سلام خیلی یهویی اومدم یه سوال بپرسم و برم
ضرب بردار ها یه چیز قراردادی و تعریفیه یا اینکه دلیل و برهانی هم داره؟؟؟ اصلا فلسفش چیه؟؟
منظورم اینه که اون کسی که اولین بار ضرب داخلی و خارجی رو برای بردار ها بکار برده چه جوری به این نتیجه رسیده که ضرب بردار ها باید به این شکل باشه؟
واسه ماتریس ها هم همین سوالو دارم.
ضرب خارجی می‌توان دو بردار را در فضایی دو یا چند بعدی در هم ضرب کرد. بر خلاف ضرب داخلی، حاصل این نوع ضرب، کمیتی برداری خواهد بود. در این معادله |a| و |b| به ترتیب برابر با اندازه‌های بردار a و b هستند. همچنین
θ، زاویه بین این دو برداره بایستی توجه داشته باشید که n، بردار واحد است که بر هر دو بردار اولیه (a و b) عمود شده. بنابراین جهت این بردار در راستای n و اندازه آن برابر با حاصلضرب اندازه a در b در سینوس زاویه بین آن‌ها است.اگر بردارهای a و b در دستگاه مختصات کارتزینی و به صورت $a=(a_x,a_y,a_z)$و$b=(b_x,b_y,b_z)$
بیان شوند برای محاسبه حاصلضرب خارجی این دو بردار می‌توان از دترمینان ماتریس زیر استفاده کرد.$\begin{aligned}
\overrightarrow{\mathbf{c}} &=\overrightarrow{\mathbf{a}} \times \overrightarrow{\mathbf{b}}=\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_{1} & a_{2} & a_{3} \\
b_{1} & b_{2} & b_{3}
\end{array}\right|=\\
&=\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\left(a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}\right) \overrightarrow{\mathbf{j}}+\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) \overrightarrow{\mathbf{k}}
\end{aligned}$توجه داشته باشید که سطر اول این ماتریس حاوی بردارهای واحد در سه جهت مختصاتی است
$({\overrightarrow i},{\overrightarrow j},{\overrightarrow k})$
ضرب داخلی و ضرب خارجی در حقیقت صورت‌های خاص و ساده‌شده‌ای از ضرب معمولی ماتریسها هستند. ضرب دو بردار ستونی A و B به صورت ${\displaystyle (r\mathbf {A} )_{ij}=r\cdot a_{ij}.\,}$
می‌باشد، دراینجا T نشانگر ترانهاده ماتریس است. به صورت صریح‌تر:${\displaystyle A\cdot B=A^{T}B}$
${\displaystyle A\cdot B=A^{T}B={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}.}.$ضرب خارجی به صورت
${\displaystyle A\otimes B=AB^{T}}$ تعریف می‌شود که:${\displaystyle A\otimes B=AB^{T}}$
که${\displaystyle AB^{T}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1 }&b_{2}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots &a_{1}b_{ n}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots &a_{2}b_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n} b_{1}&a_{n}b_{2}&\cdots &a_{n}b_{n}\\\end{bmatrix}}.}$
ضرب ماتریسها در پناه این دو عمل می‌تواند به صورت قطعه‌ای مورد بحث قرار گیرد. برای شروع تجزیهٔ ماتریس به بردارهای سطری و بردارهای ستونی را بررسی میکنیم، در شکل زیر ماتریس A را به وسیله ماتریسی با بردارهای سطری و ماتریس B را به وسیله ماتریسی با بردارهای ستونی نمایش می‌دهیم:
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\color {Red}a_{1,1}}&{\color {Red}a_{1,2}}&\cdots &{\color { Red}a_{1,n}}\\{\color {ForestGreen}a_{2,1}}&{\color {ForestGreen}a_{2,2}}&\cdots &{\color {ForestGreen}a_{ 2,n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {Blue}a_{m,1}}&{\color {Blue}a_{m,2}}&\cdots &{\color {Blue}a_{m,n}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {Red}A_{1}}\\{\color {ForestGreen}A_{2} }\\\vdots \\{\color {Blue}A_{m}}\end{bmatrix}}}$
که در اینجا ${\displaystyle A_{i}={\begin{bmatrix}a_{i,1}&a_{i,2}&\cdots &a_{i,n}\end{bmatrix}}} $و
${\displaystyle B_{i}={\begin{bmatrix}b_{1,i}&b_{2,i}&\cdots &b_{n,i}\end{bmatrix}}^{T}.} $می‌باشند.
