حل معادلات دیفرانسیل با یکپارچه سازی

مدیران انجمن: javad123javad, parse

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: roham hesami

محل اقامت: Tehran -Qeytariyeh, Ketabi Street, 8 meters from Saba

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 734

سپاس: 434

جنسیت:

تماس:

حل معادلات دیفرانسیل با یکپارچه سازی

پست توسط rohamjpl »

چگونه معادلات دیفرانسیل را با یکپارچه سازی حل می کنید؟
ما می توانیم این معادلات دیفرانسیل را با استفاده از تکنیک یک عامل تلفیقی حل کنیم. ما هر دو طرف معادله دیفرانسیل را با فاکتور یکپارچه سازی I که به صورت I = e∫ P dx تعریف می شود ضرب می کنیم. y Iy = ∫ IQ dx از آنجا که d dx (Iy) = من dx + IPy را با قاعده محصول در نظر می گیرم.
معادلات دیفرانسیل: معادله دیفرانسیل مرتبه اول یک رابطه ریاضی است که متغیر مستقل ، تابع ناشناخته و اولین مشتق تابع ناشناخته را بهم مرتبط می کند: ... منحنی y = ψ (x) منحنی انتگرال معادله دیفرانسیل است اگر y = ψ (x) راه حل این معادله است.
آیا ادغام برای معادلات دیفرانسیل مهم است؟
معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) معادله ای است که شامل برخی مشتقات معمولی (در مقابل مشتقات جزئی) یک تابع است. ... حتی در این صورت ، اصل اساسی همیشه ادغام است ، زیرا ما باید از مشتق به کار برویم
چه تفاوتی بین معادلات انتگرال و دیفرانسیل وجود دارد؟
فرم انتگرال با روش حجم محدود ، FVM استفاده می شود. اینها در شبکه های یکنواخت معادل هستند. شکل دیفرانسیل در معنای کلاسیک در حضور ناپیوستگی ها (مثلاً جریان های قابل فشردگی با شوک) راه حلی ندارد ، بنابراین ، از شکل ضعیف معادلات انتگرال استفاده می شود.
آیا در معادلات دیفرانسیل انتگرال وجود دارد؟
معادلات دیفرانسیل: ... منحنی y = ψ (x) اگر y = ψ (x) راه حل این معادله باشد ، منحنی انتگرال از معادله دیفرانسیل نامیده می شود. مشتق y با توجه به x جهت خط مماس به این منحنی را تعیین می کند.
یافتن راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل ، با استفاده از روش عامل یکپارچه سازی
برای حل ODE خطی از روش یکپارچه سازی فاکتور استفاده کنید $y' + 2xy = e^{−x^2}.$
من می توانم ODE را به عنوان یک معادله خطی (چند ضرب هر دو طرف ، جانشین کردن ، قانون معکوس محصول ، ادغام و غیره) را حل کنم تا پاسخ را بدست آورم$y(x) = c_1 e^{-x^2} e^{-x^2}x$
جواب $y'+2xy=e^{-x^2}$بالاتر از ODE را با معادله Leibniz لایب نیتس مقایسه کنید$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$، به دست می آوریم ، P (x) = 2x & $Q(x)=e^{-x^2}$
و $y(I.F.)=\int Q(x)(I.F.) dx+c$و$\implies y(e^{x^2})=\int e^{-x^2}(e^{x^2}) dx+c$و$\implies ye^{x^2}=\int dx+c=x+c$و$\bbox[5px, border:2px solid #C0A000]{\color{red}{y=e^{-x^2}(x+c)}}$
یافتن راه حل کلی برای یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول ، با استفاده از روش عامل یکپارچه سازی$V(t) =e^{{-t} / {\tau}} \int e^{{t} / {\tau}} \frac{E_0}{\tau} \ dt = E_0 e^{-t/\tau} \left( e^{t/\tau} + C' \right) = E_0 + Ce^{-t/\tau}$و$C = E_0C'$
حل معادله دیفرانسیل با دو متغیر
چگونه یک معادله دیفرانسیل از فرم زیر را حل کنیم:$\dfrac{ax}{\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial x}} + \dfrac{by}{\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial y}}=-1$ و$f(x_0,y_0)=c$خوب ما گفتیم $\dfrac{ax}{\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial x}} + \dfrac{by}{\dfrac{\partial{f(x,y)}}{\partial y}}=-1 \quad \text{ with condition} \quad f(x_0,y_0)=c$
این یک PDE غیرخطی است: شرایط تعیین شده برای تعیین یک راه حل منحصر به فرد کافی نیست.
به عنوان مثال ، روش تفکیک متغیرها منجر می شود$f(x,y)=\frac{a(x^2-x_0^2)}{2\lambda}-\frac{b(y^2-y_0^2)}{2(\lambda+1)}+c$که یک خانواده از راه حلهای PDE متناسب با شرایط داده شده است.
این هر ثابت λ صادق است ، به جز 0 و −1. بنابراین ، آنها بی نهایت راه حل هستند.راه حل
با استفاده از تعریف تمایز ضمنی برای f (x، y) می توان نوشت
$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}$
و از معادله شما:
$\frac{a x}{f_x}=-\frac{b y+f_y}{f_y}$
از این رو:
$\begin{align}
\frac{dy}{dx}=\frac{a x}{b y+f_y}&\implies\int a x\,dx=\int(b y+f_y)dy\\
&\implies\dfrac 12 ax^2+C=\dfrac 12 by^2+f(x,y)\\
&\implies f(x,y)=\dfrac 12 ax^2-\dfrac 12 by^2+C
\end{align}$
به روز رسانی:
شرط مرزی f (x0، y0) = c است که به معنی است
$\dfrac 12 (ax_0^2-by_0^2)+C=c\implies C=c-\dfrac 12 (ax_0^2-by_0^2)$
و در نهایت
$f(x,y)=\dfrac 12 a(x^2-x_0^2)-\dfrac 12 b(y^2-y_0^2)+c$
اما به نظر می رسد جواب باید$\frac a2(x^2-x_0^2)-\frac b{\color{red}{4}}(y^2-y_0^2)+c$ باشد. نمی دانم چرا من به این نتیجه رسیدم.
حل معادله دیفرانسیل با دو متغیر
من یک معادله دیفرانسیل با متغیرهای x (t) و y (t) و یک معادله دیفرانسیل زیر دارم:
$xy \frac{d}{dt}\Big{(}\frac{x}{y}\Big{)} = c_{1} (y-x)-c_{2} \quad c_{1}~ \text{and}~c_{2}~\text{are}~\text{constants}$
این معادله از یک سیستم معادله دیفرانسیل همراه است که مشتقات x (t) و y (t) را توصیف می کند.
شاید یک متغیر جدید که شامل x (t) و y (t) باشد بتواند به جای حل سیستم معادله اصلی به یافتن راه حل این معادله کمک کند.
(سیستم اصلی است
$\frac{dx}{dt} = \gamma xy-\alpha xy-\gamma x^{2}-\gamma\beta x\qquad(1)\\
\frac{dy}{dx} = \gamma xy-\alpha xy-\gamma y^{2}\qquad (2)$
سعی کردم سیستم را با این مراحل ساده کنم:$\frac{\dot{x}}{x} = \gamma y-\alpha y-\gamma x-\gamma\beta \qquad(1) \\
\frac{\dot{y}}{y} = \gamma x-\alpha x-\gamma y \qquad(2)\\
(1)-(2) \rightarrow \frac{\dot{x}}{x}-\frac{\dot{y}}{y} = (2\gamma-\alpha)(y-x)-\gamma\beta\\
\frac{\dot{x}y-\dot{y}x}{xy} = (2\gamma-\alpha)(y-x)-\gamma\beta\\
\frac{y}{x}\frac{d}{dt}\Big(\frac{x}{y}\Big) = (2\gamma-\alpha)(y-x)-\gamma\beta \\
\frac{y}{x}\frac{d}{dt}\Big{(}\frac{x}{y}\Big{)} = c_{1} (y-x)-c_{2} \qquad \text{where}~c_{1} =2\gamma-\alpha\qquad~c_{2} = \gamma\beta$
معادلات دیفرانسیل عادی
چگونه یک معادله دیفرانسیل جزئی را حل کنیمpde
PDE ها را من حل کردم
من برای حل موارد زیر راه حل دارم
$x^2 \frac{\partial s}{\partial x} +xy\frac{\partial s}{\partial y} =1$
من توانسته ام PDE مشابهی را که برابر با صفر است حل کنم ، اما نمی دانم چگونه با 1 در این معادله کنار بیایم.
اگر مراحل مشابه باشد ، من تقسیم بر $x^2$ می کنم تا $\frac{\partial s}{\partial x} +\frac{y}{x}\frac{\partial s}{\partial y} =\frac{1}{x^2}$ بدست آورم
با این حال من نمی دانم از اینجا کجا بروم :
توجه: این معادله در واقع بخشی از یک جفت معادله است که برای تعیین مختصات متعارف $r (x، y)$ و$ s (x، y)$ باید حل کنم. من سعی می کنم y "= 0 را با استفاده از تقارن حل کنم. من $r (x، y) = y/x$ را حل کردم و اکنون باید s (x، y) بگیرم.
من رویکرد تقسیم بر $x^{2}$ را دنبال خواهم کرد. با استفاده از روش مشخصات ، ODE ها را بدست می آوریم
$\begin{align}
\frac{dy}{dx} &= \frac{y}{x} \quad (1) \\
\frac{ds}{dx} &= \frac{1}{x^{2}} \quad (2) \\
\end{align}$
حل (1)حاصل
$\begin{align}
y &= y_{0} x \implies y_{0} = \frac{y}{x} \\
\end{align}$
حل (2) حاصل
$\begin{align}
s &= \frac{-1}{x} + f(y_{0}) \\
&= \frac{-1}{x} + f \left( \frac{y}{x} \right)
\end{align}$
که در آن f یک تابع قابل تمایز دلخواه است. از طریق تمایز می توانید بررسی کنید که این راه حل کلی است.
چگونه یک معادله دیفرانسیل حاوی یک اصطلاح انتگرال را حل کنیم؟
من این سوال را از طرف شخص دیگری می پرسم. او مشکل زیر را برای حل دارد و متأسفانه مث کد Mathcad نمی تواند چنین معادلاتی را حل کند.
او ومن برای یافتن تابع $u = u(x) = ?$ به دنبال کمک هستیم برای
$\frac{d^2u(x)}{dx^2} =\left[U(x) + \alpha^2\right]u(x)$
جایی که
$U(x) = \frac{2}{x}\left(\exp\left(-\frac{x}{\lambda}\right)-\int_0^x 4\pi\left(u(z)\right)^2\,dz\right)$پارامترهای λ و α واقعی هستند.
آیا ابزار دیگری (یعنی Mathematica) قادر به حل آن است؟ آیا پیشنهاد دیگری دارید؟پاسخ کوتاه به سوال موجود در عنوان این است:
اصطلاح انتگرال را جدا کرده و از هم متمایز کنید.
در حالت فعلی ، می توان $\displaystyle U'(x)=-\frac1xU(x)+\frac2x\left(-\frac1\lambda\mathrm e^{-x/\lambda}-4\pi u(x)^2\right)$ و $\displaystyle U(x)=\frac{u''(x)}{u(x)}-\alpha^2$ نوشت برای استنباط معادله دیفرانسیل مرتبه سوم بدون اصطلاح انتگرال
$u'''(x)=\frac{u''(x)}{u(x)}u'(x)-\frac1x\left(\frac{u''(x)}{u(x)}-\alpha^2\right)u(x)+\frac2x\left(-\frac1\lambda\mathrm e^{-x/\lambda}-4\pi u^2(x)\right)u(x).$یا ، می توان این را به یک سیستم دو معادله درجه پایین تبدیل کرد ، یعنی ،
$xu''(x)=v(x)u(x),\qquad v'(x)=-8\pi u^2(x)+\alpha^2-\frac2\lambda\mathrm e^{-x/\lambda}.$
حل یک معادله دیفرانسیل با استفاده از یک عامل تلفیقی
من برای حل معادله زیر تلاش می کنم: $\left\{\begin{matrix}
(x^B+y^B)(xdy-ydx)=(1+x)x^9dx \\ y(-1)=A \end{matrix}\right.$
برای A = 1 و A = 0.
$B\in2\mathbb{N}_0+1$ راه حل من زیر است ، اما گیر کردم:
