکل دیفرانسیل معادلات تعادل را به شما ارائه دهم. لطفاً توجه داشته باشید که قضایای برنولی قضایایی هستند، بنابراین تحت برخی مفروضات معتبر هستند (به طور کلی بقای انرژی برای جریان های تراکم پذیر، بدون ویسکوزیته و بدون گردابی برای جریان های تراکم ناپذیر)hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
آخرین ویرایش توسط rohamavation چهارشنبه ۱۴۰۱/۶/۱۶ - ۰۸:۴۹, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: چرا هنگام استخراج معادلات سیال از عناصر سیال مکعبی استفاده می کنیم

پست توسط rohamavation »

نیروهای گریز از مرکز بر جریان سیال در لوله خمیده اثر می کنند؟
شروع کردم به شک و تردید در مورد کامل بودن این تحلیل. به نظرم رسید که این رروش هیچ نیروی مرکزگرای ناشی از تغییر جهت جریان سیال را در نظر نمی گیرد. به زبان ساده:
$\vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}$
برای تجزیه و تحلیل این، هندسه زیر را برای یک خم $90^0$ در لوله ای که در یک صفحه افقی (x,y) قرار دارد در نظر بگیرید:
تصویر
لوله خم شده.مفروضات:
جریان پلاگین آشفته با سرعت ثابت سیال v، چگالی سیال$ ρ$، مقطع لوله A، شعاع خم R.
$\frac{R}{A}\gg 1$
در حال حاضر من فقط به نیروهای مرکزگرای مورد نیاز برای حفظ جریان در مسیر چرخشی آن توجه دارم.
یک عنصر بینهایت کوچک را در θ بگیرید:
$dm=\rho A Rd\theta$نیروهای مرکزگرا عبارتند از:
$dF=-\frac{v^2 dm}{R}=-\rho A v^2 d\theta$
$dF_x=-\rho A v^2\cos\theta d\theta$
$dF_y=-\rho A v^2\sin\theta d\theta$
بنابراین اینها نیروهایی هستند که لوله باید روی سیال اعمال کند:
$F_x=-\rho A v^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta d\theta=-\rho A v^2$
$F_y=-\rho A v^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta d\theta=-\rho A v^2$
اگر این درست است، بدیهی است که باید پاسخ خود را اصلاح کنم. بنابراین سوال من این است: آیا این درست است؟
خوب بچه های هوپا من اینطور عمل کردم
در زمان dt مقدار جرمی که به طرف لوله برخورد می کند:
$dm=\rho A v dt$اکنون، می دانیم که نیرو باید برآورده کند:$F_{x}dt=dp=0-vdm=-\rho A v^2 dt$
تقسیم هر دو طرف بر dt به دست می آید:
$F_{x}=-\rho A v^2$
نیروی در جهت y مانند اینجاست.و مشابه عمل میکنیم درستهhope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
آخرین ویرایش توسط rohamavation چهارشنبه ۱۴۰۱/۶/۱۶ - ۰۸:۵۰, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: چرا هنگام استخراج معادلات سیال از عناصر سیال مکعبی استفاده می کنیم

پست توسط rohamavation »

