تغییر در سرعت چرخش با پریدن از روی چرخ فلک

[rohamavation]

چرا پریدن از روی جرخ فلک در جهت شعاعی باعث تغییر در سرعت چرخش نمیشه؟Why does jumping off a merry go round in the radial direction cause no change in rotation speed?
فرض کن مردی روی چرخ و فلک ایستاده که با سرعتی در حال چرخشه اگر در جهت شعاعی به بیرون بپره سرعت چرخش چرخ و فلک تاثیری نداره. اما من نمی فهمم چرا باید اینطور باشه؟

"بدون گشتاور" بدون اینکه دلیلی برای عدم وجود گشتاور وجود داشته باشه. با این حال از محاسبات من فکر می کنم اگر او به صورت شعاعی بپره نوعی گشتاور وجود داره.
همانطور که میبینم، برای انجام یک "پرش"، او باید نیروی پرش 'J' را روی تخته اعمال کنه تا خودشو دور کنه. این نیرو گشتاوری را بر روی دیسک چرخان ایجاد می کنه $\vec{r} \times F = \vec{ \tau}$
.پس آیا من کار اشتباهی انجام میدم محاسباتم یا درکم از مساله اشتباهه
من به دنبال توصیف ریاضیش هستم. جیزایی که خودم به آن دست یافتم این بود که مرد به معنای واقعی با حرکت زاویه ای خود "پرش" دور میشه یک چرخ و فلک ثابت بگیرین. به لبه سکو برین و به صورت شعاعی از مرکزش فاصله بگیرین آیا چرخ و فلک شروع به چرخش میکنه؟ خوب نه اخه شما در زاویه ای موازی با بازوی گشتاور پریدین. گشتاور فقط نیروی ضربدر طول نیستش بلکه حاصل ضرب متقابل دو برداره $= r F \text{sin}(\theta) \hat{n}$
$= r F \text{sin}(\theta) \hat{n}$
جایی که $r = \left|\vec{r}\right|$
،$F = \left|\vec{F}\right|
$، θ زاویه بین $\vec{r}$ است و $\vec{F}$، و $\hat{n}$ (بردار نرمال) بردار واحد عمود بر صفحه حاوی$\vec{r}$ و$\vec{F}$هستش
.
ازاونجایی که چرخ و فلک دارای یک دوکه که فقط بر روی یک محور میچرخه میتونم اجزای$\vec{F}$را نادیده بگیرم.
که در صفحه چرخشی سکو نیستند و $\hat{n}$ به طور مستقیم به سمت بالا (یا پایین، بسته به سیستم مختصات) اشاره دارن. خوب اینجا r هم به سادگی فاصله بین لبه سکویی که از آن پریدید و دوک مرکزی و F هستش دیگه
هر چقدر که بتونین با آن بپرین نیرو دارین.
بخش اصل معادله$ sin(θ) $است.. اگر در جهتی عمود بر $\vec{r}$ بپرین (به جلو یا عقب نسبت به حرکت لبه)، θ=±90 درجه
بنابراین $sin(θ)=±1.$ این حالت محدود کننده ای است که در آن گشتاور فقط فاصله نیرو ضربدریه که حول محور عمودی میچرخه با گشتاور به عقب یا جلو (بعلاوه یا منهای) بسته به اینکه از کدام سمت پرش کردین.مردی که به صورت مماس به لبه دیسک با نود درجه بین بردارهای نیرو و شعاعی میپره
اما اگر مستقیماً از مرکز بپره $\vec{F}$ مستقیم در امتداد$\vec{r}$ اشاره می کنه بنابراین θ=0 درجه
و sin(θ)=0. فاصله نیرو ضربدر صفر اصلاً گشتاور نیستش.مردی که به صورت شعاعی به بیرون با صفر درجه بین نیرو و بردارهای شعاعی میپره
به همین ترتیب، پریدن به سمت مرکز θ=180 درجه می شود و ما همچنان sin(θ)=0 داریم، ما را بدون گشتاور باقی می گذارد.
اگر من شروع به چرخوندن پلت فرم و شما با اون بکنم حرکت شما نسبت به دنیای خارج بسیار متفاوته. اما شتاب اولیه نسبت به پلت فرم یکسانه. اگر باعث چرخش سکوی ثابت نشدین سرعت چرخش سکوی متحرک را تغییر نمیدین.گشتاور حاصل ضرب متقاطع موقعیت انسان نسبت به مرکز جرم و نیرو است. وقتی مرد دور میپره نیروی شعاعی اعمال میکنه به این معنی که نیرو در مرکز جرم قرار داره یعنی موازی با بردار موقعیتش که به مرکز جرم نیز اشاره میکنه. حاصل ضرب دو بردار موازی صفره.در لحظه ای که شخص میپره ضربه ای که میده با شعاعی چرخ و فلک همسو میشه و بنابراین هیچ گشتاوری در مورد محور چرخش وجود نداره بنابراین تأثیری بر سرعت چرخش نداره
این پدیده مرتبط با حفظ جهت یا حفظ گشتاوره (angular momentum conservation) است. اصلی که در اینجا اثر میزاره اصل حفظ گشتاور که میگه گشتاور یک سیستم بسته در جهتی ثابت حفظ میشه فرض کن یک جسم در حال چرخش بر روی یک چرخ فلک باشه. چرخش این جسم حول یک محور (محور چرخش) رخ میده. حالا اگر جسم از روی چرخ فلک به جهت شعاعی به بیرون پرتاب بشه گشتاور حفظ میشه گشتاور (L)اینطوره$L=Iω$که I میزان ممان اینرسیه و $I = \int r^2 \, dm$ خوب ω سرعت زاویه‌ای سرعت چرخشه دیگه. زمانی که جسم از روی چرخ فلک به بیرون پرتاب میشه گشتاور حفظ میشه اگر جسم بدون هیچ گونه نیروی خارجی به آن (مثل نیروی اصطکاک یا نیروی جذب) از روی چرخ فلک پرتاب بشه هیچ گونه نیروی خارجی برای تغییر گشتاور در جهت شعاعی وجود نداره خوب معلومه . بنابراین، حاصلضرب I و ω حفظ می‌شه و چرخش حول محور چرخش ادامه پیدا می‌کنه.این مفهوم حفظ گشتاور یکی از اصول اساسی تو مکانیکه

