انتگرال سطح برداری

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1627

سپاس: 3160

جنسیت:

تماس:

انتگرال سطح برداری

پست توسط rohamjpl »

میدان برداری $\mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right )$ و سطح S را در نظر بگیرید که با بردار موقعیت زیر تعریف شده است:$\large { \mathbf { r } \left ( { u , v } \right ) } = { x \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { i } } + { y \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { j } } + { z \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { k } . }$فرض کنید توابع $x\left( {u,v} \right),$
$y\left( {u,v} \right),$و$z\left( {u,v} \right)$ در دامنه D(u,v) پیوسته و مشتق‌پذیر بوده و رتبه ماتریس زیر، $\large \left [ { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
{ \frac { { \partial x } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial u } } } \\
{ \frac { { \partial x } } { { \partial v } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial v } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial v } } }
\end {array} } \right ]$ باشد:نماد $\mathbf{n}\left( {x,y,z} \right)$ را به عنوان یک بردار واحد یا یکه عمود بر سطح S در نقطه (x,y,z) در نظر می‌گیریم. اگر سطح S هموار بوده و تابع برداری
n(x,yوz) پیوسته باشد، فقط دو انتخاب ممکن برای بردار یکه عمود وجود دارد:n(x,y,z) یا $\mathbf{n}\left( {x,y,z} \right)\;\;\text{or}\;\; - \mathbf{n}\left( {x,y,z} \right).$اگر S یک سطح بسته باشد، طبق قرارداد، بردار عمود بر نقطه را برون‌سو یا به طرف بیرون در نظر می‌گیریم.انتگرال سطحی میدان برداری F روی سطح جهت‌دار S (یا شار میدان برداری F گذرنده از سطح S) را می‌توان به یکی از صورت‌های زیر نوشت:اگر سطح S برون‌سو باشد، آنگاه:$\large \begin {align*}
{ \iint \limits _ S { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot d \mathbf { S } } }
& = { \iint \limits _ S \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot \mathbf { n } d S } \\ & = \kern0pt
{ \iint \limits _ { D \left ( { u , v } \right ) } { \mathbf { F } \left ( { x \left ( { u , v } \right ) , y \left ( { u , v } \right ) , z \left ( { u , v } \right ) } \right ) \cdot } \kern0pt { \left [ { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial u } } \times \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial v } } } \right ] d u d v } ; }
\end {align*}$اگر سطح S درون‌سو باشد، آنگاه:$\large \begin {align*}
{ \iint \limits _ S { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot d \mathbf { S } } }
& = { \iint \limits _ S \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot \mathbf { n } d S } \\ & = \kern0pt
{ \iint \limits _ { D \left ( { u , v } \right ) } { \mathbf { F } \left ( { x \left ( { u , v } \right ) , y \left ( { u , v } \right ) , z \left ( { u , v } \right ) } \right ) \cdot } \kern0pt { \left [ { \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial v } } \times \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial u } } } \right ] d u d v } . }
\end {align*}$در اینجا، dS=ndS المان برداری سطح نامیده می‌شود. نقطه، ضرب داخلی بردارها را نشان می‌دهد. مشتق‌های جزئی در فرمول‌ها، به صورت زیر محاسبه می‌شوند:
$\large \begin {align*}
{ \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial u } } } & = { \frac { { \partial x } } { { \partial u } } \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { i } } + { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { j } } + { \frac { { \partial z } } { { \partial u } } \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { k } , } \\
{ \frac { { \partial \mathbf { r } } } { { \partial v } } } & = { \frac { { \partial x } } { { \partial v } } \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { i } } + { \frac { { \partial y } } { { \partial v } } \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { j } } + { \frac { { \partial z } } { { \partial v } } \left ( { u , v } \right ) \cdot \mathbf { k } . }
\end {align*}$اگر سطح S صریحاً با معادله z=z(x,y) داده شده باشد، که در آن $z (x, y )$ یک تابع مشتق‌پذیر در دامنه D(x.y) است، آنگاه انتگرال سطحی میدان برداری F روی سطح S با یکی از فرم‌های زیر تعریف می‌شود:اگر سطح S برون‌سو باشد، یعنی مؤلفه kاُم بردار عمود، مثبت باشد، آنگاه داریم:$\large \begin {align*}
{ \iint \limits _ S { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot d \mathbf { S } } }
& = { \iint \limits _ S { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot \mathbf { n } d S } } \\
