سری‌های نوسانی

[پرتوزا]

خب، معلومه که این سری نامتناهی
$$\sum_{i=1}^{\infty}-(-1)^{i}=1-1+1-1+1-1+ …$$
که به سری «گرندی» مشهوره، واگراست. چون دنباله‌ی مجموع‌های جزئی اون حد (بینهایت) نداره:
$$\{S_{n}\}=\{1,0,1,0,1, … \}$$
البته جواب‌های پیشنهادی برای این سری وجود داره که (اگه $S$ جواب سری باشه):
$S=0$, $S=1$, $S=\frac {1}{2}$.
رو به سری گرندی نسبت می‌دن که روش‌هاشون غلطه چون فرض می‌شه که سری همگراست (توی ویکی‌پدیا سرچ کنید «سری (ریاضیات)»؛ بخش مربوط به سری گرندی رو ببینید که دلیل نادرست بودن روش‌هاشون رو می‌گه).

ولی یه کار دیگه هم می‌تونیم انجام بدیم: بسط $1/(1-x)$ رو می‌نویسیم
$$\frac {1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+…$$
اگه به جای $x$ قرار بدیم $-1$ داریم:
$$\frac {1}{2}=1-1+1-1+1-1+…$$
این روشی بود که من در کتاب «روش‌های ریاضی در فیزیک: جلد اول؛ اثر جرج آرفکن؛ ص۳۸۲؛ مرکز نشر دانشگاهی» دیدم و کتاب در ادامه‌ی بحث می‌گه:
«… هر چند این سری به معنای معمول همگرا نیست، ولی می‌توان برای آن معنایی قائل شد. مثلاً اویلر بر اساس تناظر میان این سری و تابع خوش‌تعریف $1/(1-x)$، مقدار $1/2$ را به این سری نسبت داد. اما متأسفانه این تناظر میان سری و تابع منحصر به‌فرد نیست و این رهیافت باید اصلاح شود. برای نسبت دادن یک مفهوم به یک سری واگرا یا نوسانی، روش‌های دیگری، روش‌های تعریف مجموع، را یافته‌اند. اما، به طور کلی، این جنبه‌ی سری‌های نامتناهی برای دست‌اندرکاران علوم و مهندسی چندان مورد توجه نیست…» متأسفانه کتاب تا همین جا بحث رو خاتمه می‌ده.

حالا من نمی‌خوام $1/2$ رو واسه جواب سری گرندی توجیه کنم. فقط می‌خوام بدونم طبق گفته‌ی کتاب واقعاً چه مفهومی برای سری‌های عددی نوسانی (نه سری‌های تابع) قائل می‌شن؟ آیا برای این سری‌ها نوع خاصی از جواب تعریف شده؟