طرح معادله دیفرانسیل برای اینرسی

[MRT]

طرح معادله دیفرانسیل برای اینرسی



در ریاضیات، شیب یا گرادیان یک خط، عددی است که توصیف‌کننده جهت و تندی آن خط است. شیب را اغلب با حرف m نشان می‌دهند؛ هیچ جواب مشخصی برای این که چرا از این حرف برای شیب استفاده شده است وجود ندارد، اما اولین‌بار این حرف در متون انگلیسی و توسط متیو او برایان استفاده شده است که معادله خط مستقیم را در آنجا به‌صورت " y = mx+b" نوشته است. همچنین در اثر ایزاک تادهانتر این معادله به‌صورت " y =mx+c" نوشته شده. شیب با پیداکردن نسبت «تغییر عمودی» به «تغییر افقی» بین (هر) دونقطهٔ متمایز روی یک خط به دست می‌آید.

تعریف شیب‌خط:

شیب‌خط برابر است با تقسیم (تفاضل عرض‌ها به تفاضل طول‌ها).

نکته: در نظر داشته باشید،

وقتی روی محور xها از چپ به راست حرکت کنیم و روی خط به سمت بالا برویم شیب‌خط مثبت خواهد بود.

وقتی روی محور xها از چپ به راست‌روی خط به پایین سر بخوریم شیب‌خط منفی هست.

اگر خط موازی محور xها باشد شیب صفر می‌باشد.

اگر خط موازی محور yها باشد شیب تعریف نشده است.


حسابان:

مفهوم شیب در حساب دیفرانسیل نقش مرکزی دارد. برای توابع غیر - خطی، نرخ تغییرات در طول یک منحنی متفاوت است. مشتق یک تابع در یک نقطه برابر شیب‌خط مماس در آن نقطه از منحنی است و ازاین‌رو برابر با نرخ تغییرات آن تابع در نقطه موردنظر است. اگر فرض کنید Δ x و Δ y فواصل (به ترتیب در طول محورهای x و y) بین نقاط روی یک منحنی باشد، آنگاه شیب بین این نقاط به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

Δ x / Δ y



در مباحث قبلی برای اینرسی معادله‌ای طرح کردیم و گفتیم که اینرسی در فیزیک کوانتوم محض مقاومت جسم یا ذره در مقابل تغییر زاویه دامنه موج است و معادله پایه موج - ذره را ارائه کردیم. ولی این زاویه در مختصات ۰ و دو پی (a 0±2kπ ) صادق است و در سایر مختصات تغییر می‌کند. اینک سعی می‌کنیم مقدار عددی این شیب را در تمامی مختصات x یا ϴ به دست آوریم. یعنی معادله دیفرانسیل اینرسی در مختصات دکارتی را به دست آوریم.




اینک برای ما مشخص می‌شود که:

1- درحالی‌که ذرات کوانتومی در حال حرکت و نوسان هستند، شیب موج آنها در حال تغییر است؛ لذا همواره در حال تغییر اینرسی و لختی هستند؛ ولی لختی یا اینرسی کلی آنها معدل و میانگین تغییرات کلی است.

2- این تغییرات اینرسی باعث پدیدارشدن حالت موجی ذرات می‌شود و برعکس.

3- معادله دیفرانسیل به‌دست‌آمده اینرسی (شیب) لحظه‌ای ذرات را باتوجه‌به سرعت خطی و موقعیت آنها در روی محور مختصات دکارتی x را نشان می‌دهد.





معادله دیفرانسیل به‌دست‌آمده فوق، اینرسی (زاویه) لحظه‌ای ذرات را باتوجه‌به سرعت خطی و موقعیت آنها در روی محور مختصات دکارتی x را نشان می‌دهد.





برای پیداکردن کمینه و بیشینه تابع موج، تابع مشتق را مساوی صفر قرار داده و معادله را نسبت به تتا حل می‌کنیم. اگر سرعت ذره صفر باشد، این مقدار بی‌نهایت و طول‌موج بی‌نهایت است؛ ولی اگر سرعت به‌سرعت نور نزدیک و معادل شود، این مقدار دوره تناوب پی دوم است که برای موج الکترومغناطیس صادق است.



محمدرضا طباطبايي 1401/12/12

[rohamavation]