$(x^B+y^B)(xdy-ydx)=(1+x)*x^9dx$
$x^B*xdy-y*x^Bdx+y^B*xdy-y*y^Bdx-(1+x)*x^9dx=0$
$x^B*xdy+y^B*xdy-y*x^Bdx-y*y^Bdx-(1+x)*x^9dx=0$
$xdy(x^B+y^B)+[-y(x^B+y^B)-(1+x)*x^9]dx=0$
جایی که:$Q(x,y)=x(x^B+y^B)dy$و$P(x,y)=[-y(x^B+y^B)-(1+x)*x^9]$
سپس استخراج جزئی کردم:
$\frac{∂Q}{∂x}:(x^B+y^B)x(Bx^{B-1})$
$P(x,y)=[-y(x^B+y^B)-(1+x)*x^9]$
و سپس کم کنید:
$\frac{∂P}{∂y}-\frac{∂Q}{∂x}=-(x^B+y^B)-y(By^{B-1})-(x^B+y^B)-x(Bx^{B-1})$
اما احتمالاً من کار اشتباهی انجام داده ام و گیر کرده ام و مطمئن نیستم که کجا باعث اشتباه من شده است.$(x^B+y^B)(xdy-ydx)=(1+x)x^9dx$و$xdy-ydx = \frac{(1+x)x^9}{(x^B+y^B)}dx$$x \frac{dy}{dx} - y = \frac{(1+x)x^9}{(x^B+y^B)}$$\displaystyle \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = \frac{(1+x)x^8}{(x^B+y^B)}$بر اساس فرم LHS ، ضریب ادغام $\displaystyle \frac{1}{x}$ را در نظر بگیرید.$\displaystyle \frac {1}{x} \frac{dy}{dx}- \frac{y}{x^2} = \frac{(1+x)x^7}{(x^B+y^B)}$و$\displaystyle \frac{d}{dx} (\frac{y}{x}) = \frac{(1+x)x^{(7-B)}}{1+ (\frac{y}{x})^B}$و$u = \frac{y}{x}$و$\displaystyle ({1+ u^B}) du = ((1+x)x^{(7-B)}) dx$
حل معادله انتگرال با تبدیل به معادلات دیفرانسیل$\phi(x) = x - \int_0^x(x-s)\phi(s)\,ds$
ما آن را داریم
$\phi(x)=x-x\int_0^x \phi(s) \mathrm{d} s + \int_0^x s \phi(s)\mathrm{d}s$
از این طریق می توان دریافت که ϕ (0) = 0. ما می توانیم هر دو طرف را از هم تفکیک کنیم و از قانون محصول و FTC1 برای بدست آوردن موارد زیر استفاده کنیم:
$\phi'(x)=1-\int_0^x \phi(s) \mathrm{d}s -x \phi(x)+x\phi(x)$
و$\phi'(x)=1-\int_0^x \phi(s) \mathrm{d} s$
از این طریق می توان دریافت که ϕ ′ (0) = 1. می توانیم دوباره آن را متمایز کنیم:
$\phi''(x)=-\phi(x)$
که یک تعریف جایگزین از عملکرد سینوسی است.
روش دوم تبدیل معادله انتگرال به معادله دیفرانسیل
$\begin{equation}
g(z-z_0)=\int_{z_0}^{z}dt~f(t-z_0)g(z-t)
\end{equation}$توجه کرده $g(z-z_0)=\int_{z_0}^{z}f(t-z_0)g(z-t)dt$ما$z-t = y$ و $g(z-z_0)=\int_{0}^{z-z_0} f(z-z_0 -y)g(y)dy$حال $z-z_0 = t \geq 0$پس $g(t) = (g*f)(t)$سپس لاپلاس اضافه کرده$G(s) = G(s) F(s)$
و $\begin{equation}
\frac{dg(z-z_0)}{dz}= f(z-z_0)\,g(0)+\int_a^z f(t-z_0)\, g'(z-t) \, dt
\end{equation}$
مسئله 1: تبدیل معادله انتگرال ولترا به معادله دیفرانسیل معمولی با مقادیر اولیه$y(x) = – \int_{0}^x (x-t) y(t) dt$لطفا توجه داشته باشید که این همان معادله انتگرال بود که پس از تبدیل مسئله مقدار اولیه بدست آوردیم:$y”+y=0$و$y(0)=y'(0)=0$
ما داریم $y(x) = – \int_{0}^x (x-t) y(t) dt \ldots (1)$و$y'(x) = -\frac{d}{dx} \int_{0}^x (x-t) y(t) dt$و$\Rightarrow y'(x)=-\int_{0}^x y(t) dt \ldots (2)$و$y”(x)=-\frac{d}{dx}\int_{0}^x y(t) dt$و$\iff y”(x)+y(x)=0 \ldots (3)$
