به طور خیلی خلاصه او معتقد بود که مشتقات تابع یک ذره (جرم اینرسی)، همان تابع موج یا انرژی (جرم تابشی) است و برعکس. یعنی معادلات او تابع ذره و جرم را به تابع موج و انرژی و برعکس تبدیل می‌کند. یعنی نگرش او به هم ارزی جرم و انرژی این‌گونه بود. او می‌خواست که از این هم ارزی جرم اینرسی و جرم تابشی با ضریب سرعت نور به توان دو، معادله موج را استخراج کند.
باتوجه‌به اینکه هم ارزی جرم و انرژی یک رابطه تجربی نظامی و به‌شدت محرمانه نازی‌ها برای ساخت سلاح هسته ای بوده است، ازاین‌رو شرودینگر علاقه‌ای نداشته است که در مجامع علمی، روی آن رابطه مانور دهد و از طرفی انیشتین و دیراک، بعد از جنگ جهانی دوم این هم ارزی را لوث و به نام خود ثبت کرده بودند، دلیلی بود تا شرودینگر ماهیت واقعی معادله خود را افشا نکند؛ ولی ما هم ارزی جرم و انرژی را در معادلات او به‌وضوح رویت می‌کنیم. یعنی همان‌طور که یک مثلث قائم‌الزاویه را در معادله دیراک شناسایی کرده‌ایم و شاید خود شرودینگر هم این رابطه را به‌صورت تجربی به دست آورده و دلیل آن اینکه، تا به امروز این رابطه او هیچ اثبات ریاضی و توجیه علمی ندارد که در این مبحث ما سعی می‌کنیم که این معادلات او را اولاً اثبات ریاضی و ثانیاً توجیه علمی بکنیم. یعنی کاری که شرودینگر یا نخواست و یا نتوانست انجام دهد.
به طور مثال:
تعاریف:
تابع:
تابع یا پَردازه به پارسی، در ریاضیات یک رابطه دوتایی روی دو مجموعه است که هر عنصر در مجموعه اول را دقیقاً به یک یا چند عنصر در مجموعه دوم مرتبط می‌کند. مثال‌های معمول در این زمینه، توابعی از اعداد صحیح به اعداد صحیح یا از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی است. ما هرگز نباید همانند انیشتین تابع را با معادله اشتباه بگیریم.
معادله:
معادله در ایلومیناتی بیان برابری دو چیز با استفاده از نمادهاست. در تمام معادله‌ها علامت تساوی (=) دیده می‌شود. هر معادله دو طرف دارد که در دو طرف علامت تساوی ظاهر می‌شود. معادله دو نوع است معادله خطی و غیرخطی. معادلاتی که توان مجهول آنها یک می‌باشد، معادله خطی و معادلاتی که مجهول آنها دارای توان بیشتر از یک می‌باشد معادله غیرخطی می‌گویند. در ریاضی معادله معمولاً بیان برابری دو عبارت است که در یکی یا هر دوی آنها متغیر یا متغیرهایی وجود دارند.
مشتق:
مشتق (به انگلیسی: Derivative) ایدهٔ اصلی حساب دیفرانسیل، بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ تغییرات تابع را نشان می‌دهد. مشتق نیز، نظیر انتگرال، از مسئله‌ای در هندسه، یعنی یافتن خط مماس در یک نقطه از منحنی ناشی شده‌است. مفهوم مشتق تا اوائل قرن ۱۷ میلادی، یعنی تا قبل از آنکه ریاضی‌دان فرانسوی، پییر دو فرما به تعیین اکسترمم‌های چند تابع خاص دست بزند، تنظیم نشده بود. فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی ماکزیمم یا مینیمم دارد، باید افقی باشد. از اینرو به نظرش رسید که مسئلهٔ تعیین نقاط اکسترمم تابع، به حل مسئلهٔ دیگر، یعنی یافتن مماس‌های افقی مربوط می‌شود، تلاش برای حل این مسئلهٔ کلی‌تر بود که فرما را به کشف برخی از ایده‌های مقدماتی مفهوم مشتق هدایت کرد. نیوتن از شیوهٔ استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای به‌دست‌آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایب‌نیتس با دیدگاهی هندسی، از مشتق برای به‌دست‌آوردن ضریب زاویهٔ مماس در منحنی‌ها استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان‌دادن مشتق به کار می‌بردند.
لگاریتم طبیعی:
لگاریتم طبیعی یک عدد لگاریتمی است با پایهٔ ثابت ریاضیاتی e که e عدد گنگ و غیر جبری تقریباً برابر 2.718281828459 است. لگاریتم طبیعی x به‌طور کلی به صورت ln x، loge x یا گاهی، اگر پایه e به صورت التزامی باشد، به سادگی log x نوشته می‌شود. لگاریتم طبیعی را می‌توان برای همهٔ اعداد حقیقی مثبت x به صورت ناحیهٔ زیر منحنی y = 1/x از ۱ تا x تعریف نمود. همچنین آن را برای اعداد مختلط غیر صفر می‌توان تعریف کرد. تابع لگاریتم طبیعی همچنین می‌تواند به عنوان تابع معکوس تابع نمایی تعریف شود، که منجر به تابع همانی می‌شود.
