اگر بعد از برخورد دو جسم با سرعت یکسانی حرکت کنند، چرا برخورد نمی تواند کشسان باشد؟
من کاملاً درک نمی کنم که چرا دو جسم نمی توانند در برخورد الاستیک به هم بچسبند. من چندین منبع پیدا کرده ام که می گویند اگر دو جسم با هم برخورد کنند و در نهایت با سرعت یکسانی حرکت کنند، برخورد آنها کاملا غیر کشسان است. نمیفهمم چرا :برخوردهایی که در آنها انرژی جنبشی حفظ نمی شود، یعنی در آن مقداری انرژی منظم به انرژی درونی تبدیل می شود، برخورد غیر کشسان نامیده می شود. اگر این دو جسم پس از برخورد به هم بچسبند و با سرعت مشترک vf حرکت کنند، در این صورت گفته می‌شود که برخورد کاملا غیر کشسان است.بیایید فرض کنیم اجسام به هم می چسبند و با سرعت نهایی حرکت می کنند
و همچنین فرض کنید که انرژی جنبشی حفظ شده است. بیایید فقط با یک برخورد در یک بعد کار کنیم.
$m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v$و$\frac12m_1v_1^2+\frac12m_2v_2^2=\frac12(m_1+m_2)v^2$
سپس ما دو معادله بقای خود را داریم
$m_1v_1-m_1v=m_2v-m_2v_2$
$m_1v_1^2-m_1v^2=m_2v^2-m_2v_2^2$
با تنظیم مجدد دریافت می کنیم:
$\frac{m_1v_1^2-m_1v^2}{m_1v_1-m_1v}=\frac{m_2v^2-m_2v_2^2}{m_2v-m_2v_2}$
تقسیم دومی بر اولی:
به این ترتیب توده ها لغو می کنند و ما می توانیم از این واقعیت استفاده کنیم$(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)$
برای رسیدن به$v_1+v=v+v_2$یا$v_1=v_2$
اما این یک تناقض است! اگر اجسام با همان سرعت شروع می‌شدند و لمس نمی‌شدند، هرگز برخوردی وجود نداشت. یا، آنها از قبل لمس می کردند. بنابراین این یک اثبات با تناقض است که نشان می‌دهد وقتی اجسام در هنگام برخورد ، انرژی نمی‌تواند حفظ شود. پس مخالف نیز صادق است: اگر انرژی جنبشی حفظ شود، اجسام نمی توانند به هم بچسبند. به عبارت دیگر، هر دو فرض اولیه ما نمی توانند همزمان درست باشند
طبق تعریف، برخورد الاستیک برخوردی است که در آن انرژی مکانیکی کل حفظ می شود. یعنی انرژی جنبشی سیستم قبل و بعد از برخورد یکسان خواهد بود.
راه دیگر برای بررسی آن استفاده از ضریب استرداد است. اگر ضریب بازگشت 0 باشد، پس زدگی (بازگشت) صفر وجود دارد و برخورد کاملا غیر کشسان نامیده می شود. اگر ضریب بازگشت چیزی بیشتر از 0 باشد، توپ ها (یا اجسام) را در هنگام برخورد از یکدیگر دور می کند و هر دو جسم نمی توانند سرعت یکسانی داشته باشند.
[media]
آیا برخورد دو جسم می تواند منجر به سرعت یک جسم بیشتر از هر جسم قبل از برخورد شود؟
[/media]فرض کنید من 2 توپ بیلیارد کاملاً الاستیک با همان اندازه و جرم داشتم که می‌توانند روی یک میز بی‌پایان بیلیارد بغلتند و هیچ انرژی جنبشی در اثر اصطکاک از دست ندهند.
آیا مجموعه ای از 2 سرعت v1 و v2 (سرعت و جهت) و زمان شروع و موقعیت شروع به گونه ای وجود دارد که توپ ها با هم برخورد کنند و نتیجه این است که یکی از سرعت های توپ بزرگتر از v1 و بزرگتر از v2 باشد؟
اگر توپ ها دارای جرم های متفاوتی بودند، همان سوال؟آیا مجموعه ای از 2 سرعت v1 و v2 (سرعت و جهت) و زمان شروع و موقعیت شروع به گونه ای وجود دارد که توپ ها با هم برخورد کنند و نتیجه این است که یکی از سرعت های توپ بزرگتر از v1 و بزرگتر از v2 باشد؟
برای یک جفت جرم مساوی، پاسخ منفی است.
اگر به برخورد دو جرم در کادری که مرکز جرم آنها در حال استراحت است نگاه کنیم، هر توپ با همان سرعتی (یا کمتر) که وارد شده است حرکت می کند.
اگر به برخورد در هر فریم دیگری نگاه کنیم، آنگاه هر تقویتی که به یکی از اشیاء خروجی می دهیم، به طور همزمان شی ورودی دیگر را تقویت می کند. بنابراین نمی توانید سرعت را از این طریق افزایش دهید.
اما اگر جرم اشیاء نابرابر باشد (یا شما بیش از دو داشته باشید تا زوجی بتوانند با دیگری "باند" شوند)، مشکلی نیست. برخورد را در کادری مشاهده کنید که مرکز جرم به سمت جرم سبک‌تر حرکت می‌کند (به عنوان مثال، برخوردی که جرم سبک‌تر در حالت استراحت است). در آن قاب، جرم سبک‌تر با سرعت بیشتری نسبت به جرم سنگین‌تر وارد می‌شود.
خوب چیزی که من واقعاً تعجب کردم این بود که آیا یک دسته از توپ‌های بیلیارد با حرکت آهسته می‌توانند طوری برخورد کنند که یکی از آنها با سرعتی بالاتر از هر یک از آنها قبل از برخورد به دور رانده شود؟ یعنی آیا می توان برعکس ضربه شکست را انجام داد؟
خب، کنترل آن مثال خاص دشوار است. از نظر تئوری امکان پذیر است، بله. فقط به طور چشمگیری بعید است. این فقط یک مورد خاص از مثال اول است که در آن شما یک جسم با جرم سنگین (در این مورد تمام توپ های موجود در قفسه) دارید که به یک جسم با جرم پایین تر (به توپ نشانه) برخورد می کند.
چیزی که کاملاً یکسان نیست، اما مشابه موردی است که در آن چندین توپ را در یک خط عمودی روی زمین می‌اندازید. اگر آنها را بر حسب جرم مرتب کنید، می توانید توپ بالایی را بسیار بالاتر/سریعتر از آنچه که با هر یک از آنها شروع شده بود به عقب برگردانید
سرعت حاصل ممکن است فقط <= سرعت بسته شدن 2 جسمی باشد که با هم برخورد کرده اند.
اگر می توانید یک قاب دلخواه انتخاب کنید، این نادرست است. بیایید مثال قطار در مقابل توپ تنیس را گسترش دهیم. در این حالت قطار بسیار پرجرمتر از توپ تنیس است، می توانیم مرکز جرم را قطار فرض کنیم. در چارچوب قطار، توپ با همان سرعتی که ضربه زده است، به عقب برمی‌گردد.
بنابراین بیایید تصور کنیم قطار با سرعت 30 متر بر ثانیه به شما نزدیک می شود و شما با سرعت 10 متر بر ثانیه توپ تنیس را به سمت آن پرتاب می کنید. این سرعت بسته شدن 40 متر بر ثانیه است. در چارچوب قطار، توپ با سرعت 40 متر بر ثانیه نزدیک می شود، سپس با سرعت 40 متر بر ثانیه حرکت می کند. در فریم شما روی سکو، توپ با سرعت 10 متر بر ثانیه پرتاب می شود و با سرعت 70 متر بر ثانیه به سمت شما برمی گردد. بنابراین سرعت توپ (در چارچوب شما) از سرعت بسته شدن 40 متر بر ثانیه بیشتر است.
اگر پاسخ شما درست بود، می‌توانستم یک توپ پرتاب را به دیوار پرتاب کنم و با سرعتی بیشتر از آنچه پرتاب کرده‌ام منحرف شود.
این کار دشواری خواهد بود زیرا بیشتر اوقات شما ثابت می ایستید و بنابراین (تقریباً) در حالت استراحت با مرکز جرم هستید. آنچه قبلاً گفتم این بود که برای تحقق آن، مرکز جرم باید به سمت برخورد حرکت می کرد. اگر دیوار حرکت نمی کند، آن شرط درست نیست.
اولین چیزی که می‌خواهم شما را در نظر بگیرم این است که Velocities افزودنی نیستند.
هنگامی که یک ماده با هم برخورد می کند، حرکت حرکت به طور جمعی منتقل می شود و نه سرعت به عنوان یک جزء واحد.
اگر یک جرم سنگین به جرم کوچکتری برخورد کند، تکانه جمعی افزایش می یابد اما سرعت جمعی کاهش می یابد.
از معادله تکانه نیوتن M1V1=M2V2 مشهود است
نادرست - دو جسم در حال برخورد تنها در صورتی تغییر سرعت یکسانی را تجربه خواهند کرد که جرم یکسانی داشته باشند و برخورد در یک سیستم ایزوله رخ دهد. با این حال، اگر سیستم از نیروهای خارجی جدا شود، تغییرات تکانه آنها برابر خواهد بود.
آیا سرعت بالاتر یک برخورد را کم یا زیاد الاستیک می کند؟ اصلا تاثیری روی آن دارد؟
یکی از معیارهای الاستیسیته یک برخورد، ضریب بازگشت است که با استفاده از
$e=\sqrt \frac{KE_{after}}{KE_{before}}$
جایی که e بین 0 تا 1 است.
e=1 برای برخورد کاملاً الاستیک و e=0 برای برخورد کاملاً غیر کشسان.
اگر e ثابت باشد، افزایش سرعت اولیه نباید کشسانی برخورد را تغییر دهد. با این حال فقط برای محدوده محدود سرعت ثابت است.
به طور کلی، برای یک جسم معین، هر چه تغییر شکل بیشتر باشد، اتلاف انرژی جنبشی بیشتر به عنوان گرما تلف می شود. و هر چه سرعت ضربه بیشتر باشد تغییر شکل بیشتر می شود. برای تغییر شکل های کوچک، رفتار ممکن است بسته به ماده به قانون هوک (الاستیک خطی) نزدیک شود و برخورد کشسان تر می شود.
خط پایین: افزایش سرعت قبل از برخورد عموماً برخورد را غیر کشسان تر می کند.
امیدوارم این کمک کند.
دو جسم با سرعت مساوی و مخالف به طور الاستیک با هم برخورد می کنند. اگر جرم دو جسم متفاوت باشد، سرعت نهایی کدام یک بیشتر است؟
سؤالات تکلیف درسی و سؤالات بررسی کار من
سوال: دو جسم، یکی کم جرم تر از دیگری، به صورت کشسانی با هم برخورد می کنند و پس از برخورد به عقب باز می گردند. اگر این دو در ابتدا دارای سرعت هایی با اندازه مساوی اما در جهت مخالف بودند، پس از برخورد کدام یک سریعتر حرکت می کند؟
فرض کنید $v_{1f} = -v_{1i}$و $v_{2f} = -v_{2i}$
. با توجه به اینکه $v_{1i} = -v_{2i}, m_1 > m_2 \Rightarrow \Sigma{p_i} = m_{1}v_{i} - m_{2}v_{i} \neq \Sigma{p_f} = -m_{1}v_{i} + m_{2}v_{i}$
$(1) \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1f}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2f}^2$
$(2) v_{1i} - v_{2i} = v_{2f} - v_{2i}$
برای رسیدن به یک دلیل، اما فایده ای نداشت. من به طور شهودی می‌دانم که اندازه سرعت جسم سنگین‌تر از جسم سبک‌تر کمتر است،
P.S. همه کتاب‌های درسی به برخورد الاستیک بین دو جرم مساوی اشاره می‌کنند (تبادل لحظه‌ها)، اما من در طول جستجوی خود چیزی پیدا نکردم که سرعت‌های برابر و مخالف را داشته باشد اما جرم‌های متفاوت را بیان کند.اولین چیزی که باید به آن توجه کرد، تکانه اولیه سیستم 2 جرمی در امتداد جهت جرم سنگین تر است.
فرض کنید هر دو دارای سرعت اولیه v0 هستند
جهت مخالف یکدیگر، و جهت سرعت اولیه M مثبت است (M>m). و بعد از برخورد می گوییم m
و M دارای سرعت v2، v1 به ترتیب در جهت مخالف بنابراین v1 در جهت سرعت سرعت M قبل از برخورد است. بنابراین می‌توانیم بقای حرکت بنویسیم، می‌دانیم تکانه اولیه در جهت سرعت M قبل از برخورد مثبت است، بنابراین داریم:
$mv_1-Mv_2>0 \implies v_1>\frac{M}{m}v_2 >v_2 \implies v_1>v_2$
از این رو توپ کوچکتر پس از برخورد سرعت بیشتری دار
اگر دو جسم با اختلاف سرعت یکسان برخورد کنند، آیا در صورت حرکت یکی از اجسام، نیروی وارده تغییر می کند؟
آیا نیروی بیشتری نسبت به توپ سیاهی که با سرعت 200 مایل در ساعت حرکت می کند و با توپ قرمزی که با سرعت 100 مایل در ساعت در همان جهت حرکت می کند، وارد می کند؟
نه، نیرو به سرعت مرکز جرم بستگی ندارد، فقط به سرعت نسبی بستگی دارد. برای مشاهده این موضوع، با معادلات یک برخورد غیرکشسان شروع کنید.
$v_a=\frac{C_r m_b (u_b-u_a)+m_a u_a+m_b u_b}{m_a+m_b}$
$v_b=\frac{C_r m_a (u_a-u_b)+m_a u_a+m_b u_b}{m_a+m_b}$
سپس، سرعت اولیه نسبی و سرعت مرکز جرم را تعریف کنید
$u_r=u_a-u_b$
$u_c=\frac{m_a u_a+m_b u_b}{m_a+m_b}$
در نهایت تغییر در تکانه را تعریف کنید که همان ضربه/نیرو است
$\Delta p_a=m_a (v_a-u_a)$
$\Delta p_b=m_b (v_b-u_b)$
اکنون 6 معادله داریم، بنابراین می توانیم از 4 برای حذف va استفاده کنیم
، vb، ua، و ub برای بدست آوردن عبارات Δpa و Δpb از نظر ur و uc. وقتی این کار را انجام می دهیم به دست می آوریم
$\Delta p_a=-\frac{(C_r+1) m_a m_b }{m_a+m_b}u_r$
$\Delta p_b=\frac{(C_r+1) m_a m_b }{m_a+m_b}u_r$
همانطور که می بینید، تغییر در تکانه فقط به ur بستگی دارد
و نه در uc. بنابراین تا زمانی که سرعت نسبی ثابت نگه داشته شود (و جرم ها و غیره)، فرقی نمی کند که سرعت مرکز جرم چقدر باشد.اول، در مورد پرسیدن نیروها در مسائل تکانه دقت کنید. تغییر تکانه (تکانه) ممکن است در دو موقعیت یکسان باشد، اما نیرو ممکن است متفاوت باشد زیرا:
$\int{Fdt} = \Delta p$
یا اگر با حساب دیفرانسیل و انتگرال آشنایی ندارید
$F_{avg}\Delta t = \Delta p$
برای تضمین نیروی یکسان باید تضمین کنید که هم تغییر تکانه و هم زمان عمل نیرو (زمان ضربه) یکسان است. در مثال شما، اگر توپ سیاه و توپ قرمز، مثلاً، دو توپ گلف باشند، و در سناریوی دوم، آنها همان توپ‌های گلف باشند، می‌توانید به طور منطقی بگویید که زمان تماس یکسان است، بنابراین نیرو برای همان تغییر تکانه برابر باشد. اما فرض کنید در سناریوی دوم توپ قرمز را با یک توپ پنبه ای تغییر دهید. حتی اگر جرم توپ پنبه و سرعت آن با تصویری که شما نشان داده اید یکسان باشد، نمی توانید بگویید که زمان تماس یکسان است، بنابراین نمی توان گفت که نیرو یکسان است.