چرا معادله برنولی را می توان در امتداد دو خط جریان مختلف برای یک جریان غیر چرخشی اعمال کرد؟$p + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g y = \mathrm{constant}$
به بیان دقیق، نقاطی که معادله برنولی را روی آن‌ها اعمال می‌کنیم باید در امتداد یک خط جریان باشند. با این حال، اگر جریان غیر چرخشی باشد، مقدار ثابت برای تمام خطوط جریان در لوله جریان یکسان است، بنابراین معادله برنولی را می توان برای هر دو نقطه در جریان اعمال کرد.در اینجا p فشار سیال در یک نقطه، ρ چگالی (ثابت فرض شده)، v سرعت عنصر سیال، و y فاصله عمودی عنصر از یک نقطه مرجع ثابت است. از نقطه به نقطه، p، v و y تغییر خواهند کرد.
چگونه می توان ثابت کرد که ثابت در معادله برنولی در امتداد دو خط جریان برای جریان بی چرخشی تغییر نمی کند؟
سیال را می توان غیر چسبناک، تراکم ناپذیر و جریان ثابت فرض کرد.
از معادله پیوستگی می توانیم بنویسیم که$A_1 v_1 = A_2 v_2$ چگالی سیال ثابت است. اکنون کار انجام شده توسط فشار سیال را محاسبه می کنیم. کار انجام شده بر روی سیال ورودی در $A_1$ مقدار$p_1 A_1 v_1 \Delta t$است و کار انجام شده در $A_2$ مقدار$p_1 A_1 v_1 \Delta t$ است. بنابراین، کار خالص روی سیال بین $A_1$ و $A_2$ است
$p_1 A_1 v_1 \Delta t - p_2 A_2 v_2 \Delta t \tag1$
که باید برابر با افزایش انرژی جرم ΔM سیال در رفتن از $A_1$ به $A_2$ باشد. به عبارت دیگر،
$p_1 A_1 v_1 \Delta t - p_2 A_2 v_2 \Delta t = \Delta M (E_2 - E_1) \tag2$
که در آن $E_1$ انرژی در واحد جرم سیال در $A_1$ است و $E_2$ انرژی در واحد جرم در $A_2$ است. انرژی در واحد جرم سیال را می توان به صورت زیر نوشت
$E = \frac{1}{2}v^2 + \phi + U,$
که در آن $\frac{1}{2}v^2$ انرژی جنبشی در واحد جرم است، φ انرژی پتانسیل در واحد جرم است، و U یک عبارت اضافی است که نشان دهنده انرژی داخلی در واحد جرم سیال است. انرژی داخلی ممکن است به عنوان مثال با انرژی حرارتی در یک سیال تراکم پذیر یا انرژی شیمیایی مطابقت داشته باشد. همه این مقادیر می توانند از نقطه ای به نقطه دیگر متفاوت باشند.
حالا من فکر می کنم که این انرژی درونی می تواند انرژی چرخشی خالص تک تک مولکول ها را نیز شامل شود. بنابراین، اگر سیال غیر چرخشی باشد، سهم حرکت چرخشی تک تک ذرات صفر خواهد شد. اگر جریان چرخشی باشد، نمی‌توانیم تضمین کنیم که انرژی دورانی مولکول‌ها در واحد جرم در همه جا یکسان است.
با استفاده از این فرم برای انرژی های موجود در (2) داریم
$\frac{p_1 v_1 A_1 \Delta t}{\Delta M} - \frac{p_2 v_2 A_2 \Delta t}{\Delta M} = \frac{1}{2}v_2^2 + \phi_2 + U_2 - \frac{1}{2}v_1^2 + \phi_1 + U_1$
اما $\Delta M = \rho A v \Delta t$، پس می گیریم
$\frac{p_1}{\rho} + \frac{1}{2}v_1^2 + \phi_1 + U_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{1}{2}v_2^2 + \phi_1 + U_2,$
که نتیجه برنولی با یک عبارت اضافی برای انرژی داخلی است. اگر سیال تراکم ناپذیر و غیرقابل چرخش باشد، اصطلاح انرژی داخلی در هر دو طرف یکسان است و دوباره دریافت می کنیم که$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g y$
در امتداد هر خط جریانی نگه می دارد.
برخی مقدمات
به سوالی که می‌پرسید، حتماً باید در بیش از یک بعد پاسخ داده شود. این به این دلیل است که یک جریان یک بعدی همیشه غیر چرخشی خواهد بود و با یک خط جریان واحد مشخص می شود. بنابراین من می خواهم مشکل را در 2 بعد فضایی x,y توصیف کنم. سپس بردارهایی مانند سرعت $\vec{v} = (v_x, v_y)$خواهیم داشت.
جریان چرخشی
من همچنین باید از مشتق جزئی استفاده کنم، مشتقی فقط با توجه به یک متغیر در حالی که بقیه ثابت نگه داشته می شوند. سپس شرایط یک جریان غیر چرخشی به صورت داده شده است$\frac{\partial v_x}{\partial y} = \frac{\partial v_y}{\partial x}$
وقتی وارد حساب برداری می شوید، می بینید که وقتی این شرط نقض می شود، میدان سرعت یک گرداب کوچک ایجاد می کند. بنابراین شرط چرخشی می خواهد که چنین گرداب هایی در جریان وجود نداشته باشد.
مشتق لاگرانژی
حال بیایید نگاهی به مفهوم مشتق لاگرانژی D/dt بیندازیم. این مشتق می‌پرسد چه اتفاقی برای یک کمیت در زمان می‌افتد، اگر آن را دنبال کنم که توسط خطوط جریانی کشیده می‌شود. به عنوان مثال، ممکن است شما یک جریان ثابت داشته باشید که در هر نقطه ثابت در فضا، متغیرها هیچ تغییری را مشاهده نکنند، اما اگر از خط جریان پیروی کنید، عنصر سرعت می‌گیرد، کاهش می‌یابد، تحت فشار قرار می‌گیرد، فشار کم می‌شود... این دقیقاً موردی است که مشتق جزئی هر متغیر با توجه به زمان t صفر خواهد بود، اما مشتق لاگرانژی غیر صفر خواهد بود.