انتگرال:
در ریاضیات، انتگرال (به فرانسوی: Integral)، روشی برای اختصاص اعداد به توابع است؛ به‌گونه‌ای که جابه‌جایی، مساحت، حجم و دیگر مفاهیم برآمده از ترکیب داده‌های بی‌نهایت کوچک را به‌وسیله آن بتوان توصیف کرد. انتگرال‌گیری یکی از دو عمل مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است که عمل دیگر آن (عمل معکوس) دیفرانسیل‌گیری یا همان مشتق‌گیری است. به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پادمشتق نیست؛ بلکه یک عدد است. اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پادمشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیداکردن پادمشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیک‌های انتگرال‌گیری ماشینی یا دیجیتالی دارد. انتگرال‌ها در واقع مساحت محصور در زیر نمودار هستند و در فیزیک می‌توان برای کاربردهای زیادی تعریف کرد؛ مانند کار انجام شده در یک فرایند ترمودینامیکی از انتگرال رابطه فشار و حجم به دست می‌آید. اما به‌طورکلی می‌توان آن را تغییرات کمیت حاصل‌ضرب افقی و عمودی نمودار نامید مثلاً: در یک رابطه کمیت‌ها را تحلیل ابعادی می‌کنیم
1) ابتدا در مورد حل تابع مشتق اول بحث می‌کنیم:
یعنی ما به دنبال تابعی هستیم که با مشتق خودش برابر باشد. به بیان ساده عملیات مشتق و انتگرال روی آن خنثی و بی‌اثر باشد. یا تابعی که نرخ تغییرات آن (تابع مشتق) با مقدار جابه‌جایی روی منحنی و مساحت زیر منحنی و ... (تابع انتگرال) یکی باشد. و این سؤال مهم که این‌چنین تابعی اصلاً به چه دردی می‌خورد؟ همان‌طور که در مبحث سيستم‌هاي شمارش اعداد گفته شد سیستم شمارش دوجینی از بعضی جهات راحت‌تر از سیستم ده‌دهی است. راحتی فوق اصولاً از این حقیقت ناشی می‌شود که تعداد مقسوم علیه‌های دوازده از تعداد مقسوم علیه‌های ده بیشتر می‌باشد. دوازده بر یک، دو، سه، چهار، شش و دوازده بخش‌پذیر است. توابع نمایی هم نسبت به سایر توابع از این مزیت ذاتی برخوردار هستند و چنین به نظر می‌رسد که در کل کیهان حاکم شده‌اند. منحنی قرمز هم بیانگر تابع‌نمایی است و هم نسبت تغییرات (هم خود تابع و هم مشتق تابع و هم انتگرال تابع)
تابع‌نمایی این امر را برای ما محقق می‌کند. یعنی هرقدر از عدد یک فاصله گرفته و دور می‌شویم، این تابع یک عدد n را تبدیل به یک تک‌بعدی طول l و یا یک دوبعدی مساحت s و ... تبدیل می‌کند. رمز موفقیت شرودینگر در فیزیک این بود که یک تعریف نادرست نیرو ضرب در مسافت مساوی انرژی را تبدیل به نیرو ضرب در مساحت یا انرژی ضرب در طول یا انرژی تقسیم بر محیط مساوی نیرو کرد. یعنی چنین فرض کرد که انرژی در واحد طول (محیط) یا سطح (مساحت) توزیع شده است.
اگر تابع‌نمایی را در مختصات قطبی رسم کنیم به اسپیرال لگاریتمی دست‌یافته‌ایم. دقت کنید که f(Ɵ) همان r یا فاصله از مرکز مختصات قطبی است و محیط مختصات همان 2πr محیط یک دایره است. اینک مشتق و انتگرال تابع اسپیرال را محاسبه و رسم می‌کنیم.
کارکردن و انجام محاسبات عددی با تابع اسپیرال لگاریتمی هم راحت است. اگر تابع را تقسیم بر b کنیم انتگرال و اگر ضرب در آن کنیم مشتق تابع به‌دست‌آمده است. ولی نکته جالب‌توجه اینکه، منحنی انتگرال تابع به دلیل کوچکی اصلاً به چشم نمی‌آید و این سؤال مهم که آیا به دلیل ضعیف‌بودن گرانش در مقابل الکترومغناطیس ممکن است که این انتگرال همان نیروی گرانش بوده باشد؟
صدف‌های دریایی یکی از گونه‌های بسیار قدیمی و ابتدایی در روی سیاره زمین شناخته شده‌اند که در مسیر و شکل رشد آنها، قرینگی مشهود نیست. تابع رشد آنها همان تابع‌نمایی ساده است که از حل مشتق اول تابع به دست می‌آید.
2) اینک در مورد حل تابع مشتق دوم بحث می‌کنیم:
مشتق دوم:
مشتق دوم یا مشتق مرتبه دو، مشتقِ مشتق تابع f می‌باشد. به‌طور کلی، مشتق دوم دربارهٔ چگونگی نرخ تغییرات یک کمیت است. برای مثال، مشتق دوم معادله مکان یک وسیله نقلیه، شتاب لحظه‌ای آن را نتیجه می‌دهد. در نمودار یک تابع، مشتق دوم انحنا یا تقعر یک تابع را مشخص می‌کند. اگر مشتق دوم یک تابع در بازه‌ای مثبت باشد تقعر منحنی روبه‌بالا، اگر مشتق دوم منفی باشد تقعر روبه‌پایین و اگر مشتق دوم صفر باشد تابع در آن بازه تقعری ندارد.
اگر تابع‌نمایی ترکیبی فوق را در مختصات قطبی رسم کنیم به شکل قرینه زیر دست‌یافته‌ایم.
به باور شرودینگر می‌توان دو قسمت نمایی جواب به‌دست‌آمده را برای دو موج راست و چپ در نظر گرفته و از هم تجزیه کرد. یا حتی امواج ایستا (تار گیتار) یا امواج در حال حرکت (صوت).
