تابع اتلاف رایلی

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 3222

سپاس: 5492

جنسیت:

تماس:

تابع اتلاف رایلی

پست توسط rohamavation »

، سیستم‌های اتلاف معمولاً وابستگی‌های پیچیده‌ای به سرعت و ویژگی‌های سطح دارن که با گنجاندن نیروی پسا اتلافی به‌طور صریح به‌عنوان نیروی کشش تعمیم‌یافته ببینید در معادلات اویلر-لاگرانژ، . نیروی پسا می تواند هر نوع وابستگی عملکردی به سرعت، موقعیت یا زمان داشته باشه.
$\mathbf{F}^{drag}=-f(\mathbf{\dot{q}},\mathbf{q},t)\mathbf{\hat{v}}$ رهام 1
توجه داشته باشین که از آنجایی که نیروی پسا اتلافی است، جزء غالب نیروی پسا باید در جهت مخالف بردار سرعت باشه.
رایلی نشان داد که اگر نیروی اتلاف کننده F به طور خطی به سرعت بستگی دارد می توان آن را بر حسب تابعی پتانسیل اسکالر مختصات تعمیم یافته به نام تابع اتلاف رایلی $\mathcal{R(}\mathbf{\dot{q})}$ بیان کرد. . تابع اتلاف ریلی روشی خوب و جذاب برای گنجاندن نیروهای اتلاف وابسته به سرعت خطی در مکانیک لاگرانژی و همیلتونیه،
نیروهای اتلاف تعمیم یافته برای وابستگی به سرعت خطیn را در نظر بگیرید معادلات حرکت برای n درجه آزادی، و فرض کنید که اتلاف به صورت خطی به سرعت بستگی دارد. سپس، اجازه دادن تمام جفت شدن متقابل ممکن معادلات حرکت برای$q_{j},$ معادلات حرکت مینویسم
$\sum_{i=1}^{n}\left[ m_{ij} \ddot{q}_{j}+b_{ij}\dot{q}_{j}+c_{ij}q_{j}-Q_{i}(t)\right] =0 $ رهام 2
ضرب معادله 1رهام
توسط$\dot{q}_{i}$
انتگرال زمان را بگیرید و بر i,j جمع کنید
، معادله انرژی زیر را به دست می دهد رهام 3
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\int_{0}^{t}m_{ij}\ddot{q}_{j}\dot{q} _{i}dt+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\int_{0}^{t}b_{ij}\dot{q}_{j}\dot{q} _{i}dt+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\int_{0}^{t}c_{ij}q_{j}\dot{q} _{i}dt=\sum_{i}^{n}\int_{0}^{t}Q_{i}(t)\dot{q}_{i}dt$
عبارت سمت راست کل انرژی است که توسط نیروهای تعمیم یافته خارجی $Q_{i}(t)$ به سیستم عرضه می شود.
در زمان t . اولین جمله انتگرال زمانی در سمت چپ انرژی جنبشی کل است، در حالی که جمله انتگرال زمانی سوم برابر با انرژی پتانسیله. دومین عبارت انتگرال در سمت چپ برابر با$ 2R(q˙)$ تعریف کردم. که در آن تابع اتلاف رایلی $R(q˙)$
رهام 4
$\mathcal{R}(\mathbf{ \dot{q}})\mathcal{\equiv }\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}b_{ij}\dot{q }_{i}\dot{q}_{j}$و جمع بر همه n ذرات سیستم این تعریف به اثرات جفت متقابل پیچیده بین n ذرات.
معمولاً می توان از اثرات جفت شدن ذره-ذره چشم پوشی کرد تا از تعریف ساده تری که فقط شامل اصطلاحات موربه استفاده بشه سپس فرم مورب تابع اتلاف ریلی ساده میکنم رهام 5
$\mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})\mathcal{\equiv }\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}b_{i} \dot{q}_{i}^{2}$بنابراین نیروی اصطکاک در $q_{i}$
جهت به صورت خطی به سرعت$\dot{q}_{i}$ بستگی دارد رهام6
، به این معنا که$F_{q_{i}}^{f}=-\frac{\partial \mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q} _{i}}=-b_{i}\dot{q}_{i}$
به طور کلی، نیروی اتلاف گرادیان سرعت تابع اتلاف ریلی است. رهام7
$\mathbf{F}^{f}=-\nabla _{\mathbf{\dot{q}}}\mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})$اهمیت فیزیکی تابع اتلاف ریلی با محاسبه کار انجام شده توسط یک ذره i نشان دادم
در برابر اصطکاک، که است رهام8
$dW_{i}^{f}=-\mathbf{F}_{i}^{f}\cdot d\mathbf{r=-F}_{i}^{f}\cdot \mathbf{\dot{ q}}_{i}dt=b_{i}\dot{q}_{i}^{2}dt$
از این رو رهام9
$2\mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})\mathcal{=}\frac{dW^{f}}{dt}$
که میزان تلفات انرژی (قدرت) ناشی از نیروهای اتلاف کننده درگیر است. همین رابطه پس از جمع بر روی تمام ذرات درگیر به دست می آید.
تبدیل نیروی اصطکاک به مختصات تعمیم یافته به معادله رهام 6 نیاز دارد.رهام 10
$\mathbf{\dot{r}}_{i}\mathbf{=}\sum_{k}\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{ \partial q_{k}}\dot{q}_{k}+\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial t}$توجه داشته باشید که مشتق با توجه به $q˙k$