من فقط در مورد جریان های ساکن حرف میزنم و در آن صورت مشتق لاگرانژی هر کمیت q به سادگی به این صورت تعریف می شود.
$\frac{D q}{dt} = \frac{\partial q}{\partial x} v_x + \frac{\partial q}{\partial y} v_y$
اگر می‌خواهید حساب بردار را یاد بگیرید، عبارت بالا فقط معادل پیش‌بینی گرادیان q در جهت $Dq/dt = \vec{\nabla}q \cdot \vec{v}$ است.
حفاظت از انتگرال برنولی در امتداد خطوط جریان
بنابراین انتگرال برنولی برای یک سیال تراکم ناپذیر تراکم ناپذیر در یک میدان گرانشی همگن که در جهت y شتاب می گیرد به صورت زیر تعریف می شود.
$B = \frac{1}{2} \rho (v_x^2 + v_y^2) + p + \rho g y$
حال یک جریان ثابت را فرض می کنیم و معادلات اویلر را برای آن می نویسیم
$\frac{D v_x}{dt} = - \frac{p_{,x}}{\rho}$
$\frac{D v_y}{dt} = - \frac{p_{,y}}{\rho} - g$
شما باید این معادلات را بدانید که به شما می گویند یک عنصر سیال در هنگام حرکت در شیب فشار خاص و شتاب های گرانشی چه شتابی را تجربه می کند.
حال اجازه دهید هر دو معادله اویلر را در نظر بگیریم و 1) همه عبارت ها را به سمت چپ منتقل کنیم، 2) معادله x را در $\rho v_x$ و معادله y را در $\rho v_y$ ضرب کنیم، و 3) آنها را با هم جمع کنیم. چیزی که به دست می آورید همین است
$\rho (v_x \frac{D v_x}{dt} + v_y \frac{D v_y}{dt}) + (\frac{\partial p}{\partial x} v_x + \frac{\partial p}{\partial y} v_y) + \rho g v_y = 0$
می‌توانیم این را کمی بیشتر بازنویسی کنیم، با توجه به اینکه عبارات مربوط به p فقط برابر با $Dp/dt$ هستند، و همچنین با محاسبه مستقیم که می‌توانیم $v_y = D y/dt$ بنویسیم. سپس دریافت می کنیم
$\rho (v_x \frac{D v_x}{dt} + v_y \frac{D v_y}{dt}) + \frac{Dp}{dt} + \rho g \frac{D y}{dt} = 0$
حال بپرسیم اگر مشتق لاگرانژی B را بگیریم چه اتفاقی می‌افتد؟
$\frac{DB}{dt} = \rho (v_x \frac{D v_x}{dt} + v_y \frac{D v_y}{dt}) + \frac{Dp}{dt} + \rho g \frac{D y}{dt}$
اما ما می بینیم که این چیزی است که ما به تازگی ثابت کرده ایم که صفر است
معادلات اویلر! یعنی ما دریافت می کنیم که تا زمانی که معادلات اویلر برآورده می شود و تا زمانی که سیال ساکن است، داریم
$\frac{D B}{dt} = 0$
اما توجه کنید که این اثبات فقط مشتق B را در امتداد خط جریان به ما می گوید!! به عنوان مثال، می توان یک ثابت B کمی متفاوت در امتداد هر خط جریانی متفاوت داشت و هیچ منافاتی با حفظ خط جریان B ندارد.
انتگرال برنولی در جریان های بی چرخشی
بیایید فرض کنیم یک جریان غیر چرخشی ثابت داریم. اکنون، اگر مشتق آن در امتداد هر جهت فضایی ناپدید شود، تابع برنولی ثابت خواهد بود
$\frac{\partial B}{\partial z} = 0\,, \,z=x,y$
بیایید ابتدا یک مشتق با توجه به x بسازیم
$\frac{\partial B}{\partial x} = \rho (v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_y}{\partial x}) + \frac{\partial p}{\partial x}$
حال از شرط بی چرخشی $\partial v_y/\partial x = \partial v_x/\partial y$ استفاده می کنیم و به دست می آوریم
$\frac{\partial B}{\partial x} = \rho (v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_x}{\partial y}) + \frac{\partial p}{\partial x} = \rho \frac{D v_x}{dt} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$
که در آن برابری دوم به دلیل معادله x اویلر برقرار است. به روشی کاملاً مشابه از شرط irrotational در حالت y استفاده می کنیم و می گیریم
$\frac{\partial B}{\partial y} = \rho \frac{D v_y}{dt} + \frac{\partial p}{\partial y} + \rho g =0$
که اکنون معادله دوم به دلیل معادله y اویلر برقرار است.
به طور خلاصه، جریان های غیر چرخشی ثابت دارای مقدار ثابتی از انتگرال برنولی در اطراف جریان هستند. درک این موضوع از طریق شهود فیزیکی دشوار است، اما ممکن است راحت تر به آن فکر کنید برعکس. برای اینکه یک جریان ثابت غیر چرخشی باشد، لزوما باید مقدار انتگرال برنولی را در سرتاسر جریان یکنواخت کند.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
آخرین ویرایش توسط rohamavation چهارشنبه ۱۴۰۱/۶/۱۶ - ۰۸:۵۰, ویرایش شده کلا 1 بار
تصویر