معادلات دیفرانسیل در ریاضیات و علوم مهمند در فیزیک می توان از معادلات دیفرانسیل برای مدل سازی حرکت ذرات در یک سیال یا مسیر پرتابه استفاده کرد.
توانایی مدل‌سازی موقعیت‌های پیچیده با استفاده از معادلات دیفرانسیل وبا حل یک معادله دیفرانسیل آنها می توانند درک بهتری از نحوه رفتار یک سیستم و نحوه دستکاری آن برای دستیابی به یک نتیجه دلخواه به دست بیارن علاوه بر این، معادلات دیفرانسیل را می توان برای پیش بینی رفتار آینده یک سیستم استفاده کرد که می تواند در طراحی فناوری های جدید یا پیش بینی نتایج آزمایش ها مفید باشد در دینامیک سیالات محاسباتی یا CFD معادلات ناویر-استوکس شامل یک معادله پیوستگی وابسته به زمان برای بقای جرم، سه معادله پایستگی تکانه وابسته به زمان و یک معادله بقای انرژی وابسته به زمانهدینامیک سیالات محاسباتی (CFD) استفاده از ریاضیات فیزیک و نرم افزار محاسباتی کاربردی برای تجسم نحوه جریان یک گاز یا مایع است دینامیک سیالات محاسباتی نوشته جان اندرسون نمی‌دانم تا به حال از کتاب‌های دینامیک سیالات اندرسون استفاده کردین کتاباش عالیه کتاب‌های او همگی بسیار جذابند و بیشتر متن را به توصیف آنچه باید بدونید به جای بیان معادلات و مشتقات صرف کرده. این کتاب برای اولین مقدمه این موضوع خوبه،هم مبانی نظری روش حجم محدود (FVM) و هم کاربردهای آن در دینامیک سیالات محاسباتی (CFD) را بررسی می کند.
از سوی دیگر، مکانیک سیالات محاسباتی و انتقال حرارت یک مرجع تقریباً کامل برای تقریباً هر موضوعی است که در CFD با آن مواجه می شوید. هزاران اطلاعات در مورد طرح‌های عددی رایج برای بسیاری از انواع مختلف معادلات، مشتق‌های فراوان و توضیح تئوری برای روش‌ها، و غیره. اصول CFD با این اوصاف، هر زمان که سؤالی داشتم، باید جستجو کنم یا در مورد مفاهیم تجدید نظر کنم، این کتابی است که اکنون انتخاب می کنم. این کتابی است که برای کتاب درسی در کلاس CFD در سطح فارغ التحصیل من استفاده می شود.
کتاب اول یک نمای کلی خوب و تقریباً روایی از CFD به شما ارائه می دهد و اطلاعات و معادلات کافی برای نوشتن یا استفاده از یک حل کننده اصلی CFD را در اختیار شما قرار میده معادلات با مشتق‌های جزئیPartial Differential Equations PDE . سخت افزارها و منابع محاسباتی والگوریتم عددی سه ضلع مثلث CFD هستند. برای مطالعه‌‌ی سیالات و پیش‌بینی رفتار آن‌ها
مشخص نیست که چرا حرف m برای شیب انتخاب شده است. انتخاب ممکن است دلخواه بوده باشه. جان کانوی پیشنهاد کرده که m می تواند به معنای مدول شیب باشه. کلمه monter ریشه فرانسوی داره
اوایل امروز در مورد اینرسی چرخشی و نحوه محاسبه آن برای اشکال مختلف با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال صحبت کردیم. عدم استفاده از معادله تفاوت با این حال، آیا کسی می تواند توضیح دهد که چرا این انتگرال داده شده یک معادله دیفرانسیل است؟ توجه داشته باشید که من با معادلات دیفرانسیل با جداسازی متغیرها سروکار دارم
تعریف ممان اینرسی به صورت:$I = \int_0^L R^2 \, dm$
جایی که L طول شی داده شده، R فاصله عمود یک ذره از محور چرخش و dm جرم هر ذره بینهایت کوچک جسم را نشون میده
با استفاده از این واقعیت که $\lambda \, dR = dm$
به طوری که $m = \lambda R$
، من می توانم انتگرال بالا را به صورت زیر بازنویسی کنم:
$I = \int_0^L \lambda R^2 \, dr$
شما می تونین λ از آنجایی که ثابته و سپس به سادگی ادغام کنید تا$I = \dfrac{\lambda L^3}{3}$
سپس، می توانید λ را جایگزین کنید بازگشت به عنوان $\dfrac{m}{R}$ برای محاسبه$I = \dfrac {mL^2}{3}$
نکته که اینرسی چرخشی برای یک میله یکنواخت بلند است که در آن محور فقط از انتهای آن است. سوال من این است چرا این یک معادله دیفرانسیل در نظر گرفته می شود؟ آیا این یک معادله دیفرانسیل است به این دلیل که در
$I = \int_0^L R^2 \, dm$ما با توجه به یک متغیر یکسان را ادغام نمی کنیم (R)؟ مجبور به بازنویسی انتگرال بر حسب R و شما
- این چیزی است که این تفاوت را ایجاد می کند. معادله؟معادلات محاسباتی-دیفرانسیل یک معادله دیفرانسیل یک تابع را به مشتقات آن مرتبط می کند. یک مثال ساده این است