مسئله 2: تبدیل معادله انتگرال فردهلم به معادله دیفرانسیل معمولی با مقادیر مرزی$y(x) =\lambda \int_{0}^{l} K(x,t) y(t) dt$و$y(x) =\lambda (\int_{0}^{x} \frac{(l-x)t}{l} y(t) dt + \int_{x}^{l} \frac{x(l-t)}{l} y(t) dt) \ldots (2)$و$y'(x) = -\frac{\lambda}{l} \int_{0}^x t y(t) dt + \frac{\lambda}{l} \int_{x}^l (l-t) y(t) dt \ldots (3)$و$y”(x) +\lambda y(x) =0 \ldots (4)$
معادله دیفرانسیل به‌فرم زیر را در نظر بگیرید:$\large { P \left( { x , y } \right) d x + Q \left( { x , y } \right) d y } = { 0 , }$که در آن، $P\left( {x,y} \right)$و$Q\left( {x,y} \right)$ توابعی از دو متغیر پیوسته x و y در ناحیه معین D هستند. اگر داشته باشیم$\large \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } \ne \frac { { \partial P } } { { \partial y } } ,$معادله دیفرانسیل، کامل نیست. در این مواقع می‌توانیم عبارتی موسوم به «عامل انتگرال‌ساز» (Integrating Factor) را پیدا کنیم که تابعی به‌فرم μ(x,y) است و بعد از ضرب، معادله دیفرانسیل را به یک معادله دیفرانسیل کامل تبدیل می‌کند؛ به‌گونه‌ای که تساوی زیر برقرار باشد$\large { \frac { { \partial \left( { \mu Q \left( { x , y } \right) } \right) } } { { \partial x } } } = { \frac { { \partial \left( { \mu P\left( { x , y } \right) } \right) } } { { \partial y } } }$لذا $\large { { Q \frac { { \partial \mu } } { { \partial x } } + \mu \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } = { P\frac { { \partial \mu } } { { \partial y } } + \mu \frac { { \partial P } } { { \partial y}},\;\;}} \\ \large \Rightarrow
{ { Q\frac { { \partial \mu } } { { \partial x } } – P\frac { { \partial \mu } } { { \partial y } } } = { \mu \left( {\frac{{\partial P}}{{\partial y}} – \frac{{\partial Q}}{{\partial x}}} \right).}}$عامل انتگرال‌ساز به متغیر x وابسته است$\Large \mu = \mu (x)$در این حالت، ${\large\frac{{\partial \mu }}{{\partial y}}\normalsize} = 0$ست، نابراین، معادله را برای μ(x,y) می‌توان به‌صورت زیر نوشت$\large { \frac { 1 } { \mu }\frac { { d \mu } } { { d x } } } = { \frac { 1 } { Q } \left( { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } \right) . }$عامل انتگرال‌ساز به متغیر y وابسته است به طور مشابه $\large { \frac { 1 } { \mu } \frac { { d \mu } } { { d y } } } = { -\frac { 1 } { P }\left( {\frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } \right) }$عامل انتگرال‌ساز به ترکیب خاصی از متغیرهای x و y وابسته است$\Large \mu = \mu (z(x,y))$و حال $\large { z = \frac { x } { y },\;\;\;}\kern-0.3pt{z = xy,\;\;\;}\kern0pt{z = { x ^ 2 } + { y ^ 2 },\;\;\;}\kern0pt{ z = x + y. }$ تابع z هست $\large { \frac { 1 } { \mu } \frac { { d \mu } } { { d z } } } = { \frac { { \frac { { \partial P } } { { \partial y } } – \frac { { \partial Q } } { { \partial x } } } } { { Q \frac { { \partial z } } { { \partial x } } – P\frac { { \partial z } } { { \partial y } } } } . }$
...hope I help you I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260
تصویر

ارسال پست