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2397

سپاس: 3833

جنسیت:

تماس:

Re: چرا هنگام استخراج معادلات سیال از عناصر سیال مکعبی استفاده می کنیم

پست توسط rohamavation »

سرعت گاز وارد شده در اختلاف فشار را محاسبه کنید
من سعی می کنم یک محاسبه کلی ساده انجام دهم، اما مطمئن نیستم که به درستی به آن نزدیک می شوم. بنابراین، همانطور که برای حل این مشکل فرضیاتی می‌سازم، لطفاً هر جا اشتباه می‌کنم نظر بدهید یا مرا تصحیح کنید - دینامیک سیال برای من یک گذشته تاریک است.
من محفظه ای دارم که در آن گازی با جریان حجمی/جرمی شناخته شده وارد می کنم که با همان جریان حجمی/جرمی از محفظه خارج می شود. این تجهیزات قرار است جریان غیرقابل تراکم و ثابتی را از طریق سوراخ های کوچک در سراسر عرض ایجاد کنند. بنابراین فرض کنید گاز در جهت x جریان دارد و پس از طول شناخته شده L از آن خارج می شود.
فرض 1: من معادله اویلر را بدون اعمال نیرو فرض کردم:
$\frac{D \vec u}{Dt} = - \frac{\vec \nabla p }{\rho}$
اختلاف فشار بین دو سر وجود دارد، مثلاً p1 در ورودی و p2 در خروجی.
فرض 2: از آنجایی که تجهیزات به خوبی طراحی شده است، من یک تابع فشار خطی در سراسر محفظه پس از تعادل را فرض می کنم مانند (x=0$ $ورودی $x=L$ خروجی است):
$p(x) = p_1 + \frac{p_2 - p_1}{L}x$
با محاسبه مشتق ماده، نتیجه را پیدا می کنم:
$\frac{\partial u_x}{\partial t} + \vec u\vec\nabla u_x = - \frac{\Delta p}{\rho L}$
که منجر به:
$\begin{equation}
\frac{\partial u_x}{\partial t} + u_x\frac{\partial u_x}{\partial x}= - \frac{\Delta p}{\rho L} \; \; \; (1)
\end{equation}$
چون سرعت من تابعی از y یا z نیست.
سوال 1: آیا گاز در محفظه شتاب می گیرد؟ چون اگر اینطور باشد، مطمئناً نباید ترم اول را رد کنم. زیرا اگر این کار را انجام دهم، با حل معادله دیفرانسیل به دست می‌آید:
$u_2^2 - u_1^2 = - \frac{\Delta p}{\rho}$
که کمک زیادی نمی کند من می‌توانم میانگین سرعت‌ها را محاسبه کنم تا فرض کنم که سرعت گاز در محفظه است، اما این به نظر ساده‌سازی بیش از حد است.
سوال 2: حل معادله (1) سرعتی را به من می دهد که تابعی از x و t است. آیا این برای یک جریان ثابت و تراکم ناپذیر امکان پذیر است؟ زیرا این ایده که سرعت تابعی از t در محفظه است من را نگران می کند. من نمی توانم با تجهیزاتی که در دست دارم محاسبه کنم که چقدر طول می کشد تا "بخشی" از گاز از محفظه خارج شود.
با عرض پوزش اگر این پست طولانی است و از هر گونه راهنمایی پیشاپیش سپاسگزارم.
آنچه در Q1 خود به دست آورده اید اساساً معادله برنولی است (به جز ضریب گمشده 1/2) که بیان می کند:
$P + \rho v^2 / 2 = const$
در غیاب نیروی خارجی و با فرض جریانی که حالت ثابت، غیر لزج، تراکم ناپذیر و دمای ثابت است.
بنابراین از اینجا می توانید سرعت یک انتهای لوله را با توجه به شرایط مرزی سرعت دیگر و فشار و چگالی مشخص حل کنید.
من 100% مطمئن نیستم که واقعاً برای چه چیزی تلاش می کنید حل کنید زیرا سؤال کمی نامشخص است، اما امیدوارم که به روشن شدن آنچه استنباط کرده اید کمک کند.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست