تارمرتعش

[omarekhayam]

--------------------------------------------------------------------------------

یک تار یکنواخت (یا ریسمانی) بطول معین L که بطور افقی کشیده شده و دو انتهای آن بسته شده است، در نظر می‌گیریم. حال اگر این ریسمان را با دست خود اندکی به بالا یا پایین کشیده و رها کنیم، ریسمان شروع به ارتعاش می‌کند. این سیستم را تار مرتعش می‌گویند.


دیدکلی
محیطهای پیوسته مانند جامدات ، سیالها از تعداد فوق‌العاده زیادی ذره تشکیل شده است. بگونه‌ای که برسی حرکت تک تک آنها غیر ممکن است. در این حالت فرض می‌شود که ماده بطور پیوسته در فضا توزیع شده است و بوسیله چگالیش مشخص می‌شود. تار مرتعش یک نمونه از محیطهای پیوسته می‌باشد. مسئله تار مرتعش چون در مطالعه امواج ساکن یا ایستا نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد، لذا دارای اهمیت است.

معادله حرکت تار مرتعش
برای سادگی فرض می‌کنیم که ریسمان فقط در یک صفحه قائم در ارتعاش است و دامنه ارتعاش آن بقدری کوچک است که هر نقطه از ریسمان فقط بطور قائم حرکت می‌کند و کشش ریسمان در طی ارتعاش چندان تغییر نمی‌کند. همچنین فرض می‌کنیم که مبدا مختصات بر یکی از دو انتهای ریسمان منطبق باشد. نقطه‌ای از ریسمان به فاصله x از مبدا را در نظر می‌گیریم. فاصله حرکت این نقطه در راستای افق را با تابع (U(x نشان می‌دهیم. در اینجا چون فرض می‌شود که ریسمان از تعداد بینهایت ذره تشکیل شده است، لذا x مختصه نیست، بلکه نقش اندیسی را که برای مشخص کردن هر ذره بکار می‌رود، بر عهده دارد. و لذا تابع (U(x نقش مختصه‌ای را دارد که محل آن نقطه را معین می‌کند.

چون در حرکت ذرات بردار مکان همواره تابعی از زمان هست، لذا در اینجا نیز باید با تابع (U(x,t نشان داده شود. برای تعیین معادله حرکت ریسمان قسمتی از آن بطول dx را که بین x و x+dx قرار دارد، انتخاب می‌کنیم. اگر تابع چگالی ریسمان بر حسب واحد طول λ باشد، جرم این نقطه از ریسمان برابر λdx خواهد بود. سرعت هر نقطه از ریسمان برابر مشتق زمانی u خواهد بود. وقتی که ریسمان در حال ارتعاش است، بر این نقطه یک نیروی کششی وارد می‌شود. اگر این نیرو را در دو راستای قائم و افقی تجزیه کنیم، به راحتی می‌توانیم معادله حرکت تار مرتعش را که یک معادله دیفرانسیل درجه دو است، بدست آوریم.

مدهای بهنجار ارتعاش در تار مرتعش
معادله حرکت تار مرتعش یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی برای تابع (u(x,t می‌باشد و حرکت تار مرتعش را توصیف می‌کند. برای محاسبه تابع (u(x,t از معادله حرکت ، از شرایط اولیه و مرزی موجود در مسئله استفاده می‌کنیم. این شرایط مرزی را می‌توان اینگونه بیان کرد که در لحظه t=0 باید تابع (u(x,t شرایط اولیه مسئله را ارضا کند. یعنی باید (u(x,t)=u(l,t باشد. این قاعده باید در مورد مشتقات زمانی u نیز برقرار باشد. همچنین چون تار در دو انتها محکم شده است، لذا باید در شرط u(0,t)=u(l,t)=0 نیز صدق کند. به این ترتیب با لحاظ کردن این شرایط و نیز با استفاده از قواعد معادلات دیفرانسیل می‌توان معادله حرکت تار مرتعش را حل کرده و مقدا u را تعیین نمود. معادله حاصل به عنوان مد بهنجار ارتعاش تار مرتعش معروف است.