دو دیسک چرخان با تکانه زاویه ای یکسان در هنگام تماس کاملاً متوقف میشن. چرا حرکت زاویه ای در این مورد حفظ نمیشه؟
دو دیسک نصب شده بر روی میله های نازک و سبک وزن مختلف که از طریق مرکز آنها جهت گیری شدن طوری ساخته شدن که به طور جداگانه حول محورهای خود بچرخن خوب به طوری که تکانه زاویه ای این دو حول محورهای مربوطه خود از نظر مقدار و جهت یکسان باشه. هنگامی که هر دو در تماس قرار میگیرن به دلیل نیروی اصطکاک متوقف میشن چرا حرکت زاویه ای در مورد محورهای آنها در این مورد حفظ نمیشه؟ (قبل از تماس مثبت بود اما پس از تکمیل فرآیند صفر شد نیروی خارجی نیز وجود نداشت)وای گیج شدم
این دو دیسک یک تکانه (یک تکانه تکانه) را مبادله میکنند که در شعاع‌های متفاوتی برای هر دیسک عمل میکنه و در نتیجه مقدار حرکت زاویه‌ای متفاوتی مبادله میشه. در پایان دیسک ممکنه چرخش را متوقف نکنه اما به شکلی سازگار بچرخه (بدون لغزش). اگر دیسک ها را مجبور به توقف کنم در این صورت حفاظت را نقض میکنم
دو دیسک شناور آزاد با چرخش های ناسازگار را در نظر میگیرم جایی که یک دندانه چرخ دنده در نقطه A قرار است در نقطه ای در آینده با هم تماس پیدا کنه.
تکانه انتقالی و زاویه ای هر قسمت
$\begin{aligned} p_1 & = 0 & L_1 & = I_1 \omega_1 \\ p_2 &= 0 & L_2 & = I_2 \omega_2 \\ p_{\rm total} & = 0 & L_{\rm total} &= I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 \end{aligned}$تکانه زاویه ای کل بدون توجه به نقطه اندازه گیری یکسانه زیرا تکانه انتقالی صفره. بنابراین میتونم تکانه زاویه‌ای کل را در مورد نقطه تماس اندازه‌گیری کنم.
الان تماس زمانی اتفاق میفته که نقاط A تراز بشن. این باعث یک تکانه برابر و مخالف J میشه روی دو دیسک عمل کنه.
صرف نظر از ارزش J نتیجه فقط تغییر در سرعت زاویه ای $\Delta \omega_1$ نیستش و $\Delta \omega_2$
، بلکه به دست آوردن سرعت انتقالی دو مرکز دیسک $\Delta v_1$ و $\Delta v_2$من دارم
$\begin{aligned}
\Delta v_1 & = -\frac{J}{m_1} & \Delta \omega_1 & = -\frac{R_1\,J}{I_1} \\
\Delta v_2 & = +\frac{J}{m_2} & \Delta \omega_2 & = -\frac{R_2\,J}{I_2}
\end{aligned} \tag{1}$
خوب تغییر حرکت انتقالی و زاویه ای هر قسمته
$\begin{aligned}
\Delta p_1 & = m_1 \Delta v_1 = J &
\Delta L_1 & = I_1 \Delta \omega_1 - R_1 (m_1 \Delta v_1) = 0\\
\Delta p_2 & = -m_2 \Delta v_2 = -J &
\Delta L_2 & = I_2 \Delta \omega_2 + R_2 (m_2 \Delta v_2) = 0
\end{aligned} \tag{2}$
بنابراین تغییر در تکانه کل انتقالی و زاویه ایه$\Delta p_1 + \Delta p_2 = J - J = 0 \; \checkmark \tag{3}$و$\Delta L_1 + \Delta L_2 = 0 + 0 \; = 0\checkmark \tag{4}$
بنابراین صرف نظر از مقدار ضربه حفظ معتبره
حال اگر حالت نهایی نیاز به لغزش نداره یا $\Delta v_1 + R_1 (\omega_1 + \Delta \omega_1 ) = \Delta v_2-R_2 ( \omega_2 + \Delta \omega_2)$