ضرب ماتریسی با این شیوه با توجه به تعاریف بالا به این صورت خواهد بود:
${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\\\vdots \\A_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B_{1 }&B_{2}&\dots &B_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(A_{1}\cdot B_{1})&(A_{1}\cdot B_{2}) &\dots &(A_{1}\cdot B_{p})\\(A_{2}\cdot B_{1})&(A_{2}\cdot B_{2})&\dots &(A_{ 2}\cdot B_{p})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(A_{m}\cdot B_{1})&(A_{m}\cdot B_{2})& \dots &(A_{m}\cdot B_{p})\end{bmatrix}}.}$
ویژگی‌ها
ضرب ماتریسی خاصیت جابجایی ندارد.
${\displaystyle AB\neq BA}$
اگر A و B دو ماتریس n در n باشند، دترمینان حاصلضرب به اولویت شرکت آن‌ها در ضرب بستگی ندارد.
${\displaystyle \;\!\det(AB)=\det(BA)}$
اگر هر دو ماتریس قطری مربعی با ابعاد مشابه باشند، ضرب آن‌ها جابجایی است.
ضرب ماتریسی شرکت‌پذیر است:${\displaystyle \ \mathbf {A} (\mathbf {BC} )=(\mathbf {AB} )\mathbf {C} }$ضرب ماتریسی بروی جمع پخش می‌شود:${\displaystyle \ \mathbf {A} (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} }$
اگر ماتریس را تحت یک میدان (برای مثال میدان‌های حقیقی یا مختلط) تعریف کنیم، آنگاه تحت هر اسکالر از آن میدان جابجایی خواهد بود:${\displaystyle \ c(\mathbf {AB} )=(c\mathbf {A} )\mathbf {B} }$
${\displaystyle \ (\mathbf {A} c)\mathbf {B} =\mathbf {A} (c\mathbf {B} )}$
${\displaystyle \ (\mathbf {AB} )c=\mathbf {A} (\mathbf {B} c)}$
در اینجا c یک اسکالر از میدان مربوطه‌است.ضرب اسکالر در ماتریس ضرب اسکالر r در یک ماتریس A به این صورت تعریف می‌شود:${\displaystyle (r\mathbf {A} )_{ij}=r\cdot a_{ij}.\,}$
در جبر خطی انجام شده درست، چندین روش برای مشاهده ضرب ماتریس ارائه می‌کند که من نمی‌فهمم.
فرض کنید $v_1,...,v_n$ مبنای V است،$w_1,...,w_m$ مبنای W است، u1،...، بالا
اساس U است.فرض کنید $T: U \to V$ ، $S:V \to W$ و $M(S)=A$، $M(T)=C$. برای $1≤K≤p$، ما داریم$\begin{equation}\begin{split}
(ST)u_k &= S(\sum_{r=1}^{n}C_{r,k}v_r) \text{ This is Matrix times column?}\\
&= \sum_{r=1}^{n}C_{r,k}Sv_r\\
&= \sum_{r=1}^{n}C_{r,k} \sum_{j=1}^{m}A_{j,r}w_j \text{ This is linear combination of columns?} \\
&= \sum_{j=1}^{m}\sum_{r=1}^{n}(A_{j,r}C_{r,k})w_j \text{ I don't know how to get from the previous step to this step}
\end{split}
\end{equation}$ این ستون ماتریس بار است
مهم است که بدانید چگونه M(S) و M(T) تعریف شده اند. همچنین توجه داشته باشید که نشانه گذاری شما پایه های زیرین را در نظر نمی گیرد. اینها ماتریس های استاندارد نیستند!به عنوان مثال، M(T)
با این قاعده تعیین می شود که، k آن ستون هفتم بردار ستون مختصات $Tu_k$ است با توجه به مبنا$v_1, \ldots, w_n$. به این معنا که،$Tu_k = \sum_{r=1}^n C_{r, k} v_r;$
این فقط فرآیند استاندارد برای بازیابی $Tu_k$است از بردار مختصات آن در kستون سی
در واقع فقط "ماتریس بار یک ستون" نیست، زیرا$ v_r $ممکن است بردار ستونی نباشد. این یک عنصر از V است
، که ممکن است برابر با $\Bbb{R}^n$ باشد یا نباشد. ممکن است که $v_r$ یک چند جمله ای یا بردار انتزاعی دیگری است. همانطور که گفتم، این فقط بازیابی یک بردار از بردار مختصات آن است.