[rohamavation]

پریدن از روی چرخ فلک در جهت شعاعی به اصطلاح "حفظ جهت" داره یعنی اگر یک شی به اتفاقی از روی چرخ فلک بپرد، جهت حرکت آن تغییر نمی‌کند. این مسئله مرتبط با اصل حفظ جهت جرم و اثرات گشتاوره
برای درک بهترش از قانون نیوتن در فیزیک استفاده میکنم. قانون اول نیوتن میگه که یک جسم در حالت استراحت در حالت استراحت باقی می‌مونه و یک جسم در حال حرکت با سرعت ثابت در خط مستقیم حرکت می‌کنه مگر این که یک نیرو بهش اثر کنه.
زمانی که یک شی به اتفاقی از روی چرخ فلک بپره سرعت خطیش حفظ میشه (تا جایی که اثرات مقاومت هوا و سایر نیروها مد نظر قرار نگیرم). اما در راستای چرخش (حرکت گشتاوری)، شی ممکنه انحرافی از مسیر خود ایجاد کنه اما این تغییر جهت حرکت به چرخش فلک اصلی مرتبط نیستش
در کلش بگم این اصل حفظ جهت ناشی از مفهوم گشتاور حفظ شده که نشون دهنده حفظ حالت چرخشی یک جسمه و تغییرات در جهت خطی جسم به سبب پرتاب از روی چرخ فلک بسیار کمتر از حرکت خطیه.برای توضیح این موضوع با استفاده از لاگرانژی، می‌تونم از اصل عملکرد علم معروف به "اصل عملکرد لاگرانژ" استفاده کنم. این اصل میگه که علیه هر تغییر کوچک در مسیر یک سیستم کمیتی به نام لاگرانژ (Lagrangian) L کمینه میشه
در اینجا من با مسأله اجسام در حال چرخش و پرتاب از روی چرخ فلک سر و کار دارم. فرض کنید یک جسم از روی یک چرخ فلک (که به عنوان سیستم ما در نظر می‌گیرم) به اتفاقی پرتاب میشه
حالا می‌تونم لاگرانژی را بکار ببرم. فرض کن θ زاویه‌ای باشه که جسم با چرخ فلک داره و r فاصله جسم از مرکز چرخ فلکه و ω نمایانگر سرعت زاویه‌ای چرخش فلکه خوب بینین هوپای های عزیز
لاگرانژی (L) برابر با اختلاف انرژی کینتیک (T) و انرژی پتانسیل (U) هستش$ L=T−U$
حالا اگر اصل عملکرد لاگرانژ را در نظر بگیرم معادلات حرکت بدست میاداین همون معادلات ایولر-لاگرانژ" معروف هستن$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \theta}{\partial L}\right) - \frac{\partial \theta}{\partial L} = 0
$
و$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot{r}}{\partial L}\right) - \frac{\partial r}{\partial L} = 0
$
این معادلات به ما میگن که چگونه این سیستم به طور دقیق در زمان تغییر میکنه. اما اگر چرخ فلک از ابتدا در حالت استراحت بوده و جسم به طور عمودی به بیرون پرتاب شده باشه می‌توانیم از این معادلات برای بررسی حرکت اولیه و اثرات چرخشی استفاده کنیم.
مهمترین نتیجه از این معادلات اینه که حرکت خطی (r) جدا از حرکت گشتاوری (θ) هستش به عبارت دیگر تغییرات در حرکت گشتاوری (حرکت دورانی) از حرکت خطی (حرکت مستقیم) مستقله. این همان اصل حفظ جهته که من قبلا گفتم بهتون
بله، البته فرض کنیم یک جسم با جرمm روی یک چرخ فلک با شعاع R قرار داره. میخوام حرکت آن را در جهت خطی r و حرکت گشتاوری θ با استفاده از اصل حفظ جهت بیارمش ببنین من اولش
لاگرانژ سیستم را تعریف میکنم
$L=T−U$که دراون T انرژی کینتیک:$T = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2
$
U انرژی پتانسیل: $U=mgr$
