با تغییر ممان اینرسی چه اتفاقی برای انرژی جنبشی دورانی می افتد؟تمرینی که ΔK.E. کمتر از صفر است وصل شده . اما این انرژی کجا میره اگر ممان اینرسی کاهش یابد، دوباره به KE چرخشی تبدیل میشه تغییر انرژی جنبشی را چگونه توضیح بدم
در مکانیک نیوتنی معادله دارم $K_{initial} + W = K_{final}$
در اینجا کار با تغییر I انجام میشه ممان اینرسی. برای انجام این کار توزیع جرم جسم باید بیشتر از محور چرخش جابجا بشه
به طور طبیعی حداقل برخی از ذرات جسم باید از محور چرخش دور شوند. برای انجام این کار نیروی خارجی مورد نیازه. جابجایی این ذرات در برابر نیروی مرکز محوریه که باعث چرخش میشه - مانند کشش. این منجر به از دست دادن انرژی جنبشی ذره و در نتیجه سیستم می شود. (کار منفی توسط نیروی مرکز روی ذره او انجام می شود)
دقیقا چه مقدار انرژی از دست رفته توسط ΔE داده میشه که من محاسبه کردم
فرض کنید یک رقصنده بالرین در حال چرخش با سرعت زاویه ای ثابت و بازوهایش هستش. سپس دست‌هایش را جمع کرده که ممان اینرسی او را تغییر داده و سرعت زاویه‌ای او را افزایش داده. هیچ گشتاور خارجی در این فرآیند اعمال نشده خوب. یعنی تکانه زاویه ای حفظ شده دیگه. بنابراین با محاسبه بالا اینیعنی که انرژی جنبشی او افزایش می یابه
اما این با حفظ انرژی مطابقت نداره. خوب ببینیم که اگر ممان اینرسی کاهش یابدسرعت زاویه ای افزایش می یابه. اما این بدان معناست که انرژی جنبشی به طور کلی افزایش مییابه. اما اگر هیچ گشتاور خالصی عمل نمیکنه پس این انرژی از کجا میاد
توجه کنید لازم نیست بالرین باشه از نظر تئوری میتونه هر جسم سفت و سختی باشه.
اما اگر هیچ گشتاور خالصی عمل نمیکنه پس این انرژی از کجا میاد انرژی از برخی منابع داخلی انرژی میاد. در مورد بالرین از انرژی شیمیایی در ماهیچه ها میاد. برای موارد دیگر میتونه باتری داخلی یا فنر یا چیزی مشابه دیگیه باشه
انرژی جنبشی را می توان توسط نیروهای داخلی (یا گشتاورهای داخلی) تغییر داد.اشتباه نکنیو منم خیلی اشتباه و گاها متوجهش نمیشم زیرا این رفتار با حرکت حرکتی متفاوته که فقط توسط نیروهای خارجی (یا گشتاورهای خارجی) قابل تغییره این اشتباه از اینجایهکه دینامیک یک جسم منفرد و صلب به نحوی به دینامیک سیستم‌های اجسام گسترش داده شده تو علم مکانیک به سیستم های جسم نمی پردازه برای یک جسم منفرد صلب درسته که فقط نیروهای خارجی می توانند KE را تغییر بدن زیرا نیروهای داخلی نمی توانند کار کنند (صلب = بدون جابجایی نسبی). وقتی سیستمی داریم که نیروهای داخلی می‌توانند کار کنند مانند سیستم تغییر شکل‌پذیراینطور نیست.$\omega(dI) + I(d\omega) = 0$
برای توضیح تغییر انرژی جنبشی در یک سیستم با تغییر ممان اینرسی میتونم از معادله کار-انرژی استفاده کنم:$
-K
initial
+W=K
final
$که در اینجا $K