سپس از سرعت های گام از بالا برای پیدا کردنش استفاده میکنم
$\left( \tfrac{1}{m_1} + \tfrac{R_1^2}{I_1} + \tfrac{1}{m_2} + \tfrac{R_2^2}{I_2} \right) J = R_1 \omega_1 + R_2 \omega_2 \tag{5}$
که برای $J
$ حل شده میدونم که حرکت نهایی از (1) با $\omega_1^\text{final} = \omega_1 + \Delta \omega_1$ پیدا میشه
و به طور مشابه برای تمام مقادیر دیگه همینطوره
نتیجه اینه که فقط در شرایط خاص یکی از دیسک‌ها میتونه چرخش را پس از تماس بگیره اما نه هر دو به طور همزمان. حتی زمانی که دو دیسک یکسان باشند در پایان مراکز آنها بالا و پایین منتقل میشن و چرخش مخالف دارن
راه توقف دو دیسک در صورتیه که مرکز آنها به زمین متصل باشه. اینو میشه در بالا با $m_1 \rightarrow \infty$ و $m_2 \rightarrow \infty$مدل کردش
. شرط لازم برای توقف دیسک ها پس از ضربه اونه
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{I_1 \omega_1}{I_2 \omega_2} = \frac{R_1}{R_2}$
خوب با این فرض شروع کنم که دو دیسک دارای تکانه زاویه ای برابر در مورد محورهای خود هستن که برابر با $\vec{L}$ است.
. و بگذارم دو دیسک با سرعت های زاویه ای $\vec{\omega_1}$و$\vec{\omega_2}$ در حال چرخش باشن
از شعاع R1 و R2 با جرم M1 و M2 به ترتیب (برای دیسک های 1 و 2). خئب ممان اینرسی آنها$I_1$ و $I_2$باشه
در مورد مرکز جرمهای مربوطه $I_1 = \frac{M_1R_1^2}{2}$
و$I_2 = \frac{M_2R_2^2}{2}$
و همچنین$\vec{L} = I_1\vec{\omega_1} = I_2\vec{\omega_2} ...(i)$
حال به این سوال میرسی که حرکت زاویه ای همیشه به محور انتخاب شده بستگی داره. بنابراین اگر تکانه زاویه ای اولیه و نهایی را حول محور از هر یک از مراکز در نظر بگیرم تکانه زاویه ای به هیچ وجه حفظ نمیشه زیرا یک گشتاور خارجی به دلیل اصطکاک در نقطه تماس مشترک و فاصله بین محور و مشترک آنها عمل میکنه. نقطه تماس صفر نخواهد بود.
اما اگر تکانه زاویه ای محور را از طریق نقطه تماس آنها و عمود بر صفحه دیسک ها در نظر بگیرم باید آن را حفظ کرد زیرا گشتاور صفره اخه فاصله بین نقطه عمل اصطکاک و محور انتخابی من صفره دیگه
من میتونم با حل این موضوع را تأیید کنم.
از معادله (i) میتونم بفهمم که سرعت زاویه ای و تکانه زاویه ای همیشه در یک جهتند.خوب الانه با در نظر گرفتن تکانه زاویه ای اولیه حول محور از طریق نقطه تماس من دارم$\vec{L_{net}} = I_1\vec{\omega_1} + I_2\vec{\omega_2}$
توجه: در اینجا $\vec{L_1} = \vec{L_2}$ به عنوان نقطه تماس در وسط راه بین مراکز قرار داره
بنابراین با حل به محاسبه میکنم$\vec{L_{net}} = 0$
از این رو حتی اگر چرخش دیسک ها متوقف بشن (که لازم نیست) تکانه زاویه ای همچنان 0 خواهد بود و از این رو حفظ میشه
لازم نیستش که سرعت های زاویه ای نهایی صفر باشه ببینید اخه به جرم و شعاع آنها بستگی داره. همچنین انرژی جنبشی دورانی در ابتدا بیشتر از انرژی نهایی خواهد بود. بنابراین انرژی جنبشی حفظ نخواهد شد.