& = { \iint \limits _ { D \left ( { x , y } \right ) } { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot } \kern0pt { \left ( { – \frac { { \partial z } } { { \partial x } } \mathbf { i } – \frac { { \partial z } } { { \partial y } } \mathbf { j } + \mathbf { k } } \right ) d x d y } ; }
\end {align*}$اگر سطح S درون‌سو باشد، یعنی مؤلفه kاُم بردار عمود، منفی باشد، آنگاه داریم:
$\large \begin {align*}
{ \iint \limits _ S { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot d \mathbf { S } } }
& = { \iint \limits _ S { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot \mathbf { n } d S } } \\
& = { \iint \limits _ { D \left ( { x , y } \right ) } { \mathbf { F } \left ( { x , y , z } \right ) \cdot } \kern0pt { \left ( { \frac { { \partial z } } { { \partial x } } \mathbf { i } + \frac { { \partial z } } { { \partial y } } \mathbf { j } – \mathbf { k } } \right ) d x d y } ; }
\end {align*}$همچنین می‌توانیم انتگرال سطحی میدان‌های برداری را به شکل مختصات بنویسیم. فرض کنید P(x,y,z)، Q(x,y,z) و R(x,y,z) مؤلفه‌های میدان برداری F باشند. همچنین فرض کنید
cosα، cosβ و cosγ به ترتیب، زاویه‌های بین بردار عمود یکه خارجی n و محور x، محور y و محور z باشند. آنگاه ضرب داخلی F⋅n برابر است با:$\large \begin {align*} { \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } } & = { \mathbf { F } \left ( { P , Q , R } \right ) \cdot } \kern0pt { \mathbf { n } \left ( { \cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma } \right ) } \\ & = { P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma . } \end {align*}$در نتیجه، انتگرال سطحی را می‌توان به فرم زیر نوشت:$\large { \iint \limits _ S { \left ( { \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } } \right ) d S } } = { \iint \limits _ S { \left ( { P \cos \alpha + Q \cos \beta } \right . } + { \left . { R \cos \gamma } \right ) d S } . }$
از آنجایی که $\cos \alpha \cdot dS = dydz$ (شکل ۱) و به طور سمیلار برای بقیه ، فرمول زیر برای محاسبه انتگرال سطحی به دست می‌آید:
$\large \begin {align*}
{\iint\limits_S {\left( {\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}} \right)dS} } & = {\iint\limits_S {\left( {P\cos \alpha + Q\cos \beta }\right.}+{\left.{ R\cos \gamma } \right)dS} }\\ & = { \iint \limits _ S { P d y d z + Q d z d x + R d x d y } }
\end {align*}$اگر سطح S به فرم پارامتری و با بردار r(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) داده شده باشد، از فرمول زیر برای انتگرال سطحی استفاده می‌کنیم:$\large \begin {align*}
{ \iint \limits _ S { \left ( { \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } } \right ) d S } }
& = { \iint \limits _ S { P d y d z + Q d z d x + R d x d y } }
\\ & = { \iint \limits _ { D \left ( { u , v } \right ) } { \left | { \begin {array} { * { 2 0 } { c } }
P & Q & R \\
{ \frac { { \partial x } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial u } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial u } } } \\
{ \frac { { \partial x } } { { \partial v } } } & { \frac { { \partial y } } { { \partial v } } } & { \frac { { \partial z } } { { \partial v } } }
\end {array} } \right | d u d v} }
\end {align*}$
که در آن، مختصات (u,v) در دامنه D(u,v) تعریف شده‌ است.چگونه انتگرال های سطحی میدان های برداری را محاسبه کنیم؟من یک سوال در مورد انتگرال های سطحی میدان های برداری دارم. زمانی که سطح مستطیلی از اضلاع a و b در صفحه xy و $\vec{u}(r)$ میدان برداری باشد، فرمولی که به من داده شد به صورت زیر است:
$\iint_S \vec{u}.d\vec{S}=\int_0^b \int_0^a(\vec{u}\cdot\vec{e_z})dxdy=\int_0^b \int_0^au_zdxdy$
حالا من سعی کردم با یک مکعب از اضلاع استفاده کنم مانند به نظر می رسد فرمول با فیلد $\vec{u}(r)=(1,0,0)$با کار می کند
$\iint_S \vec{u}.d\vec{S}= \iint_{S_{x,1}} -u_x.dydz + \iint_{S_{x,2}} u_x.dydz = -\int_0^a \int_0^adydz+\int_0^a \int_0^adydz=0$
اما همان استدلال برای $\vec{u}(r)=(x,0,0)$ جایی که من می نویسم کار نمی کند
$\iint_S \vec{u}.d\vec{S}= \iint_{S_{x,1}} -u_x.dydz + \iint_{S_{x,2}} u_x.dydz = -\int_0^a \int_0^axdydz+\int_0^a \int_0^axdydz=0$
اما این اشتباه است زیرا مقدار صحیح $a^3$ است. آیا قبل از ادغام باید $\vec{u}$ را روی هر سطح ارزیابی کنم؟ که می دهد
$\int_0^a \int_0^a0dydz+\int_0^a \int_0^aadydz=a^3$ج.واب $\displaystyle \iint_S \vec{u}.d\vec{S}= \iint_{S_{x,1}} -u_x \ dy \ dz + \iint_{S_{x,2}} u_x \ dy \ dz$hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
تصویر

ارسال پست