$\frac{d y(x)}{d x} - y(x) = 0$با شرط مرزی $y(0) = 1$. راه حل $y(x) = e^x$ است.معادله $I = \int_0^L R^2 d m$
به I مربوط نیست به مشتقات آن (مثلاً به نظر نمی رسد$\frac{d^2 I}{d x^2} + 4 \frac{d I}{d x} + 3 I = 0$
.) بنابراین، این یک معادله دیفرانسیل نیست. سمت راست فقط یک انتگراله که باید برای یافتن ممان اینرسی محاسبه کنین. توجه داشته باشید که I حتی تغییر نمی کنه، فقط مقداری ثابت است که به شما میگه چرخاندن جسم چقدر سخته
انتگرال ممان اینرسی جرم دارد نه دیفرانسیل شعاع؟
ما در مورداستخراج ممان اینرسی به صورت زیر یاد می‌گیریم:
$\int r^2 dm$با این حال، برای من این به نظر میرسه که اسونه و پیش پا افتاده به عنوان دانشجوی ترم هفتم هوافضا دیفرانسیل در ادغام را تقریباً متغیر "مستقل" و تابع داخل را به عنوان متغیر "وابسته" می بینم (زمانی که ما معمولاً یکپارچه سازی انجام میدم چیزی شبیه به $\int f(x) dx$دارم
با این حال، با این ایده، به نظر میرسه که شعاع به نوعی تابعی از جرم است. من فکر می کنم برعکس باشد، همانطور که شعاع را وارد می کنم و سپس تابع جرم دیفرانسیل را در یک شعاع معین به من میده. آیا می توانید لطفاً به من شهودی بدهید که چرا ما جسم را به جرم های متفاوت تقسیم می کنیم و به فاصله های تفاضلی از محور چرخش نمی کنیم؟
فرض کنید جرم یک نقطه ای m دارید در فاصله r، سپس ممان اینرسی البته فقط$I = mr^2$
اما فرض کنید جرم ما یک جسم گسترش یافته است نه یک جرم نقطه ای، بنابراین معادله بالا اعمال نمیشه. ما می توانیم یک تقریبی برای I بدست آوریم با تقسیم جرم به n توده های کوچکتر$m_i$ با مراکز جرم در $r_i$
$\begin{align}
I &\approx m_0r_0^2 + m_1r_1^2 + \text{...} + m_nr_n^2 \\
&\approx \sum_{i~=~0}^n m_i r_i^2
\end{align}$
برای اینکه دقیق من این کار را انجام بدم، تقسیم را به تعداد نامتناهی از جرم های بی نهایت کوچک dm افزایش میدم
، و مجموع به یک انتگرال تبدیل می شود:
$I = \int~\mathrm dm\,r^2$و معادله ای که میده به این معنیه. اما در عمل ما r را بیان نمی کنیم به عنوان تابعی از m و با توجه به dm ادغام کنید. در عوض توجه می کنیم که $\mathrm dm = \rho~\mathrm dV$، جایی که dV حجم بی نهایت کوچک جرم بی نهایت کوچک ما است. فرض کنید از مختصات دکارتی با محور چرخش در امتداد z استفاده می کنم
محور، سپس عنصر حجم ما $\mathrm dV = \mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$ است و انتگرال ما می شود:
$I = \int \int \int r(x,y)^2 \rho(x,y,z)~\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz$جایی که r فاصله از محور ه $r^2 = x^2 + y^2$اما نوشتن$\displaystyle \int r^2~\mathrm dm$
بسیار کوتاهتر است و به همان معنیه انتگرال در سؤال تعریف قابل قبولیه وقتی می نویسم$I = \int dm \, r^2$در اینجا منظور من این که r فاصله یک نقطه جسم از محور چرخش، تابعی از جرمه. تعریفی معادل از I هستش $I = \int_V dV \, \rho \, r^2$
جایی که دوباره r فاصله از محوره اما این بار تابعی از موقعیت نقطه است.میله ای با ضخامت و طول بی نهایت کوچک ℓ را در نظر بگیرید در xy-سطح مثلاً روی x قرار گرفته است محور از مبدا به x=ℓ، و ما آن را در مورد z می چرخانیم-محور. سپس جرم یک نقطه در فاصله x از مبدا $m(x) = \lambda x$ خواهد بود، جایی که λ چگالی خطی است. معکوس کردن این یعنی محور $r^2_{\mathrm{axis}} = \frac{m^2}{\lambda^2}$و با استفاده از اولین تعریف Iبا ادغام همه توده ها، ما داریم،
$I = \int_0^{\lambda \ell} dm \, \frac{m^2}{\lambda^2} = \frac{1}{3}\lambda \ell^3 = \frac{1}{3}M\ell^2$
که در آن M=λℓ جرم کل است. حال، با ادامه تعریف دوم، توجه داشته باشید که چگالی$\rho(x,y) = \lambda \delta(y)\mathbb{1}_{[0,\ell]}( x)$ است.
و اینکه فاصله از محور با $r^2_{\mathrm{axis}} = x^2 + y^2$ داده می شود
. یکپارچه سازی$\int_V dy dx \, \rho (x^2 + y^2) = \left[ \frac{1}{3}\lambda x^3\right]^{\ell}_0 = \frac{1}{3}\lambda \ell^3 = \frac{1}{3}M\ell^2.$از این مثال، می توانید متوجه شوید که چرا تعاریف معادل هستند، اما ما اغلب از دومی استفاده می کنیم، به ویژه به این دلیل که بیان فاصله از محور به عنوان تابعی از جرم همیشه به این سادگی نیست