برابر است رهام 11
$\frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}$با استفاده از معادلات رهام6
ورهام 7
، جزء نیروی اصطکاکی تعمیم یافته
از رابطه زیر بدست می آید رهام 12
$Q_{j}^{f}=\sum_{i=1}^{n}\mathbf{F}_{i}^{f}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i} }{\partial q_{j}}=\sum_{i=1}^{n}\mathbf{F}_{i}^{f}\cdot \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}=-\sum_{i=1}^{n}\nabla _{v_{i}} \mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})\cdot \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_{i}}{ \partial \dot{q}_{j}}=-\frac{\partial \mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})}{ \partial \dot{q}_{j}}$معادله رهام 10
یک بیان زیبا برای نیروی اتلاف تعمیم یافته ارائه می دهد
از نظر پتانسیل اتلاف اسکالر ریلی R
.نیروهای اتلاف تعمیم یافته برای وابستگی به سرعت غیرخطی
بحث بالا در مورد تابع اتلاف ریلی به مورد خاص اتلاف وابسته به سرعت خطی محدود شد. دامنه فرمالیسم کلاسیک رایلی-لاگرانژ را می توان گسترش بدم تا اتلاف وابسته به سرعت غیرخطی را با فرض اینکه نیروهای اتلاف غیر محافظه کار توسط رهام 13
$\mathbf{F}_{i}^{f}=-\frac{\partial R(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})}{\partial \mathbf{\dot{q}}}$که در آن تابع اتلاف ریلی تعمیم یافته$ّ R(q,q˙)$
رابطه کلی مکانیک لاگرانژ را برآورده می کند رهام 14
$\frac{\delta L}{\delta q}-\frac{\partial R}{\partial \dot{q}}=0$این تابع اتلاف ریلی تعمیم‌یافته محدودیت قبلی برای فرآیندهای اتلاف خطی را حذف میکنه که دامنه اعتبار استفاده از تابع اتلاف رایلی را تا حد زیادی گسترش میده
معادلات حرکت لاگرانژ
نیروهای اتلاف خطی را می توان با استفاده از تابع اتلاف رایلی به عنوان نیروی تعمیم یافته به طور مستقیم و به زیبایی در مکانیک لاگرانژی جای داد
. درج تابع اتلاف ریلی رهام 12
در معادلات حرکت لاگرانژ تعمیم یافته میده رهام 15
$\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} =\left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k} \frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC}\right] - \frac{\partial \mathcal{R(}\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q}_{j} }$
مربوط به نیروهای تعمیم یافته باقی مانده پس از حذف نیروی اصطکاکی خطی تعمیم یافته وابسته به سرعته
.نیروهای هولونومیک محدودیت در عبارت ضریب لاگرانژ جذب میشن
مکانیک هامیلتونی
اگر نیروهای غیر محافظه کار به طور خطی به سرعت بستگی داشته باشند و مطابق با معادله رهام 4از تابع اتلاف رایلی مشتق شوند.رهام 16 و رهام 17
، سپس با استفاده از تعریف تکانه تعمیم یافته می دهد$\begin{align} \dot{p}_{i} &=&\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{ \partial L}{\partial q_{i}}+\left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC}\right] -\frac{\partial \mathcal{R(}\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q}_{j}} \\ \dot{p}_{i} &=&-\frac{\partial H(\mathbf{p,q},t\mathbf{)}}{\partial q_{i}}+ \left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}( \mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC}\right] -\frac{\partial \mathcal{R(}\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q}_{j}}\end{align}$
بنابراین معادلات همیلتون تبدیل می شود رهام 18 و رهام 19
$\begin{align} \dot{q}_{i} &=&\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \\ \dot{p}_{i} &=&-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}+\left[ \sum_{k=1}^{m} \lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC} \right] -\frac{\partial \mathcal{R(}\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q}_{j}}\end{align}$تابع اتلاف ریلی R(q,q˙)
روشی زیبا و راحت برای محاسبه نیروهای اتلاف کننده در مکانیک لاگرانژی و همیلتونی ارائه میده
: نوسانگرهای خطی رانده، خطی میرایی، کوپل شده
دو نوسانگر جفت شده یکسان و خطی میرا شده را در نظر بگیرید ( ثابت میرایی β