لاگرانژ سیستم برابره$L = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 - mgr$حالا می‌تونم معادلات ایولر-لاگرانژ را برای r و θ بنویسم خوب$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot{r}}{\partial L}\right) - \frac{\partial r}{\partial L} = $برای r: هستش و خوب واسهθ
هم $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot{\theta}}{\partial L}\right) - \frac{\partial \theta}{\partial L} = 0
$از اینجا می‌توانیم معادله حاصله را حل کرده و حرکت خطی را مدل کنیم.این معادله نشون‌دهنده حرکت گشتاوری چرخ فلکه
اخرش این معادلات به ما اجازه میده تا حرکت چرخشی و حرکت خطی جسم را در این سیستم با در نظر گرفتن اصل حفظ جهت بررسی کنیم.
اینجا یک مثال ساده از حرکت یک ذره در فضا را میارم. فرض کنید یک ذره با جرم m در یک میدان گرانشی با پتانسیل گرانشی U حرکت میکنه. فرض کنید این ذره در یک بعد (به طول x) حرکت می‌کنه.
$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - mgx$ و$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \dot{x}}{\partial L}\right) - \frac{\partial x}{\partial L} = 0$ و$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial x}{\partial L}\right) - \frac{\partial \dot{x}}{\partial L} = 0
$به مثالم برمیگردم
فرض کن جسم با جرم m روی یک چرخ فلک با شعاع R قرار داره. نیروی گرانشی فقط در جهت مثبت y اعمال میشه خوب حرکت خطی (r):برای حرکت خطی من معادله ایولر-لاگرانژ واسه r میارم
$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right) - \frac{\partial L}{\partial r} = 0 $
معادله حاصله اینطوره$\frac{d}{dt}\left(\frac{m}{mR^2}\dot{\theta}\right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = $
$\frac{d}{dt}\dot{r} - \frac{\partial L}{\partial r} = $
$r'' - \frac{\partial L}{\partial r} = 0 $در اینجا مشتقات جزئی نسبت به L را محاسبه میکنم براتون
$\frac{\partial L}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}\left(2\frac{1}{2} m r\dot{r}^2 + 2\frac{1}{2} mR^2\dot{\theta}^2 - mgr\right) = 0 $
پس معادله حاصله برای حرکت خطی اینطوره$\ddot{r} = 0$این معادله میگه حفظ سرعت چرخشی جسم در حرکت خطیه
حرکت چرخشی (θ):برای حرکت چرخشی از معادله ایولر-لاگرانژ برای θ میارمش$R^2\ddot{\theta} - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0 $
معادله حاصله اینو هم براتون بیارمش$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \theta}{\partial L}\right) - \frac{\partial \theta}{\partial L} = 0 $
در اینجا مشتقات جزئی نسبت به L را محاسبه میکنم$\frac{\partial L}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}\left( \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 - mgr \right) = 0
$ پس معادله حاصله برای حرکت چرخشی اینطوری میارمش براتون$R^2\ddot{\theta} = 0 $
این معادله میگه که حفظ مقدار جار قرص در حرکت چرخشیه