اکنون در پاسخ به سوال شما با در نظر گرفتن تمام این هشدارها: نه، نیروها یکسان هستند. تغییر تکانه فقط به سرعت نسبی ذرات بستگی دارد. از آنجایی که هر دوی آنها دارای سرعت ثابت اولیه هستند، می توانید نقطه مرجعی را انتخاب کنید که سرعت ثابت هر یک از آنها یکسان باشد (مثلاً توپ قرمز)، و در مرجع توپ قرمز در هر دو مورد، توپ سیاه به سمت حرکت می کند. با سرعت 100 مایل در ساعت، قوانین حرکت در تمام فریم‌های اینرسی یکسان است، بنابراین برخوردها یکسان خواهند بود و تغییر تکانه یکسانی را برای هر توپ ایجاد می‌کنند (با حفظ مقدار کل)
PS: شما همچنین می توانید این نتیجه را با در نظر گرفتن نقطه مرجع به عنوان مرکز جرم (cm) تعمیم دهید. در این مورد از مسائل دو جسمی، سرعت سانتی متر همیشه ثابت خواهد بود و در هر صورت نیروها فقط به حرکت نسبی ذرات بستگی دارند.
برخورد الاستیک خطی 3 جسم
توپ A (2 کیلوگرم) با سرعت 4 متر بر ثانیه به سمت توپ B (1 کیلوگرم) حرکت می کند. در طرف دیگر، توپ C (7 کیلوگرم) با سرعت 3 متر بر ثانیه به سمت توپ B حرکت می کند. اگر هر سه توپ همزمان با هم برخورد کشسانی داشته باشند، سرعت نهایی هر توپ چقدر است؟ این یک سیستم یک بعدی بدون چرخش است و ضریب استرداد 1 است.
من سعی کرده ام که توپ ها یکی یکی با هم برخورد کنند، اما زمانی که A و B اول با هم برخورد می کنند و زمانی که B و C اول برخورد می کنند، پاسخ های متفاوتی دریافت کردم.
شما باید دو تکانه را در نظر بگیرید که همزمان به جرم B برخورد می کنند. اگر ضربه بین AB تکانه (تکانه) با اندازه $J_{AB}$ را مبادله کند
و تاثیر بین مبادلات BC تکانه (تکانه) مقدار$J_{BC}$
سپس تغییر در سرعت هستند
$\Delta v_A = \frac{-J_{AB}}{m_A} \\$
$\Delta v_A = \frac{-J_{AB}}{m_A} \\$
$ \Delta v_C = \frac{J_{BC}}{m_C}$
حال در قانون تماس که سرعت های نهایی را به سرعت های اولیه ربط می دهد از موارد فوق استفاده کنید
$(v_A + \Delta v_A) - (v_B + \Delta v_B) = -\epsilon (v_A-v_B) \mbox{A to B contact}\\$
$ (v_B + \Delta v_B) - (v_C + \Delta v_C) = -\epsilon (v_B-v_C) \mbox{B to C contact}\\$
جایی که ε=1
ضریب استرداد است.