تصویر
: نوسانگرهای خطی با هدایت هارمونیک، میرایی خطی، جفت شده.
یک نیروی تناوبی $F=F_{0}\cos (\omega t)$
به جرم سمت چپ m اعمال میشه
. انرژی جنبشی سیستم است
$T=\frac{1}{2}m(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2})\nonumber$
انرژی پتانسیل است
$U=\frac{1}{2}\kappa x_{1}^{2}+\frac{1}{2}\kappa x_{2}^{2}+\frac{1}{2}\kappa ^{\prime }\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}=\frac{1}{2}\left( \kappa +\kappa ^{\prime }\right) x_{1}^{2}+\frac{1}{2}\left( \kappa +\kappa ^{\prime }\right) x_{2}^{2}-\kappa ^{\prime }x_{1}x_{2} \notag$
بنابراین لاگرانژی برابر است
$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_2^{2})-\left[ \frac{1}{2} ( \kappa +\kappa^{\prime } ) x_{1}^{2}+\frac{1}{2} ( \kappa +\kappa^{\prime } ) x_{2}^{2}-\kappa^{\prime }x_{1}x_{2}\right]\nonumber$
از آنجایی که میرایی خطییه می توانم از تابع اتلاف رایلی استفاده کنم
$\mathcal{R=}\frac{1}{2}\beta (\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2})\nonumber$
نیروهای تعمیم یافته اعمال شده هستند
$Q_{1}^{\prime }=F_{o}\cos \left( \omega t\right) \hspace{1in}Q_{2}^{\prime }=0\nonumber$
از معادلات اویلر-لاگرانژ برای استخراج معادلات حرکت
$\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} +\frac{\partial \mathcal{F}}{ \partial \dot{q}_{j}}=Q_{j}^{\prime }+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{ \partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)\nonumber$می دهد
$\begin{aligned} m\ddot{x}_{1}+\beta \dot{x}_{1}+(\kappa +\kappa ^{\prime })x_{1}-\kappa ^{\prime }x_{2} &=&F_{0}\cos \left( \omega t\right) \\ m\ddot{x}_{2}+\beta \dot{x}_{2}+(\kappa +\kappa ^{\prime })x_{2}-\kappa ^{\prime }x_{1} &=&0\end{aligned}$
این دو معادله جفت شده را می توان با تبدیل به مختصات معمولی، $\eta _{1},\eta _{2}$جدا و ساده کرد.
جایی که$\eta _{1}=x_{1}-x_{2}\hspace{1in}\eta _{2}=x_{1}+x_{2}\nonumber$
بدین ترتیب
$x_{1}=\frac{1}{2}(\eta _{1}+\eta _{2})\hspace{1in}x_{2}=\frac{1}{2}(\eta _{2}-\eta _{1})\nonumber$
اینها را در معادلات حرکت وارد کنید
$\begin{aligned} m(\ddot{\eta}_{1}+\ddot{\eta}_{2})+\beta (\dot{\eta}_{1}+\dot{\eta} _{2})+(\kappa +\kappa ^{\prime })(\eta _{1}+\eta _{2})-\kappa ^{\prime }(\eta _{2}-\eta _{1}) &=&2F_{0}\cos \left( \omega t\right) \\ m(\eta _{2}-\eta _{1})+\beta (\eta _{2}-\eta _{1})+(\kappa +\kappa ^{\prime })(\eta _{2}-\eta _{1})-\kappa ^{\prime }(\eta _{1}+\eta _{2}) &=&0\end{aligned}$
با جمع و تفریق این دو معادله دو معادله جدا شده زیر بدست می آید
$\begin{aligned} \ddot{\eta}_{1}+\frac{\beta }{m}\dot{\eta}_{1}+\frac{\left( \kappa +2\kappa ^{\prime }\right) }{m}\eta _{1} &=&\frac{F_{0}}{m}\cos \left( \omega t\right) \\ \ddot{\eta}_{2}+\frac{\beta }{m}\dot{\eta}_{2}+\frac{\kappa }{m}\eta _{2} &=& \frac{F_{0}}{m}\cos \left( \omega t\right)\end{aligned}$
$\Gamma =\frac{\beta }{m},\omega _{1}=\sqrt{\frac{\left( \kappa +2\kappa ^{\prime }\right) }{m}},\omega _{2}=\sqrt{\frac{\kappa }{m}} ,A=\frac{F_{0}}{m}$ را تعریف کنید.
. سپس دو معادله مستقل حرکت تبدیل می شوند
$\ddot{\eta}_{1}+\Gamma \dot{\eta}_{1}+\omega _{1}^{2}\eta _{1}=A\cos \left( \omega t\right) \hspace{1in}\ddot{\eta}_{2}+\Gamma \dot{\eta}_{2}+\omega _{2}^{2}\eta _{2}=A\cos \left( \omega t\right)\nonumber$ این راه حل برهم نهی از دو حالت نرمال میرایی خطی مستقل $\eta _{1}$و $\eta _{2}$ است
که فرکانس های طبیعی متفاوتی دارند ω1 و ω2 . برای میرایی ضعیف این دو حالت عادی محرک هر کدام تحت حرکت نوسانی میرایی با $\eta _{1}$و$\eta _{2}$ هستند.
حالت های عادی که رزونانس هایی را در $\omega _{1}^{\prime }=\sqrt{\omega _{1}^{2}-2\left( \frac{\Gamma }{2}\right) ^{2}}$و $\omega _{2}^{\prime }=\sqrt{\omega _{2}^{2}-2\left( \frac{ \Gamma }{2}\right) ^{2}}$نشان می دهند
تصویر

ارسال پست