شما جواب خود را در قالب هندسه ي مطلق ( هندسه اي با اصول موضوعه ) بيان کرديد اما در هندسه ي اقليدسي صحبتي از اصل پيوستگي نشده ( منظور تنها هندسه در مقدمات اقليدس است . )
البته پرسش دوستمان در مورد جمله هيلبرت است که با حال هواي هندسه اي که اقليدس مي شناخت فاصله ي زيادي دارد .
همان طور که مي دانيد هندسه اقليدسي تغييرات زيادي در آنچه که اصل ناميده مي شود ، داشته است به طوري که کمتر کسي در حال حاضر هندسه اقليدس را با اصول خود اقليدس مي شناسد .
اما اين پيشرفت هيچ منافاتي با به کار گرفتن اصول پيوستار براي اين مساله ندارد .
حتي در آن زمان يوناني ها مفاهيم اوليه را نقطه و خط مي پنداشتند و حتي فيثاغورث با مقوله ي اعداد گنگ مخالفت مي کرد و مطمئنا بدون اعداد گنگ مجموعه اعداد حقيقي نيز وجود نداشت .
به يقين قبول نداشتن را دليلي بر عدم وجود نمي دانند .
جالب اينجاست که بسياري از اعداد گنگ را خود رابطه فيثاغورث در اختيار ما قرار مي دهد و جالب تر اينجاست با اينکه گنگ بودنشان قابل اثبات است قابل همسازي با ابزار هاي اقليدسي هستند .
عقيده فيثاغورث صرفا عقيده شخصي است .
بنا به اصل ارشميدس مي دانيم که بين هر دو عدد حقيقي عدد سومي هم وجود دارد .
نقطه اي را رسم کنيد و نقطه ديگري را به آن نزديک کنيد ( تا مقدار دلخواه ) اين دونقطه يک مکان را اشغال نمي کنند پس از يک ديگر فاصله اي برابر d دارند .
اصل ارشميدس بيان مي کند که بين d و 0 عدد سومي مانند m وجود دارد .
بنا به اصل دايره اي به شعاع m مي توان از مرکز يکي از نقاط رسم کرد که نيم خط واقع بر دو نقطه را در نقطه اي مانند n قطع کند .
بديهي است که n به مرکز دايره نزديک تر است .
اين کار را براي نقاط جديد هم مي توان انجام داد .
جوهره اصل گفته شده شرط لازم است و نه شرط کافي .
دليل بيان اين گونه اصل هم تاکيد بر تعداد نقاط يکتاي لازم با مشخص کردن موجود n بعدي است .
اما تعداد متناهي نقطه توسط اصول بعد رد مي شود .
در نتيجه تناقضي وجود ندارد زيرا يک گزاره مي بايست با تمامي اصول سازگاري داشته باشد .
با سپاس
