مورد خاص پارادوکس برتراند یا فقط یک اشتباه

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesamiرهام حسامی

محل اقامت: City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1447

سپاس: 3078

جنسیت:

تماس:

مورد خاص پارادوکس برتراند یا فقط یک اشتباه

پست توسط rohamjpl »

من روی یک سوال کار کرده ام و به نظر می رسد که به یک پاسخ متناقض دست یافته ام. به احتمال زیاد من فقط در جایی مرتکب اشتباه شده ام، با این حال، اگر کسی علاقه مند باشد، سوال و راه حل خود را توضیح خواهم داد.تصویر
می خواهم بدانم میانگین فاصله بین دو نقطه در یک دایره به شعاع 1 که فقط نقاط مرزی را در نظر می گیریم چقدر است.
تلاش من به شرح زیر است:
قسمتی از قطر x را در نظر بگیرید که به طور یکنواخت بین 0 و 2 توزیع شده است. سپس می توانید فاصله بین نقاط (2,0) و نقطه تعیین شده توسط x را فقط با هندسه ابتدایی محاسبه کنید همانطور که این تصویر نشان می دهد:
شکل هندسی با طول خط
در اینجا در تصویر، قسمت سبز میانگین هندسی و قسمت نارنجی فاصله ای است که می خواهیم توزیع آن را بدانیم. فقط با محاسبه مقدار مورد انتظار، به دست می آوریم:
$E\left(\sqrt{(4-2X)}\right) = \int_{0}^{2} \sqrt{(4-2x)}\cdot\frac{1}{2} dx = 1.333.... = \frac{4}{3}$
جایی که$\sqrt{(4-2x)}$
تبدیل متغیر تصادفی و $\frac{1}{2}$ یک توزیع یکنواخت است [0,2]
همچنین، اگر pdf تبدیل را استخراج کنیم، همان نتیجه را بدست می آوریم:
$y = \sqrt{(4-2x)} , x = 2- \frac{y^2}{2}, \mid\frac{d}{dy}x\mid = y$
$g(y)=f(x)\cdot\mid\frac{d}{dy}x\mid = \frac{1}{2}\cdot y$
$E(Y)= \int_{0}^{2}y\cdot\frac{1}{2}\cdot y dy = 1.333.... = \frac{4}{3}$
من رویکرد متفاوتی را در جای دیگری دیده ام که در آن توزیع زاویه به عنوان توزیع یکنواخت بین 0 و π در نظر گرفته می شود
و نتیجه نهایی این شد:
$1.27... = \frac{4}{\pi}$
این تقریباً مشکلی است که من پیدا کردم. شاید من فقط در مرحله ای این کار را اشتباه انجام دادم اما همه چیز برای من منطقی است. من می دانم که این دقیقاً همان چیزی نیست که ما به عنوان پارادوکس برتراند یاد می کنیم، اما فقط چیزی شبیه به آن را پیشنهاد می کند زیرا هر دو مشکل با بخش هایی در محیط کنترل می شوند و شاید نتیجه من اشتباه باشد زیرا برای چرخش دایره یا چیزی شبیه به آن صادق نیست (من خواندم کمی در مورد پارادوکس برتراند).
تقریباً همین است. همچنین به خاطر انگلیسی بدم متاسفم و شاید در مورد چیزی بسیار اساسی نیز اشتباه می کنم زیرا تازه شروع به یادگیری نظریه احتمال کرده ام. همچنین این اولین پست من است، بنابراین سعی خواهم کرد که در موارد زیر نمایش و استفاده از LateX را بهبود بخشم.
، من توزیع طول قوس را با توجه به توزیع یکنواخت نقطه روی قطر محاسبه کردم. در واقع: اگر بخواهیم طول قوس l را تابعی از x بیان کنیم، l=f(x)
ما بدست می آوریم:
$l = \arccos(1-x), x = 1-\cos{l}, |\frac{d}{dl}(x)| = \sin{l}$
$l_{pdf} = x_{pdf} \cdot |\frac{d}{dl}x| = \frac{1}{2}\cdot \sin{l}$
بنابراین طول قوس به طور یکنواخت توزیع نمی شود، ممکن است بگوییم "آن را گم کرده ایم". اشتباه همین بود. برای مثال، اگر طول قوس از توزیع یکنواخت پیروی کند $[0, π]$، سپس می توانیم قطعه s را محاسبه کنیمبه عنوان تابعی از طول قوس:
می دانیم $l = f(x)$
و می خواهم بدانم s=h(l). اگر s=g(x) را محاسبه کنیم
انجام شد:
از تصویر سوالی که پست می کنم،$s = g(x)=\sqrt{2x}$
(یا قسمت مقابل $\sqrt{4-2x}$ سپس $h = g \circ f^{-1}$و$s = \sqrt{2(1-cosl)}$
$E(s) = \int_0^\pi{\sqrt{2(1-cosl)}\frac{1}{\pi}dl}=1.273... = \frac{4}{\pi}$
همچنین pdf
$s = h(l) = \sqrt{2(1-cosl)} , l=h^{-1}(s)= 2\cdot \arcsin(\frac{s}{2}), |\frac{d}{ds}h^{-1}|=\frac{2}{\sqrt{4-s^2}}$
$s_{pdf} = \frac{1}{\pi} \frac{2}{\sqrt{4-s^2}}$
$E(s) = \int_0^2{s\cdot \frac{1}{\pi} \frac{2}{\sqrt{4-s^2}}ds} = 1.273... = \frac{4}{\pi}$
پس کار ما تمام شد. همچنین، pdf تابع چگالی احتمال (PDF) یک عبارت آماری است که توزیع احتمال (احتمال یک نتیجه) را برای یک متغیر تصادفی گسسته (به عنوان مثال، سهام یا ETF) در مقابل یک متغیر تصادفی پیوسته تعریف می‌کند. بخش چیزی مربوط به توزیع کوشی را پیشنهاد می کند. دقیقاً نه، اما مطمئناً باید کاری با آن انجام دهد.
"توزیع کوشی که توزیع لورنتس یا توزیع لورنتس نیز نامیده می شود، یک توزیع پیوسته است که رفتار تشدید را توصیف می کند. همچنین توزیع فواصل افقی را توصیف می کند که در آن یک قطعه خط که در یک زاویه تصادفی کج شده است، محور x را قطع می کند."
و بس. یک مسئله واقعاً جذاب که ایده های ظریفی از نظریه احتمال را معرفی می کند. اگر کسی چیز دیگری می داند لطفا به من توضیح بدهد. من واقعاً فکر می کنم ارتباط خوبی با توزیع کوشی وجود دارد.I hope I help you understand the question. Roham Hesami smile072 smile261 smile260 رهام حسامی ترم پنجم مهندسی هوافضا
تصویر

ارسال پست