initial$ انرژی جنبشی اولیهW کار انجام شده و $K
final$ انرژی جنبشی نهایی است.اگر تغییر ممان اینرسی (I) را در نظر بگیرم کار انجام شده بر روی سیستم میتونه $W=ΔK
rotation
$که در اینجا $ΔK
rotation$ تغییر انرژی جنبشی دورانیه.حالا معادله کار-انرژی را با توجه به تغییر ممان اینرسی بازنویسی کردم:$K
initial
+ΔK
rotation
=K
final
$اگر $K
initial
$ بیانگر انرژی جنبشی اولیه جسم باشه این انرژی میتونه شامل دو بخش باشه انرژی جنبشی خطی $(
linear
K
linear
)$ و انرژی جنبشی دورانی $(
-K
rotation
)،$ ، یعنی:$K
initial
=K
linear
+K
rotation
$حالا معادله کار-انرژی اینطوری میشه :$K
linear
+K
rotation
+ΔK
rotation
=K
final
$اگر ممان اینرسی (I) افزایش یابه خوب یعنی که انرژی جنبشی دورانی $(
rotation
K
rotation
)$ افزایش میابه دیگه. در این حالت هم تغییر انرژی جنبشی دورانی $ (
Δ
rotation
ΔK
rotation
$ خوب مثبته .اگر ممان اینرسی (I) کاهش یابه انرژی جنبشی دورانی $ (
K
rotation
)$ کاهش میادو تغییر انرژی جنبشی دورانی $ (
ΔK
rotation
)$ ) خوبمنفیه دیگه.در مواردی که $
K
linear
$ تغییر نکنه و فقط به تفاوتشون انرژی جنبشی دورانی توجه کنیم می‌توان تغییر انرژی جنبشی دورانی :$ΔK
rotation
=K
rotation, final
−K
rotation, initial
$خوب اگر ممان اینرسیI کاهش یابه انرژی جنبشی دورانی $(
K
rotation
)$ ) نیز کاهش پیدا کرده و تغییر انرژی دورانی$ (
ΔK
rotation
)$ منفیه خوب این انرژی کاهش یافته ممکنه به عنوان کار مقابله با نیروهای داخلی (مانند اصطکاک داخلی) یا به عنوان کار مربوط به انجام کار بر روی سیستم (مثل نیروهای جابجایی جرم در محیط) محاسبه بشه.اگر ممان اینرسی I در یک سیستم افزایش یابده و تکانه زاویه‌ایL سیستم حفظ شه میتونم از قانون حفظ تکانه زاویه‌ای :$L
initial
=L
final
$که در اینجا $
L
initial
$,و$L
final
$ به ترتیب تکانه زاویه‌ای اولیه و نهایی سیستم هستن.تکانه زاویه‌ای L به شکل زیر تعریف میشه:$L=I⋅ω$که در اینجا I ممان اینرسی و $ω $سرعت زاویه‌ای سیستم هستن
حالا اگر ممان اینرسیI افزایش یابه و تکانه زاویه‌ای L حفظ بشه معادله حفظ تکانه زاویه‌ای اینطوریه:$I initial ⋅ω initial =I final ⋅ω final $
اگر سرعت زاویه‌ای ω نیز در نظر گرفته بشه معادله حفظ تکانه زاویه‌ای اینطور میارم:$I
initial
⋅ω
initial
=I
final
⋅ω
final
$از این معادله خوب میتونم تغییرات در سرعت زاویه‌ای Δω را محاسبه کنم:$Δω=
I
final
I
initial
⋅ω
initial
−I
final
⋅ω
final
$اگر ممان اینرسی افزایش یابه و تکانه زاویه‌ای حفظ بشه این منجر به کاهش در سرعت زاویه‌ایΔω<0 میشه. یعنی، با افزایش ممان اینرسیسرعت زاویه‌ای کاهش پیدا میکنه. این تغییر در سرعت زاویه‌ای ممکنه باعث انتقال انرژی از انرژی جنبشی دورانی به دیگر اشکال انرژی بشه