این دو معادله برای دو تکانه مجهول، $J_{AB}$ و ر$J_{BC}$. هستند
$ J_{AB} = (1+\epsilon) \frac{ m_A m_B (v_A-v_B) + m_A m_C (v_A-v_C)}{m_A+m_B+m_C}$
$J_{BC} = (1+\epsilon) \frac{m_A m_C (v_A-v_C) + m_B m_C (v_B-v_C)}{m_A+m_B+m_C}$
در نهایت از این اولین مجموعه عبارات برای پیدا کردن تغییر در سرعت استفاده کنید.
چرا پایستگی تکانه خطی در این مورد برقرار نیست؟
بنابراین جعبه کوچک در تصویر سیستم ایزوله من را نشان می دهد که از دو جرم m تشکیل شده است
و M که M به کف سیستم ثابت می شود - نمی توان آن را جابجا کرد. سیستم تخلیه شده و در فضا است (از این رو عاری از تأثیر گرانش). علاوه بر این برخورد m
و M الاستیک است.
شک من این است:قبل از برخورد (جعبه سمت چپ)، تکانه خطی سیستم m است
$\vec{v}$.پس از برخورد، تکانه خطی سیستم -m خواهد بود$\vec{v}-$.
آیا این تناقضی با وقف تکانه خطی در یک سیستم منزوی نیست؟
برخورد نیوتنی-مکانیک لحظه ای-قانون حفاظت
حق با منه که در سناریویی که تنظیم کردید تناقض وجود دارد. در واقع، تناقض در همان جمله اول شما ظاهر می شود:
سیستم ایزوله من ... که M
به کف سیستم ثابت می شود.
من باید انتخاب کنید. یا سیستم ایزوله است یا جرم M
با "طبقه" در تعامل است. شما نمی توانید هر دو را داشته باشید. بنابراین نباید تعجب کنید که با شروع از این فرض متناقض، نتایج به ظاهر غیرممکن دیگری را به دست آورده اید.
من فکر می‌کنم بحث در مورد سه راه صحیح برای تنظیم مشکل مفید خواهد بود. راه اول جایی است که یک عامل خارجی جرم M را نگه می دارد
درست شد. مورد دوم جایی است که توده ها واقعاً منزوی هستند. برای مورد سوم، دوباره موردی را در نظر می گیریم که در آن جرم ها واقعاً منزوی هستند، اما به حرکت در یک قاب ثابت به جرم M نگاه خواهیم کرد.در حالت اول، جایی که جرم M توسط یک عامل خارجی در جای خود ثابت می شود، تکانه سیستم دو جرمی در واقع از $m\vec{v}$ تغییر می کند.
به $-m\vec{v}$، و بنابراین تکانه این سیستم حفظ نمی شود، اما این مجاز است زیرا یک سیستم منزوی نیست. تکانه از طریق نیرویی که برای نگه داشتن جرم M استفاده می شود به عامل خارجی منتقل می شود
درجا. بنابراین حرکت کلی هنوز حفظ می شود.
حال در حالت دوم که جرم ها را جدا شده فرض می کنیم، جرم M
وقتی تحت تاثیر جرم m قرار می گیرد پس می زند
و مقداری که پس می‌زند دقیقاً با پایستگی تکانه تعیین می‌شود، بنابراین در این مورد دوباره تکانه حفظ می‌شود.
مورد سوم و آخر جایی است که هر دو سیستم جدا شده اند، اما ما حرکت را در چارچوب جرم M مشاهده می کنیم
. در اینجا به نظر می رسد که تناقضی وجود دارد زیرا توده ها واقعاً منزوی هستند و جرم M
واقعاً به نظر می رسد که ثابت شده است. راه حل این تناقض این است که قاب غیر اینرسی است و قوانین نیوتن در قاب های اینرسی صادق هستند. قاب ثابت به جرم M
در لحظه برخورد شتاب می گیرد، دقیقا زمانی که به نظر می رسد تکانه کل تغییر می کند.