نکته بعدی هم همینطور. ما داریم
$Sv_r = \sum_{j=1}^m A_{j,r} w_j$
دقیقا با همین استدلال
آخرین مراحل، قانون توزیع برای کشیدن یک ثابت به یک مجموع است:
$\sum_{r=1}^{n}C_{r,k} \sum_{j=1}^{m}A_{j,r}w_j = \sum_{r=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}C_{r,k}A_{j,r}w_j,$
سپس مرتب سازی مجدد ترتیب جمع با استفاده از تداعی و جابجایی،
$\sum_{r=1}^{n} \sum_{j=1}^{m}C_{r,k}A_{j,r}w_j = \sum_{j=1}^{m} \sum_{r=1}^{n}C_{r,k}A_{j,r}w_j,$
و در نهایت با استفاده از جابجایی میدان اسکالر ترتیب $C_{r, k}$ را تغییر دهید و $A_{j, r}$
بنابراین اجازه دهید$A,B,C \in M_{m,n}(\mathbb{K})$
، چیزی که باید نشان دهم این است که:$A(B+C)=AB+AC$
$(B+C)A=BA+CA$
$A(BC)=(AB)C$
اجازه دهید $a_{ij}$ ورودی ردیف i و ستون j باشد، ما AB را تعریف می کنیم
به روش زیر:$(AB)_{ij}:=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$
بنابراین، بیایید $(A(B+C))_{ij}$را محاسبه کنیم،
$(A(B+C))_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}(b+c)_{kj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum_{k=1}^{n}a_{ij}b_{kj}+a_{ik}c_{kj}=$
اثبات اساساً یکسان استحالا من در انجمن گیر کرده ام،
$(A(BC))_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}(\sum_{\gamma=1}^{n}b_{k\gamma}c_{\gamma j})=\sum_{k=1}^{n}\Big(\sum_{\gamma=1}^{n}a_{ik}b_{k\gamma}c_{\gamma j}\Big)$
و این جایی است که من در آن هستم، حدس می‌زنم در یک مقطع زمانی باید شاخص‌ها را تغییر دهم، نمی‌دانم آیا اجازه دارم پرانتز را قبل از$c_{\gamma j}$ بگذارم یا نه
.کاری که تا الان انجام دادی خوبه! برای پایان دادن به انجمن، سعی کنید جمع را دوباره مرتب کنید: $\sum_{k=1}^n\sum_{\gamma=1}^n =\sum_{\gamma=1}^n\sum_{k=1}^n$
با $c_{yj}$
. انجام این کار به سادگی عبارت ها را با ترتیب متفاوتی جمع می کند، که با جابجایی همان عدد را تولید می کند. –
شما می توانید جمع بندی ها را تغییر دهید
$\sum_{k=1}^n\sum_{\gamma=1}^n =\sum_{\gamma=1}^n\sum_{k=1}^n$
حالا می توانید$c_{yj}$ را بکشید
برای بدست آوردن
$\sum_{\gamma=1}^n c_{\gamma j} \sum_{k=1}^na_{ik}b_{k\gamma}=\\=\sum_{\gamma=1}^n c_{\gamma j}(AB)_{i\gamma}= \\=\sum_{\gamma=1}^n (AB)_{i\gamma}c_{\gamma j}=\\=((AB)C)_{ij}$
ا
سلام این سوال سوال خوبی هست. من خودم هم این سوال برام پیش اومده فکر میکنم ماتریسها الگوهای قراردادی از رفتارهای منظمی باشن که بارها باشون برخورد میکنیم.
مثلا شما وقتی پاورپوینت درست میکنید گاهی مممکنه از چند تا صفحه کپی بگیرید و اونهارو ویرایش کنید. یا وقتی برنامه نویسی میکنید گاهی از یک خط چند کپی میگیرید و مقادیرش رو تغییر میدید.
وقتی معادلات رو منظم میکنیم بین روابطش یک نظم های مشابه وجود داره. به نظرم ماتریسها ماهیتا این طور نیستند اما تعریف شدند تا بعضی از این نظم های موجود رو به صورت قراردادی پوشش بدند و و شبیه به یک عملگر یا عملگر توسعه یافته چند بعدی باشند.
مثل ضرب خارجی که با رفتار الکترومغناطیس یک بار قابل توضیح هست یا ضرب داخلی که کار جسمی رو محاسبه میکنه.
مثل برنامه نویسی اگر بیایم و روال حل معادله های چند مجهولی رو بنویسیم نظم هایی درش پیدا میکنیم که با ماتریس های از قبل تعریف شده و قرارداد شده میتونه نظمشون توصیف، دسته بندی و منظم بشه و قواعد ماتریسهارو هم براورده کنه.
خیلی یهویی اومدم یه سوال بپرسم و برم 
